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2021高考数学（理）大一轮复习习题： 选修4－4 坐标系与参数方程 word版含答案
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这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题： 选修4－4 坐标系与参数方程 word版含答案，共23页。试卷主要包含了极坐标系，))等内容，欢迎下载使用。
坐 标 系
本节主要包括2个知识点：
1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；
2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
[典例] 求椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y))后的曲线方程．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x′，,y＝y′.))①
将①代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得eq \f(4x′2,4)＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝axa>0，,Y＝byb>0))建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y.))求点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))经过φ变换所得的点A′的坐标．
解：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y，))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y，))由于点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))，
于是x′＝3×eq \f(1,3)＝1，y′＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，
所以A′(1，－1)为所求．
2．求直线l：y＝6x经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得到的直线l′的方程．
解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，
由题意，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))
代入y＝6x得2y′＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x′))，
所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.
3．求双曲线C：x2－eq \f(y2,64)＝1经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由题意，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入x2－eq \f(y2,64)＝1
得eq \f(x′2,9)－eq \f(4y′2,64)＝1，
化简得eq \f(x′2,9)－eq \f(y′2,16)＝1，
即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，
则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．
4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的一个伸缩变换公式为φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝axa>0，,Y＝byb>0，))求a，b的值．
解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝ax，,Y＝by))知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a)X，,y＝\f(1,b)Y，))代入x2＋y2＝1中得eq \f(X2,a2)＋eq \f(Y2,b2)＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcs θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．
(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：
第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；
第二步，根据角θ的正切值tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．
[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解] (1)圆O：ρ＝cs θ＋sin θ，即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，即ρsin θ－ρcs θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
则直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
[方法技巧]
1．应用互化公式的三个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的正半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．
[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．
[解] (1)ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2＝0，即ρ2－2ρcs θ＋2ρsin θ－2＝0，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，
即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.
(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs φ，,y＝－1＋2sin φ))(φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cs φ＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1时，x＋y取得最大值2eq \r(2).
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一、二]已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求点A到直线l的距离．
解：由2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，
得2ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ＋\f(\r(2),2)cs θ))＝eq \r(2)，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0.
由点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝eq \f(|2－2－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
2．[考点一]已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq \r(2)ρsinθ－eq \f(π,4)－4＝0，求圆C的半径．
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ－\f(\r(2),2)cs θ))－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcs θ－4＝0.
由坐标变换公式，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为eq \r(6).
3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cs θ)＝a与曲线ρ＝2cs θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，求实数a的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝eq \r(5)，所以圆心C到直线的距离为eq \f(|1＋2＋a|,\r(2))＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2)＝eq \r(2)，
解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1.
4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x2＋y2＝4.
因为ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2，
所以ρ2－2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θcs\f(π,4)＋sin θsin\f(π,4)))＝2.
由坐标变换公式，
得x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ＝1，
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，
则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sin θcs θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cs2θ－8sin θcs θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcs θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为eq \f(1,2).
[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡
1．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径PC＝ eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离．
解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为eq \f(|0－1－1|,\r(2))－1＝eq \r(2)－1.
3．在极坐标系中，求直线ρ(eq \r(3)cs θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρ(eq \r(3)cs θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为eq \r(3)x－y＝2，即y＝eq \r(3)x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝eq \r(3)x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8eq \r(3)x＋12＝0，即x2－2eq \r(3)x＋3＝0，
所以x＝eq \r(3)，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(eq \r(3)，1)，化为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6))).
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)曲线C：ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而eq \f(ρ2cs2θ,3)＋ρ2sin2θ＝1.
∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(eq \r(3)cs θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－eq \r(3)cs θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
当θ＝eq \f(π,6)时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
5．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝4和圆C：ρ＝2kcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝eq \r(2)kcs θ－eq \r(2)ksin θ，
即ρ2＝eq \r(2)kρcs θ－eq \r(2)kρsin θ，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－eq \r(2)kx＋eq \r(2)ky＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(2),2)k))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(2),2)k))2＝k2，
所以圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)k，－\f(\r(2),2)k)).
直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·eq \f(\r(2),2)－ρcs θ·eq \f(\r(2),2)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4eq \r(2)＝0，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)k＋\f(\r(2),2)k＋4\r(2))),\r(2))－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，
两边平方，得|k|＝2k＋3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,k＝2k＋3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,－k＝2k＋3，))
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
6．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cs θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρeq \\al(2,2).
又ρ2＝2，ρ1＝eq \f(2,cs θ＋sin θ)，所以eq \f(2ρ,cs θ＋sin θ)＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cs θ＋sin θ)(ρ≠0)．
7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－eq \f(π,3)或eq \f(π,3)－θ.
由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcsθ－eq \f(π,3)＝4，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，eq \r(3))，可设圆C上任意一点P(1＋2cs α，eq \r(3)＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，
得点M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋2cs α,2)，,y＝\f(2sin α,2)))(α为参数)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ0＋\f(π,2)))，若A，B都在曲线C1上，求eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))的值．
解：(1)∵C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ，))
∴C1的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acs θ(a为半径)，
将Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) 代入，得2＝2a×eq \f(1,2)，
∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，
∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)曲线C1的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1，
即ρ2＝eq \f(4,4sin2θ＋cs2θ).
∴ρeq \\al(2,1)＝eq \f(4,4sin2θ0＋cs2θ0)，
ρeq \\al(2,2)＝eq \f(4,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2)))＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2))))
＝eq \f(4,sin2θ0＋4cs2θ0).
