全国统考2022版高考数学大一轮复习选修4－5不等式选讲2备考试题（含解析）

选修4-5　不等式选讲

1.[2021晋南高中联考]已知函数f(x)=|x+3|-|x-1|.

(1)在图1坐标系中画出函数y=f(x)的图象,并写出f(x)的值域;

(2)若f(x)≤|x+a|恒成立,求a的取值范围.

图1

2.[2021长春市高三质监]已知a>0,b>0,a+b=4.

(1)求证:≥2 .

(2)求证:≥+ .

3.[2021蓉城名校联考]已知m>n>0,函数f(x)=|x+|.

(1)若m=3,n=1,求不等式f(x)>2的解集;

(2)求证:f(x)≥4-|x-m2|.

4.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当a=-4时,求不等式f(x)≥6的解集;

(2)若f(x)≤|x-3|的解集包含[0,1],求实数a的取值范围.

5.[2020河南安阳高三第一次调研考试]已知函数f(x)=|x+1|+a|x+2|.

(1)求a=1时,f(x)≤3的解集;

(2)若f(x)有最小值,求a的取值范围,并写出相应的最小值.

6.[2019四省八校联考]已知f(x)=|2x-1|-|x+2|,g(x)=|x-a|-|x+a+1|.

(1)解不等式f(x)>4;

(2)若∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),求实数a的取值范围.

7.[2021贵阳市四校第二次联考]已知函数f(x)=|2x+2|-5.

(1)解不等式:f(x)≥|x-1|.

(2)当m≥-1时,函数g(x)=f(x)+|x-m|的图象与x轴围成一个三角形,求实数m的取值范围.

8.[2021安徽省示范高中联考]已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+3|.

(1)求不等式|2x-1|+|2x+3|≤9的解集;

(2)若关于x的方程f(x)-k2+3k=0有实数解,求实数k的取值范围.

9.[2021陕西百校联考]已知函数f(x)=|x-1|-|3-2x|.

(1)求不等式f(x)≥(x-1)的解集;

(2)若函数f(x)的最大值为n,且2a+b=n(a>0,b>0),求的最小值.

10.[2020惠州市一调]已知f(x)=|x+1|+|ax-a+1|.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立,求a的取值范围.

11.[2020四川五校联考]已知函数f(x)=|x-1|.

(1)求不等式f(2x)-f(x+1)≥2的解集;

(2)若a>0,b>0且a+b=f(3),求证:≤2.

12.[2020安徽安庆二模]已知a>0,b>0,且a2+b2=1.

(1)若对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤恒成立,求实数x的取值范围;

(2)证明:()(a5+b5)≥1.

答 案

选修4-5　不等式选讲

1.(1)由题设知,f(x)=,其图象如图D 4所示,

图D 4

由图可得f(x)的值域为[-4,4].

(2)在同一坐标系中画出y=|x+a|的大致图象,

当y=|x+a|的图象过点(1,4)时,a=3或-5,

由图D 5知,若f(x)≤|x+a|恒成立,则a≥3.

图D 5

2.(1)因为a>0,b>0,所以a2+b2≥2ab,所以a2+b2≥,所以≥(a+b)=2,当且仅当a=b=2时取等号.

(2)因为a+b=4,所以a+2+b=6,

所以=()×[1+2+]≥(3+2)=,当且仅当,即时取等号.

3.(1)依题意,得f(x)=|x+|,

则f(x)>2⇔|x+|>2⇔x+>2或x+<-2,

解得x>或x<,故不等式f(x)>2的解集为{x|x>或x<}.

(2)依题意,f(x)≥4-|x-m2|⇔|x+|+|x-m2|≥4,

因为|x+|+|x-m2|≥|x+(x-m2)|=m2+,

m=n+(m-n)≥2,故≥,

故m2+≥m2+≥4,当且仅当m=,n=时,等号成立.

4.(1)当a=-4时,f(x)≥6即|x-4|+|x-2|≥6,

即或或

解得x≤0或x∈⌀或x≥6,所以原不等式的解集为(-∞,0]∪[6,+∞).

(2)f(x)≤|x-3|的解集包含[0,1]等价于f(x)≤|x-3|在[0,1]上恒成立,即|x+a|+2-x≤3-x在[0,1]上恒成立,

即-1-x≤a≤1-x在[0,1]上恒成立,

所以-1≤a≤0,即实数a的取值范围为[-1,0].

【归纳总结】　解含有两个绝对值符号的不等式常用的方法是零点分段法.解答本题第(2)问的关键是先将问题转化为不等式恒成立问题,然后转化为求函数最值的问题.

5.(1)当a=1时,f(x)=|x+1|+|x+2|=

当x≤-2时,f(x)≤3即-2x-3≤3,解得-3≤x≤-2;

当-2<x<-1时,f(x)≤3即1≤3,恒成立;

当x≥-1时,f(x)≤3即2x+3≤3,解得-1≤x≤0.

综上可得f(x)≤3的解集为[-3,0].

(2)f(x)=|x+1|+a|x+2|=

当-(a+1)>0,即a<-1时,f(x)无最小值;

当-(a+1)=0,即a=-1时,f(x)有最小值-1;

当-(a+1)<0且a-1≤0,即-1<a≤1时,f(x)min=f(-1)=a;

当-(a+1)<0且a-1>0,即a>1时,f(x)min=f(-2)=1.

综上,若f(x)有最小值,则a的取值范围为[-1,+∞),且当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-1)=a,当a>1时,f(x)min=f(-2)=1.

