全国统考2022版高考数学大一轮复习选修4-4坐标系与参数方程1备考试题（含解析）

选修4-4　坐标系与参数方程

练好题·考点自测 

1.[改编题]下面结论正确的个数是 (　　)

(1)tan θ=1与θ=表示同一条曲线.

(2)点P的直角坐标为(,),那么它的极坐标为(2,).

(3)过极点的倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α和θ=π+α.

(4)圆心在极轴上的点(a,0)(a>0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.

A.1 B.2 

C.3 D.4

2.若曲线C的参数方程为(θ为参数),则曲线C上的点的轨迹是 (　　)

A.直线x+2y-2=0

B.以(2,0)为端点的射线

C.圆(x-1)2+y2=1

D.以(2,0)和(0,1)为端点的线段

3.[2019天津,12,5分][文]设a∈R,直线ax-y+2=0和圆(θ为参数)相切,则a的值为　　　　. 

4.[2020全国卷Ⅱ,23,10分][文]已知曲线C1,C2的参数方程分别为C1:(θ为参数),C2:(t为参数).

(1)将C1,C2的参数方程化为普通方程.

(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1,C2的交点为P,求圆心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.

拓展变式

1.[2018全国卷Ⅰ,22,10分][文]在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

2.[2021陕西省部分学校摸底检测]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+2=0.

(1)求曲线C1的极坐标方程并判断C1,C2的位置关系;

(2)设直线θ=α(<α<,ρ∈R)分别与曲线C1交于A,B两点,与曲线C2交于P点,若|AB|=3|OA|,求|OP|的值.

3.[2018全国卷Ⅲ,22,10分][文]在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为(θ为参数),过点(0,)且倾斜角为α的直线l与☉O交于A,B两点.

(1)求α的取值范围;

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

4.[2020广东珠海三模]在参数方程(θ为直线l的倾斜角,t为参数)所表示的直线l上有B,C两点,它们对应的参数分别为t1,t2.

(1)求线段BC的中点M对应的参数;

(2)若a=b=1,直线l与曲线y2=2x交于点S,T,且(1,1)是弦ST的中点,求此时直线l的普通方程.

5.[2020东北三省四市二模]已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求曲线C的一个参数方程和直线l的普通方程;

(2)设点P为曲线C上的动点,点M和点N为直线l上的点,且|MN|=2,求△PMN面积的取值范围.

答  案

选修4-4　坐标系与参数方程

1.A　对于(1),tan θ=1与θ=或θ=表示同一条曲线,故(1)错误;对于(2),极坐标的表示方法不唯一,故(2)错误;对于(3),由直线的极坐标方程概念可知正确;对于(4),设M为圆上任意一点,由圆的性质可得,cos θ=,所以ρ=2acos θ,故(4)错误.故正确结论的个数为1,选A.

2.D　将曲线的参数方程化为普通方程,得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).故曲线C上的点的轨迹是一条以(2,0)和(0,1)为端点的线段.

3.　由已知条件可得圆的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=4,其圆心为(2,1),半径为2,由直线和圆相切可得=2,解得a=.

4.(1)C1的普通方程为x+y=4(0≤x≤4).

由C2的参数方程得x2=t2++2,y2=t2+2,所以x2-y2=4.

故C2的普通方程为x2-y2=4.

(2)由得所以P的直角坐标为(,).

设所求圆的圆心的直角坐标为(x0,0),由题意得

=(x0)2+,

解得x0=.

因此,所求圆的极坐标方程为ρ=cos θ.

1.(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.

(2) 解法一(几何法)　由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故k=或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故k=0或k=.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=|x|+2.

解法二(代数法)　因为所以(x+1)2+(k|x|+2)2=4,

所以(1+k2)x2+(2x+4k|x|)+1=0,

所以或

交点个数等于方程组解的个数和,显然每个方程组最多有两个解,所以只能一个方程组有一个解,一个方程组有两个解.

所以Δ1=(2+4k)2-4(1+k2)=0或Δ2=(2-4k)2-4(1+k2)=0,

所以k=0或k=或k=.

经检验可知:当k=0时,曲线C1的方程为y=2,曲线C1与圆只有一个交点,故舍去;

当k=时,曲线C1的方程为y=|x|+2,曲线C1与圆没有交点;

当k=时,曲线C1的方程为y=|x|+2,曲线C1与圆有且只有三个交点.

所以曲线C1的方程为y=|x|+2.

2.(1)曲线C1:

①2+②2得(x-3)2+y2=5,

即x2+y2-6x+4=0,

将x2+y2=ρ2,x=ρcosθ代入上式,得曲线C1的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+4=0.

由得ρ2+16=0,此方程无解,

所以C1,C2相离.

(2)由得ρ2-6ρcos α+4=0,

因为直线θ=α与曲线C1有A,B两个交点,

所以Δ=36cos2α-16>0,得cos α>.

设A(ρ1,α),B(ρ2,α),则ρ1,ρ2是方程ρ2-6ρcos α+4=0的两根,则

因为|AB|=3|OA|,所以|OB|=4|OA|,即ρ2=4ρ1　⑤,

由③④⑤解得ρ1=1,ρ2=4,cos α=,满足Δ>0,

由得ρ==,

所以|OP|=|ρ|=.

3.(1)☉O的普通方程为x2+y2=1.

当α=时,l与☉O交于两点.

当α≠时,记tan α=k,则l的方程为y=kx.因为l与☉O交于两点,所以<1,解得k<-1或k>1,即α∈(,)或α∈(,).

综上,α的取值范围是(,).

(2)l的参数方程为(t为参数,<α<).

设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=,且tA,tB满足t2-2tsin α+1=0.

于是tA+tB=2sin α,tP=sin α.

又点P的坐标(x,y)满足

所以点P的轨迹的参数方程是

(α为参数,<α<).

4.(1)设B(xB,yB),C(xC,yC),M(xM,yM).

由参数方程得

于是xM==a+cos θ,

yM==b+sin θ.

 所以线段BC的中点M对应的参数是.

(2)将(t为参数)代入y2=2x中,得到(1+tsin θ)2=2(1+tcos θ),

即sin2θ·t2+(2sin θ-2cos θ)t-1=0.

易知Δ>0,所以S,T对应的参数t3,t4满足t3+t4=.

由(1)知,(1,1)对应的参数是=,其值为零,即sin θ-cos θ=0,

所以tan θ=1.

故此时直线l的普通方程是 y-1=1·(x-1),即x-y=0.

【思维拓展】　在本题中,如果点P在直线BC上,且=λ(λ≠-1),则点P对应的参数是.

5.(1)由ρ2=得,3ρ2+ρ2sin2θ=12,即3(x2+y2)+y2=12,整理得=1.

故曲线C的一个参数方程是(θ为参数).

将t=y-3代入x=2t中,得x=2-2(y-3).

整理得直线l的普通方程是x+2y-8=0.

(2)设P(2cos θ,sin θ),则S△PMN=×2×.

因为|4sin(θ+)-8|max=12,|4sin(θ+)-8|min=4,

所以△PMN面积的取值范围是[,].