∴eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))＝eq \f(4sin2θ0＋cs2θ0,4)＋eq \f(4cs2θ0＋sin2θ0,4)＝eq \f(5,4).
第二节
参数方程
本节主要包括2个知识点：
1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 参数方程
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数)．
(3)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cs2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；
(2)具体步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t));
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))(θ为参数)．
[解] (1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝eq \f(1,t)，∴x≠0.
当t≥1时，0当t≤－1时，－1≤x<0，
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0(2)∵y＝－1＋cs 2θ＝－1＋1－2sin2θ＝－2sin2θ，sin2θ＝x－2，
∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，
∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
[易错提醒]
(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：
第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1·t2).
[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))(t为参数)与曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝eq \f(π,3)，求线段AB的中点M的坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq \r(3))，求直线l的斜率．
[解] (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是eq \f(x2,4)＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,3)时，设点M对应的参数为t0.
直线l的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，
代入曲线C的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.
则t0＝eq \f(t1＋t2,2)＝－eq \f(28,13)，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，－\f(\r(3),13))).
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))代入曲线C的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得(cs2α＋4sin2α)t2＋(8eq \r(3)sin α＋4cs α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq \f(12,cs2α＋4sin2α)，|OP|2＝7，
所以eq \f(12,cs2α＋4sin2α)＝7，得tan2α＝eq \f(5,16).
由于Δ＝32cs α(2eq \r(3)sin α－cs α)>0，
故tan α＝eq \f(\r(5),4).所以直线l的斜率为eq \f(\r(5),4).
[方法技巧]
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k,1＋k2)，,y＝\f(6k2,1＋k2)))(k为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－sin 2θ，,y＝sin θ＋cs θ))(θ为参数)．
解：(1)两式相除，得k＝eq \f(y,2x)，将其代入x＝eq \f(3k,1＋k2)得x＝eq \f(3·\f(y,2x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2x)))2)，化简得4x2＋y2－6y＝0，
因为y＝eq \f(6k2,1＋k2)＝6－eq \f(1,1＋k2)，所以0所以所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(0(2)由(sin θ＋cs θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y))得到曲线C′.
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ))代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y，))得曲线C′的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2cs θ，,y′＝sin θ，))∴曲线C′的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)且AD的中点为P，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y－3.))
又点A在曲线C′上，∴将A点坐标代入C′的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.
3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq \r(2)倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
解：(1)由题意可得C2：eq \f(x2,2)＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3)t,2)，,y＝\f(1,2)t))
代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，整理得5t2＋4eq \r(3)t－4＝0.
设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq \f(4\r(3),5)，
且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cs 30°＝eq \r(3)，
故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋eq \r(3)＝eq \f(\r(3),5).
4．[考点二]设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋tcs α，,y＝4＋tsin α))(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs θ，,y＝－1＋2sin θ))(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝eq \f(5,2).
(2)将圆C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs θ，,y＝－1＋2sin θ，))
化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，①
将直线l的参数方程代入①式，得
t2＋2(2cs α＋5sin α)t＋25＝0.②
当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cs α＋5sin α)2－100＞0，
即20sin αcs α＞21cs2α，两边同除以cs2α，
由此解得tan α＞eq \f(21,20)，即直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,20)，＋∞)).
突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：
1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
3求曲线方程，常设曲线上任意一点Pρ，θ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.
4参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
[典例] (2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cs θ＋ksin θ)＝－2(k为实数)．
(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；
(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(2)，求直线l的斜率．
[解] (1)由曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α，,y＝sin α))可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.
由ρ(cs θ＋ksin θ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.
因为圆心(－1,0)到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(1＋k2))≤1，
所以直线与圆相交或相切，
当k＝0时，d＝1，直线l与曲线C1相切；
当k≠0时，d<1，直线l与曲线C1相交．
(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，
且|AB|＝eq \r(2)，
故圆心到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(1＋k2))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
解得k＝±1，
所以直线l的斜率为±1.
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(10)cs α，,y＝1＋\r(10)sin α))(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cs θ＝eq \f(1,ρ)，求直线被曲线C截得的弦长．
解：(1)∵曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(10)cs α，,y＝1＋\r(10)sin α))(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①
曲线C表示以(3,1)为圆心，eq \r(10)为半径的圆．
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入①并化简，得ρ＝6cs θ＋2sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cs θ＋2sin θ.
(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，
∴圆心C到直线的距离为d＝eq \f(3\r(2),2)，
∴弦长为2 eq \r(10－\f(9,2))＝eq \r(22).
2．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acs θ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3))(t为参数)．
(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)由ρ＝2acs θ，ρ2＝2aρcs θ，又ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，所以圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,3)＝t，,\f(y－3,4)＝t，))因此eq \f(x－1,3)＝eq \f(y－3,4)，所以直线l的普通方程为4x－3y＋5＝0.
(2)因为直线l与圆C恒有公共点，所以eq \f(|4a＋5|,\r(42＋－32))≤|a|，两边平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a＋5)(a－5)≥0，解得a≤－eq \f(5,9)或a≥5，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,9)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，＋∞)).
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcs θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcs α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cs α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)
＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tan α＝±eq \f(\r(15),3).
所以直线l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).
2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq \r(3)cs α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝eq \f(|\r(3)cs α＋sin α－4|,\r(2))＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－2))，
当且仅当α＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为eq \r(2)，此时P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2eq \r(3)cs θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2eq \r(3)cs α|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))).
当α＝eq \f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cs θ，3sin θ)到l的距离为d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ＋3sin θ－6|.则|PA|＝eq \f(d,sin 30°)＝eq \f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝eq \f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq \f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq \f(2\r(5),5).