6.(1)f(x)>4,即|2x-1|-|x+2|>4.

当x<-2时,-(2x-1)+(x+2)>4,解得x<-2;

当-2≤x≤时,-(2x-1)-(x+2)>4,解得-2≤x<;

当x>时,2x-1-(x+2)>4,解得x>7.

综上,不等式f(x)>4的解集为{x|x<或x>7}.

(2)因为∀x1∈R,∃x2∈R,使得f(x2)=g(x1),所以g(x)的值域是f(x)值域的子集.

因为f(x)=|2x-1|-|x+2|=

所以可得f(x)的值域为[,+∞).

易知g(x)=|x-a|-|x+a+1|的值域为[-|2a+1|,|2a+1|],

所以-|2a+1|≥,即|2a+1|≤,则≤2a+1≤,≤a≤,即实数a的取值范围为[,].

7.(1)由题意知,原不等式等价于或或

解得x≤-8或∅或x≥2,

综上,不等式f(x)≥|x-1|的解集为(-∞,-8]∪[2,+∞).

(2)当m=-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x+1|=3|x+1|-5,此时g(x)的图象与x轴围成一个三角形,满足题意;

当m>-1时,g(x)=|2x+2|-5+|x-m|=

则函数g(x)在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,

要使函数g(x)的图象与x轴围成一个三角形,则

解得≤m<4.

综上所述,实数m的取值范围为[,4)∪{-1}.

8.(1)原不等式等价于或或

解得<x≤或≤x≤或≤x<,

所以不等式的解集为{x|≤x≤}.

(2)|2x-1|+|2x+3|≥|2x-1-2x-3|=4,

方程f(x)-k2+3k=0有实数解,即函数y=f(x)与y=k2-3k的图象有交点,只需k2-3k≥4,

解得k≤-1或k≥4.

所以实数k的取值范围为{k|k≤-1或k≥4}.

9.(1)由已知得f(x)=

∴当x<1时,x-2≥(x-1),无解;

当1≤x≤时,3x-4≥(x-1)⇒≤x≤;

当x>时,-x+2≥(x-1)⇒<x≤.

综上所述,不等式的解集为[,].

(2)由(1)可知f(x)max=f()=n=,∵2a+b=n=(a>0,b>0),

∴=2()(2a+b)=2(4+1+)=10+4()≥10+4×2=18,当且仅当,即a=b=时,“=”成立.

故的最小值为18.

10.(1)解法一　当a=1时,不等式f(x)≥3即|x+1|+|x|≥3.

当x<-1时,-x-1-x≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;

当-1≤x<0时,x+1-x≥3,无解;

当x≥0时,x+1+x≥3,解得x≥1,所以x≥1.

综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).

解法二　当a=1时,f(x)=|x+1|+|x|=

当x<-1时,-2x-1≥3,解得x≤-2,所以x≤-2;

当-1≤x<0时,1≥3显然不成立;

当x≥0时,2x+1≥3,解得x≥1,所以x≥1.

综上,不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-2]∪[1,+∞).

(2)解法一　当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.

令g(x)=a(x-1)+1,则g(x)的图象为过定点(1,1)且斜率为a的直线.

数形结合可知,当a≥0时,|ax-a+1|≥1在[1,+∞)上恒成立.

所以,所求a的取值范围为[0,+∞).

解法二　当x≥1时,不等式f(x)≥x+2恒成立即|ax-a+1|≥1恒成立.

所以ax-a+1≤-1或ax-a+1≥1,

即a(x-1)≤-2或a(x-1)≥0.

当x≥1时,∀a∈R,不等式a(x-1)≤-2不恒成立,

当x≥1时,要使不等式a(x-1)≥0恒成立,需a≥0.

所以,所求a的取值范围为[0,+∞).

11.解法一　(1)因为f(x)=|x-1|,所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=由f(2x)-f(x+1)≥2得或或

解得x≤-1或x∈⌀或x≥3,所以不等式的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).

(2)a+b=f(3)=2,

要证≤2成立,

只需证()2≤(2)2成立,

即证a+b+2+2≤8,

只需证≤2成立.

因为a>0,b>0,所以根据基本不等式得

≤=2成立(当且仅当a=b=1时取等号),故命题得证.

解法二　(1)因为f(x)=|x-1|,

所以f(2x)-f(x+1)=|2x-1|-|x|=

作出函数g(x)=f(2x)-f(x+1)的图象与直线y=2(如图D 6),

图D 6

因为直线y=2和函数g(x)图象的交点为A(-1,2),B(3,2),

所以不等式g(x)≥2的解集为(-∞,-1]∪[3,+∞).

(2)a+b=f(3)=2,又a>0,b>0,

所以·≤,·≤,

故··≤=4,

所以≤2成立(当且仅当a=b=1时取等号).

故命题得证.

【方法总结】　含绝对值的不等式的解法有两种:一是零点分段法,即运用分类讨论思想求解;二是利用绝对值的几何意义求解,即运用数形结合思想求解.

12.(1)因为a2+b2=1,所以=()(a2+b2)=2+≥2+2=4,

即≥4,当且仅当a=b=时取等号,因此的最小值是4.

又对任意的正数a,b,不等式|2x-1|≤恒成立,所以|2x-1|≤4,即-4≤2x-1≤4,解得≤x≤.

故实数x的取值范围是[,].

(2)(基本不等式)因为a>0,b>0,且a2+b2=1,

所以()(a5+b5)

=a4+b4+

=2a2b2

≥+22a2b2

=+2a2b2-2a2b2

=

=1.