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cs t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t，)) (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t))消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡
1．(2017·郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)csθ－eq \f(π,4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2＝2(ρcs θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(3＋\r(3),2)，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2\r(2),2).
2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
解：(1)O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
(2)圆C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为eq \r(2)，所以当圆C1与圆C2外切时，有eq \r(2)＋|a|＝eq \r(－1－12＋－1－12)，解得a＝±eq \r(2).
3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ.))
(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，曲线C的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋\f(\r(2),2)t，y＝y0＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，由直线l1与曲线C相交可得：eq \f(3t2,2)＋eq \r(2)tx0＋2eq \r(2)ty0＋xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)－2＝0，由|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，得t1t2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0)＋2y\\al(2,0)－2,\f(3,2))))＝eq \f(8,3)，即xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝6，x2＋2y2＝6表示一椭圆，设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得，3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得－eq \r(3)故点M的轨迹是椭圆x2＋2y2＝6夹在平行直线y＝x±eq \r(3)之间的两段椭圆弧．
4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))可得其普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．
由ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．
(2)因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|－6k－3|,\r(1＋k2))＝eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))，故|PQ|的最小值为eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1，故eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－eq \f(4,3).
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．
解：(1)由ρ＝5 知ρ2＝25，所以x2＋y2＝25，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.
(2)设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3＋tcs α，,y＝－\f(3,2)＋tsin α))(t为参数)，①
将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，
得4t2－12(2cs α＋sin α)t－55＝0，
∴Δ＝16[9(2cs α＋sin α)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，
∴|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(92cs α＋sin α2＋55)＝8，
化简有3cs2α＋4sin αcs α＝0，
解得cs α＝0或tan α＝－eq \f(3,4)，
从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
6．已知动点P，Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α), 因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α))(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2＋2cs α)(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcs θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3，))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝eq \r(2)|t1－t2|＝eq \r(2)×eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(2)×eq \r(82－4×7)＝6eq \r(2)，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq \f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，所以△AOB的面积是eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×6eq \r(2)×2eq \r(2)＝12.
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)的值．
解：(1)由ρsin2θ＝8cs θ得，ρ2sin2θ＝8ρcs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.
(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcs α)，整理得sin2α·t2－8cs α·t－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cs α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，∴t1＋t2＝eq \f(8cs α,sin2α)，t1t2＝－eq \f(16,sin2α)＜0，故eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,|t1|)＋eq \f(1,|t2|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,t1)－\f(1,t2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1－t2,t1t2)))＝eq \f(\r(t1＋t22－4t1t2),|t1t2|)＝ eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8cs α,sin2α)))2＋\f(64,sin2α)),\f(16,sin2α))＝eq \f(1,2).
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0))
极坐标与直角坐标的互化
第一步
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
第二步
通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解
第三步
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程
极坐标方程的应用
参数方程与普通方程的互化
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
参数方程与极坐标方程的综合问题
坐 标 系
本节主要包括2个知识点：
1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换；
2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·xλ＞0，,y′＝μ·yμ＞0))的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
[典例] 求椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y))后的曲线方程．
[解] 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝y))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2x′，,y＝y′.))①
将①代入eq \f(x2,4)＋y2＝1，得eq \f(4x′2,4)＋y′2＝1，即x′2＋y′2＝1.
因此椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2＋y2＝1.
[方法技巧]
应用伸缩变换公式时的两个注意点
(1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分变换前的点P的坐标(x，y)与变换后的点P′的坐标(X，Y)，再利用伸缩变换公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝axa>0，,Y＝byb>0))建立联系．
(2)已知变换后的曲线方程f(x，y)＝0，一般都要改写为方程f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y.))求点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))经过φ变换所得的点A′的坐标．
解：设A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y，))得到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,y′＝\f(1,2)y，))由于点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－2))，
于是x′＝3×eq \f(1,3)＝1，y′＝eq \f(1,2)×(－2)＝－1，
所以A′(1，－1)为所求．
2．求直线l：y＝6x经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得到的直线l′的方程．
解：设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，
由题意，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))
代入y＝6x得2y′＝6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x′))，
所以y′＝x′，即直线l′的方程为y＝x.
3．求双曲线C：x2－eq \f(y2,64)＝1经过φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝3x，,2y′＝y))变换后所得曲线C′的焦点坐标．
解：设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，
由题意，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)x′，,y＝2y′))代入x2－eq \f(y2,64)＝1
得eq \f(x′2,9)－eq \f(4y′2,64)＝1，
化简得eq \f(x′2,9)－eq \f(y′2,16)＝1，
即eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1为曲线C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线，
则所求焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)．
4．将圆x2＋y2＝1变换为椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的一个伸缩变换公式为φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝axa>0，,Y＝byb>0，))求a，b的值．
解：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(X＝ax，,Y＝by))知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a)X，,y＝\f(1,b)Y，))代入x2＋y2＝1中得eq \f(X2,a2)＋eq \f(Y2,b2)＝1，所以a2＝9，b2＝4，即a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫做极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．
如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
2．直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标
(1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x，y分别用ρcs θ，ρsin θ代替即可得到相应极坐标方程．
(2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤：
第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算ρ；
第二步，根据角θ的正切值tan θ＝eq \f(y,x)(x≠0)求出角θ(若正切值不存在，则该点在y轴上)，问题即解．
[例1] 在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cs θ＋sin θ和直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；
(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．
[解] (1)圆O：ρ＝cs θ＋sin θ，即ρ2＝ρcs θ＋ρsin θ，
圆O的直角坐标方程为：x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，即ρsin θ－ρcs θ＝1，
则直线l的直角坐标方程为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝1，))
则直线l与圆O公共点的一个极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))).
[方法技巧]
1．应用互化公式的三个前提条件
(1)取直角坐标系的原点为极点．
(2)以x轴的正半轴为极轴．
(3)两种坐标系规定相同的长度单位．
2．直角坐标化为极坐标时的两个注意点
(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．
(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ(θ∈[0,2π))的值．
[例2] (2017·福州五校联考)已知曲线C的极坐标方程为ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2＝0.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy.
(1)若直线l过原点，且被曲线C截得的弦长最小，求直线l的直角坐标方程；
(2)若M是曲线C上的动点，且点M的直角坐标为(x，y)，求x＋y的最大值．
[解] (1)ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))－2＝0，即ρ2－2ρcs θ＋2ρsin θ－2＝0，
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入得曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，
圆心C(1，－1)，若直线l被曲线C截得的弦长最小，则直线l与OC垂直，
即kl·kOC＝－1，kOC＝－1，因而kl＝1，故直线l的直角坐标方程为y＝x.
(2)因为M是曲线C上的动点，因而利用圆的参数方程可设eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs φ，,y＝－1＋2sin φ))(φ为参数)，则x＋y＝2sin φ＋2cs φ＝2eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(φ＋\f(π,4)))＝1时，x＋y取得最大值2eq \r(2).
[易错提醒]
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一、二]已知直线l的极坐标方程为2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，点A的极坐标为Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))，求点A到直线l的距离．
解：由2ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，
得2ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ＋\f(\r(2),2)cs θ))＝eq \r(2)，由坐标变换公式，得直线l的直角坐标方程为y＋x＝1，即x＋y－1＝0.
由点A的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(7π,4)))得点A的直角坐标为(2，－2)，所以点A到直线l的距离d＝eq \f(|2－2－1|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
2．[考点一]已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq \r(2)ρsinθ－eq \f(π,4)－4＝0，求圆C的半径．
解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)sin θ－\f(\r(2),2)cs θ))－4＝0，化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcs θ－4＝0.
由坐标变换公式，得圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，
所以圆C的半径为eq \r(6).
3．[考点二]在极坐标系中，直线ρ(sin θ－cs θ)＝a与曲线ρ＝2cs θ－4sin θ相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，求实数a的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为x－y＋a＝0，
曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，所以圆心C的坐标为(1，－2)，半径r＝eq \r(5)，所以圆心C到直线的距离为eq \f(|1＋2＋a|,\r(2))＝ eq \r(r2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|AB|,2)))2)＝eq \r(2)，
解得a＝－5或a＝－1.故实数a的值为－5或－1.
4．[考点一、二](2017·洛阳统考)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2.
(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，由坐标变换公式，得x2＋y2＝4.
因为ρ2－2eq \r(2)ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2，
所以ρ2－2eq \r(2)ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs θcs\f(π,4)＋sin θsin\f(π,4)))＝2.
由坐标变换公式，
得x2＋y2－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcs θ＋ρsin θ＝1，
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2).
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs t，,y＝1＋asin t))(t为参数，a＞0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cs θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，
则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0，,ρ＝4cs θ.))
若ρ≠0，由方程组得16cs2θ－8sin θcs θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cs2θ－8sin θcs θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.
2．(2015·新课标全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．
解：(1)因为x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以C1的极坐标方程为ρcs θ＝－2，
C2的极坐标方程为ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝eq \f(π,4)代入ρ2－2ρcs θ－4ρsin θ＋4＝0，得
ρ2－3eq \r(2)ρ＋4＝0，
解得ρ1＝2eq \r(2)，ρ2＝eq \r(2).
故ρ1－ρ2＝eq \r(2)，即|MN|＝eq \r(2).
由于C2的半径为1，
所以△C2MN的面积为eq \f(1,2).
[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡
1．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，圆心为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)．
因为圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，
所以圆C的半径PC＝ eq \r(\r(2)2＋12－2×1×\r(2)cs\f(π,4))＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ.
2．设M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离．
解：因为M，N分别是曲线ρ＋2sin θ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，即M，N分别是圆x2＋y2＋2y＝0和直线x＋y－1＝0上的动点，要求M，N两点间的最小距离，即在直线x＋y－1＝0上找一点到圆x2＋y2＋2y＝0的距离最小，即圆心(0，－1)到直线x＋y－1＝0的距离减去半径，故最小值为eq \f(|0－1－1|,\r(2))－1＝eq \r(2)－1.
3．在极坐标系中，求直线ρ(eq \r(3)cs θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
解：ρ(eq \r(3)cs θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为eq \r(3)x－y＝2，即y＝eq \r(3)x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝eq \r(3)x－2代入x2＋y2＝4y，
得4x2－8eq \r(3)x＋12＝0，即x2－2eq \r(3)x＋3＝0，
所以x＝eq \r(3)，y＝1.
所以直线与圆的交点坐标为(eq \r(3)，1)，化为极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6))).
4．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，点Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．
解：(1)曲线C：ρ2＝eq \f(3,1＋2sin2θ)，即ρ2＋2ρ2sin2θ＝3，从而eq \f(ρ2cs2θ,3)＋ρ2sin2θ＝1.
∵x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
∴曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，
点R的直角坐标为R(2,2)．
(2)设P(eq \r(3)cs θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ|＝2－eq \r(3)cs θ，|QR|＝2－sin θ，
∴|PQ|＋|QR|＝4－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))，
当θ＝eq \f(π,6)时，|PQ|＋|QR|取最小值2，
∴矩形PQRS周长的最小值为4，
此时点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
5．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝4和圆C：ρ＝2kcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
解：圆C的极坐标方程可化为ρ＝eq \r(2)kcs θ－eq \r(2)ksin θ，
即ρ2＝eq \r(2)kρcs θ－eq \r(2)kρsin θ，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－eq \r(2)kx＋eq \r(2)ky＝0，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(\r(2),2)k))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(2),2)k))2＝k2，
所以圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)k，－\f(\r(2),2)k)).
直线l的极坐标方程可化为ρsin θ·eq \f(\r(2),2)－ρcs θ·eq \f(\r(2),2)＝4，
所以直线l的直角坐标方程为x－y＋4eq \r(2)＝0，
所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)k＋\f(\r(2),2)k＋4\r(2))),\r(2))－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|，
两边平方，得|k|＝2k＋3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＞0，,k＝2k＋3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＜0，,－k＝2k＋3，))
解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2))).
6．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．
(1)将圆C和直线l方程化为极坐标方程；
(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．
解：(1)将x＝ρcs θ，y＝ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为C：ρ＝2，l：ρ(cs θ＋sin θ)＝2.
(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρeq \\al(2,2).
又ρ2＝2，ρ1＝eq \f(2,cs θ＋sin θ)，所以eq \f(2ρ,cs θ＋sin θ)＝4，
故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cs θ＋sin θ)(ρ≠0)．
7．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)；
(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－eq \f(π,3)或eq \f(π,3)－θ.
由余弦定理得，4＋ρ2－4ρcsθ－eq \f(π,3)＝4，
所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3))).
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，eq \r(3))，可设圆C上任意一点P(1＋2cs α，eq \r(3)＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－eq \r(3))，M是线段PQ的中点，
得点M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(6＋2cs α,2)，,y＝\f(2sin α,2)))(α为参数)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)2＋y2＝1.
8．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ))(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝eq \f(π,3)与曲线C2交于点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))).
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知极坐标系中两点A(ρ1，θ0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ρ2，θ0＋\f(π,2)))，若A，B都在曲线C1上，求eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))的值．
解：(1)∵C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs φ，,y＝sin φ，))
∴C1的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
由题意知曲线C2的极坐标方程为ρ＝2acs θ(a为半径)，
将Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) 代入，得2＝2a×eq \f(1,2)，
∴a＝2，∴圆C2的圆心的直角坐标为(2,0)，半径为2，
∴C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2)曲线C1的极坐标方程为eq \f(ρ2cs2θ,4)＋ρ2sin2θ＝1，
即ρ2＝eq \f(4,4sin2θ＋cs2θ).
∴ρeq \\al(2,1)＝eq \f(4,4sin2θ0＋cs2θ0)，
ρeq \\al(2,2)＝eq \f(4,4sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2)))＋cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ0＋\f(π,2))))
＝eq \f(4,sin2θ0＋4cs2θ0).
∴eq \f(1,ρ\\al(2,1))＋eq \f(1,ρ\\al(2,2))＝eq \f(4sin2θ0＋cs2θ0,4)＋eq \f(4cs2θ0＋sin2θ0,4)＝eq \f(5,4).
第二节
参数方程
本节主要包括2个知识点：
1.参数方程；2.参数方程与极坐标方程的综合问题.
突破点(一) 参数方程
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．参数方程
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))就叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．直线、圆、椭圆的参数方程
(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)．
(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋rcs θ，,y＝y0＋rsin θ))(θ为参数)．
(3)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acs φ，,y＝bsin φ))(φ为参数)．
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
1．参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数，常用的消参方法有：①代入消元法；②加减消元法；③恒等式(三角的或代数的)消元法；④平方后再加减消元法等．其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin2θ＋cs2θ＝1等．
2．普通方程化为参数方程
(1)选择参数的一般原则
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可以唯一确定x，y的值；
(2)具体步骤
第一步，引入参数，但要选定合适的参数t；
第二步，确定参数t与变量x或y的一个关系式x＝f(t)(或y＝φ(t));
第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝g(t)(或x＝ψ(t))，问题得解．
[例1] 将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,t)，,y＝\f(1,t)\r(t2－1)))(t为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝－1＋cs 2θ))(θ为参数)．
[解] (1)∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)\r(t2－1)))2＝1，
∴x2＋y2＝1.
∵t2－1≥0，∴t≥1或t≤－1.
又x＝eq \f(1,t)，∴x≠0.
当t≥1时，0
∴所求普通方程为x2＋y2＝1，其中eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0
∴y＝－2x＋4，∴2x＋y－4＝0.
∵0≤sin2θ≤1，
∴0≤x－2≤1，∴2≤x≤3，
∴所求的普通方程为2x＋y－4＝0(2≤x≤3)．
[易错提醒]
(1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y的取值范围，保证消参前后的方程的一致性．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y的取值范围的影响．
1．解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下：
第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程；
第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题．
2．当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为α，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问题时，可以把直线的参数方程设成eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcs α，,y＝y0＋tsin α))(t为参数)，交点A，B对应的参数分别为t1，t2，计算时把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出t1＋t2，t1·t2，得到|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1·t2).
[例2] (2017·豫南九校联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))(t为参数)与曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)相交于不同的两点A，B.
(1)若α＝eq \f(π,3)，求线段AB的中点M的坐标；
(2)若|PA|·|PB|＝|OP|2，其中P(2，eq \r(3))，求直线l的斜率．
[解] (1)将曲线C的参数方程化为普通方程是eq \f(x2,4)＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,3)时，设点M对应的参数为t0.
直线l的方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋\f(1,2)t，,y＝\r(3)＋\f(\r(3),2)t))(t为参数)，
代入曲线C的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，得13t2＋56t＋48＝0，
设直线l上的点A，B对应参数分别为t1，t2.
则t0＝eq \f(t1＋t2,2)＝－eq \f(28,13)，所以点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)，－\f(\r(3),13))).
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝\r(3)＋tsin α))代入曲线C的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，
得(cs2α＋4sin2α)t2＋(8eq \r(3)sin α＋4cs α)t＋12＝0，
因为|PA|·|PB|＝|t1t2|＝eq \f(12,cs2α＋4sin2α)，|OP|2＝7，
所以eq \f(12,cs2α＋4sin2α)＝7，得tan2α＝eq \f(5,16).
由于Δ＝32cs α(2eq \r(3)sin α－cs α)>0，
故tan α＝eq \f(\r(5),4).所以直线l的斜率为eq \f(\r(5),4).
[方法技巧]
1．解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．
2．对于形如eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋at，,y＝y0＋bt))(t为参数)的直线的参数方程，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．[考点一]将下列参数方程化为普通方程．
(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3k,1＋k2)，,y＝\f(6k2,1＋k2)))(k为参数)；
(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1－sin 2θ，,y＝sin θ＋cs θ))(θ为参数)．
解：(1)两式相除，得k＝eq \f(y,2x)，将其代入x＝eq \f(3k,1＋k2)得x＝eq \f(3·\f(y,2x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2x)))2)，化简得4x2＋y2－6y＝0，
因为y＝eq \f(6k2,1＋k2)＝6－eq \f(1,1＋k2)，所以0
得y2＝2－x.又x＝1－sin 2θ∈[0,2]，
得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．
2．[考点二](2017·唐山模拟)已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C上的点按坐标变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y))得到曲线C′.
(1)求曲线C′的普通方程；
(2)若点A在曲线C′上，点D(1,3)．当点A在曲线C′上运动时，求AD中点P的轨迹方程．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝6cs θ，,y＝4sin θ))代入eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(1,3)x，,y′＝\f(1,4)y，))得曲线C′的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2cs θ，,y′＝sin θ，))∴曲线C′的普通方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)设点P(x，y)，A(x0，y0)，
又D(1,3)且AD的中点为P，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝2x－1，,y0＝2y－3.))
又点A在曲线C′上，∴将A点坐标代入C′的普通方程eq \f(x2,4)＋y2＝1，得(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4，
∴动点P的轨迹方程为(2x－1)2＋4(2y－3)2＝4.
3．[考点二](2017·郑州模拟)将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的eq \r(2)倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.
(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；
(2)求|AC|－|BD|.
解：(1)由题意可得C2：eq \f(x2,2)＋y2＝1，对曲线C1，令y＝0，得x＝1，所以l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t))(t为参数)．
(2)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋\f(\r(3)t,2)，,y＝\f(1,2)t))
代入eq \f(x2,2)＋y2＝1，整理得5t2＋4eq \r(3)t－4＝0.
设点C，D对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－eq \f(4\r(3),5)，
且|AC|＝t1，|AD|＝－t2.又|AB|＝2|OA|cs 30°＝eq \r(3)，
故|AC|－|BD|＝|AC|－(|AD|－|AB|)＝|AC|－|AD|＋|AB|＝t1＋t2＋eq \r(3)＝eq \f(\r(3),5).
4．[考点二]设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋tcs α，,y＝4＋tsin α))(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs θ，,y＝－1＋2sin θ))(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率；
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解：(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝eq \f(5,2).
(2)将圆C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋2cs θ，,y＝－1＋2sin θ，))
化成普通方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝4，①
将直线l的参数方程代入①式，得
t2＋2(2cs α＋5sin α)t＋25＝0.②
当直线l与圆C交于两个不同的点时，方程②有两个不相等的实根，即Δ＝4(2cs α＋5sin α)2－100＞0，
即20sin αcs α＞21cs2α，两边同除以cs2α，
由此解得tan α＞eq \f(21,20)，即直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,20)，＋∞)).
突破点(二) 参数方程与极坐标方程的综合问题
将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意：
1解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的形式.
2应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系.
3求曲线方程，常设曲线上任意一点Pρ，θ，利用解三角形的知识，列出等量关系式，特别是正弦、余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或最值问题.
4参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y的取值范围，即注意两者的等价性.
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
[典例] (2017·长沙模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α，,y＝sin α))(α为参数)，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cs θ＋ksin θ)＝－2(k为实数)．
(1)判断曲线C1与直线l的位置关系，并说明理由；
(2)若曲线C1和直线l相交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(2)，求直线l的斜率．
[解] (1)由曲线C1的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs α，,y＝sin α))可得其普通方程为(x＋1)2＋y2＝1.
由ρ(cs θ＋ksin θ)＝－2可得直线l的直角坐标方程为x＋ky＋2＝0.
因为圆心(－1,0)到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(1＋k2))≤1，
所以直线与圆相交或相切，
当k＝0时，d＝1，直线l与曲线C1相切；
当k≠0时，d<1，直线l与曲线C1相交．
(2)由于曲线C1和直线l相交于A，B两点，
且|AB|＝eq \r(2)，
故圆心到直线l的距离d＝eq \f(1,\r(1＋k2))＝ eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))2)＝eq \f(\r(2),2)，
解得k＝±1，
所以直线l的斜率为±1.
[方法技巧]
处理极坐标、参数方程综合问题的方法
(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．
(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(10)cs α，,y＝1＋\r(10)sin α))(α为参数)，以直角坐标系原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹；
(2)若直线的极坐标方程为sin θ－cs θ＝eq \f(1,ρ)，求直线被曲线C截得的弦长．
解：(1)∵曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3＋\r(10)cs α，,y＝1＋\r(10)sin α))(α为参数)，∴曲线C的普通方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10，①
曲线C表示以(3,1)为圆心，eq \r(10)为半径的圆．
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入①并化简，得ρ＝6cs θ＋2sin θ，
即曲线C的极坐标方程为ρ＝6cs θ＋2sin θ.
(2)∵直线的直角坐标方程为y－x＝1，
∴圆心C到直线的距离为d＝eq \f(3\r(2),2)，
∴弦长为2 eq \r(10－\f(9,2))＝eq \r(22).
2．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2acs θ(a≠0)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3))(t为参数)．
(1)求圆C的标准方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．
解：(1)由ρ＝2acs θ，ρ2＝2aρcs θ，又ρ2＝x2＋y2，ρcs θ＝x，所以圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3t＋1，,y＝4t＋3，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－1,3)＝t，,\f(y－3,4)＝t，))因此eq \f(x－1,3)＝eq \f(y－3,4)，所以直线l的普通方程为4x－3y＋5＝0.
(2)因为直线l与圆C恒有公共点，所以eq \f(|4a＋5|,\r(42＋－32))≤|a|，两边平方得9a2－40a－25≥0，所以(9a＋5)(a－5)≥0，解得a≤－eq \f(5,9)或a≥5，所以a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(5,9)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，＋∞)).
[全国卷5年真题集中演练——明规律]
1．(2016·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝eq \r(10)，求l的斜率．
解：(1)由x＝ρcs θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcs θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．
设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcs α＋11＝0.
于是ρ1＋ρ2＝－12cs α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝eq \r(ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2)
＝eq \r(144cs2α－44).
由|AB|＝eq \r(10)得cs2α＝eq \f(3,8)，tan α＝±eq \f(\r(15),3).
所以直线l的斜率为eq \f(\r(15),3)或－eq \f(\r(15),3).
2．(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(3)cs α，,y＝sin α))(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝2eq \r(2).
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．
解：(1)C1的普通方程为eq \f(x2,3)＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(eq \r(3)cs α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝eq \f(|\r(3)cs α＋sin α－4|,\r(2))＝eq \r(2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－2))，
当且仅当α＝2kπ＋eq \f(π,6)(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为eq \r(2)，此时P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2))).
3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2eq \r(3)cs θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标；
(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．
解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，
曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2eq \r(3)x＝0.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).
(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.
因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2eq \r(3)cs α，α)．
所以|AB|＝|2sin α－2eq \r(3)cs α|＝4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3))))).
当α＝eq \f(5π,6)时，|AB|取得最大值，最大值为4.
4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1，直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝3sin θ))(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cs θ，3sin θ)到l的距离为d＝eq \f(\r(5),5)|4cs θ＋3sin θ－6|.则|PA|＝eq \f(d,sin 30°)＝eq \f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝eq \f(4,3).当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为eq \f(22\r(5),5).当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为eq \f(2\r(5),5).
5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cs θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)求C的参数方程；
(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝eq \r(3)x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．
解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．
可得C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋cs t，,y＝sin t))(t为参数，0≤t≤π)．
(2)设D(1＋cs t，sin t)．由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝eq \r(3)，t＝eq \f(π,3).
故D的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋cs\f(π,3)，sin\f(π,3)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2))).
6．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t，)) (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
解：(1)将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4＋5cs t，,y＝5＋5sin t))消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0
得ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcs θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－8x－10y＋16＝0，,x2＋y2－2y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝2.))
所以C1与C2交点的极坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2))).
[课时达标检测] 基础送分题——高考就考那几点，练通就能把分捡
1．(2017·郑州模拟)已知曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2－\f(\r(3),2)t，,y＝\f(1,2)t，))曲线C2的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)csθ－eq \f(π,4)，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．
(1)求曲线C2的直角坐标方程；
(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值．
解：(1)ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4)))＝2(cs θ＋sin θ)，
即ρ2＝2(ρcs θ＋ρsin θ)，可得x2＋y2－2x－2y＝0，
故C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
(2)C1的普通方程为x＋eq \r(3)y＋2＝0，由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心，以eq \r(2)为半径的圆，且圆心到直线C1的距离d＝eq \f(|1＋\r(3)＋2|,\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(3＋\r(3),2)，所以动点M到曲线C1的距离的最大值为eq \f(3＋\r(3)＋2\r(2),2).
2．在极坐标系中，已知三点O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4))).
(1)求经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程；
(2)以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)，若圆C1与圆C2外切，求实数a的值．
解：(1)O(0,0)，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)，\f(π,4)))对应的直角坐标分别为O(0,0)，A(0,2)，B(2,2)，则过点O，A，B的圆的普通方程为x2＋y2－2x－2y＝0，将eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))代入可求得经过点O，A，B的圆C1的极坐标方程为ρ＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,4))).
(2)圆C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋acs θ，,y＝－1＋asin θ))(θ是参数)对应的普通方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝a2，圆心为(－1，－1)，半径为|a|，而圆C1的圆心为(1,1)，半径为eq \r(2)，所以当圆C1与圆C2外切时，有eq \r(2)＋|a|＝eq \r(－1－12＋－1－12)，解得a＝±eq \r(2).
3．(2017·太原模拟)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝eq \f(π,4)(ρ∈R)，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ.))
(1)写出直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；
(2)过点M且平行于直线l的直线与曲线C交于A，B两点，若|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，求点M轨迹的直角坐标方程．
解：(1)直线l的直角坐标方程为y＝x，曲线C的普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.
(2)设点M(x0，y0)，过点M的直线为l1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋\f(\r(2),2)t，y＝y0＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，由直线l1与曲线C相交可得：eq \f(3t2,2)＋eq \r(2)tx0＋2eq \r(2)ty0＋xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)－2＝0，由|MA|·|MB|＝eq \f(8,3)，得t1t2＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,0)＋2y\\al(2,0)－2,\f(3,2))))＝eq \f(8,3)，即xeq \\al(2,0)＋2yeq \\al(2,0)＝6，x2＋2y2＝6表示一椭圆，设直线l1为y＝x＋m，将y＝x＋m代入eq \f(x2,2)＋y2＝1得，3x2＋4mx＋2m2－2＝0，由Δ>0得－eq \r(3)
4．(2017·江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy中，C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))(t为参数)．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0.
(1)求C1的普通方程及C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若P，Q分别为C1，C2上的动点，且|PQ|的最小值为2，求k的值．
解：(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝kt－1))可得其普通方程为y＝k(x－1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k的直线．
由ρ2＋10ρcs θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x2＋y2＋10x－6y＋33＝0，整理得(x＋5)2＋(y－3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．
(2)因为圆心(－5,3)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|－6k－3|,\r(1＋k2))＝eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))，故|PQ|的最小值为eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1，故eq \f(|6k＋3|,\r(1＋k2))－1＝2，得3k2＋4k＝0，解得k＝0或k＝－eq \f(4,3).
5．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P的直角坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))，曲线C的极坐标方程为ρ＝5，直线l过点P且与曲线C相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若|AB|＝8，求直线l的直角坐标方程．
解：(1)由ρ＝5 知ρ2＝25，所以x2＋y2＝25，
即曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝25.
(2)设直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3＋tcs α，,y＝－\f(3,2)＋tsin α))(t为参数)，①
将参数方程①代入圆的方程x2＋y2＝25，
得4t2－12(2cs α＋sin α)t－55＝0，
∴Δ＝16[9(2cs α＋sin α)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t1，t2，
∴|AB|＝|t1－t2|＝eq \r(92cs α＋sin α2＋55)＝8，
化简有3cs2α＋4sin αcs α＝0，
解得cs α＝0或tan α＝－eq \f(3,4)，
从而可得直线l的直角坐标方程为x＋3＝0或3x＋4y＋15＝0.
6．已知动点P，Q都在曲线C：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝2sin t))(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
解：(1)依题意有P(2cs α，2sin α)，Q(2cs 2α，2sin 2α), 因此M(cs α＋cs 2α，sin α＋sin 2α)．
M的轨迹的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α＋cs 2α，,y＝sin α＋sin 2α))(α为参数，0＜α＜2π)．
(2)M点到坐标原点的距离d＝eq \r(x2＋y2)＝eq \r(2＋2cs α)(0＜α＜2π)．当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
7．(2017·河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3))(t为参数)，在以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)相交于A，B两点．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求△AOB的面积．
解：(1)由曲线C的极坐标方程ρ＝eq \f(2cs θ,sin2θ)，得ρ2sin2θ＝2ρcs θ，所以曲线C的直角坐标方程是y2＝2x(x≠0)．由直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋t，,y＝t－3，))得t＝3＋y，代入x＝1＋t中，消去t得x－y－4＝0，所以直线l的普通方程为x－y－4＝0.
(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2x，得t2－8t＋7＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝8，t1t2＝7，所以|AB|＝eq \r(2)|t1－t2|＝eq \r(2)×eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝eq \r(2)×eq \r(82－4×7)＝6eq \r(2)，因为原点到直线x－y－4＝0的距离d＝eq \f(|－4|,\r(1＋1))＝2eq \r(2)，所以△AOB的面积是eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×6eq \r(2)×2eq \r(2)＝12.
8．极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝8cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)设直线l与曲线C交于A，B两点，与x轴的交点为F，求eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)的值．
解：(1)由ρsin2θ＝8cs θ得，ρ2sin2θ＝8ρcs θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2＝8x.
(2)易得直线l与x轴的交点为F(2,0)，将直线l的方程代入y2＝8x，得(tsin α)2＝8(2＋tcs α)，整理得sin2α·t2－8cs α·t－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cs α)2－4×(－16)sin2α＝64＞0，∴t1＋t2＝eq \f(8cs α,sin2α)，t1t2＝－eq \f(16,sin2α)＜0，故eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,|t1|)＋eq \f(1,|t2|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,t1)－\f(1,t2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1－t2,t1t2)))＝eq \f(\r(t1＋t22－4t1t2),|t1t2|)＝ eq \f(\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8cs α,sin2α)))2＋\f(64,sin2α)),\f(16,sin2α))＝eq \f(1,2).
平面直角坐标系下图形的伸缩变换
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)x≠0))
极坐标与直角坐标的互化
第一步
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x轴正半轴是否重合，若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化
第二步
通过极坐标方程的两边同乘ρ或同时平方构造ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，一定要注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解
第三步
根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))及ρ2＝x2＋y2将极坐标方程转化为直角坐标方程
极坐标方程的应用
参数方程与普通方程的互化
直线与圆锥曲线的参数方程及应用
参数方程与极坐标方程的综合问题
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