全国统考2022版高考数学大一轮复习第5章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理及坐标运算2备考试题（含解析）

第五章　平面向量

第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量

基本定理及坐标运算

1.[2021惠州市模拟]正方形ABCD中,点E,F分别是DC,BC的中点,那么= (　　)

A. B.-

C. D.-

2.[2021山东新高考模拟]已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平面内某静止物体的同一点上,为使该物体仍保持静止,还需给该物体同一点上再加一个力F3,则F3=(　　)

A.(1,-5) B.(-1,5)

C.(5,-1) D.(-5,1)

3.[2021广西模拟]已知向量a=(k,1)与b=(4,k),则“k=±2”是“a·b共线且方向相反”的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.[2021哈尔滨六中模拟]如图5-1-1,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,过点O的直线与AB,AD所在直线分别交于点M,N,若=m,=n(m>0,n>0),则+n的最小值为              (　　)A.              B.1              C.2              D.2图5-1-1

5.[2021洛阳市统考]如果向量a=(k,1)与b=(6,k+1)方向相同,那么实数k的值为　　　　. 

6.[2020唐山市模拟]已知|a|=5,b=(2,1),且a∥b,则向量a的坐标是　　　　　. 

7.[2020南昌市三模]如图5-1-2,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ(λ,μ∈R),则=　　　　. 

图5-1-2

8.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中·=0,存在实数λ,μ满足+λ+μ=0,则实数λ,μ的关系为              (　　)

A.λ2+μ2=1 B.=1

C.λμ=1 D.λ+μ=1

9.[角度创新]在平行四边形ABCD中,E是AB的中点,F是线段DE上的点,且,则 (　　)

A.=2 B.=2

C.=3 D.=3

10.[2021河北六校第一次联考]已知点O是△ABC内一点,且满足+2+m=0,,则实数m的值为 (　　)

A.-4 B.-2 C.2 D.4

11.[2021哈尔滨三中二模]已知△ABC中,长为2的线段AQ为BC边上的高,满足sin B+sin C=,H为AC上一点且,则BH=              (　　)

A. B.4  C. D.2

12.[2021山东部分重点中学第一次综合测试]如图5-1-3,在△ABC中,∠BAC=,=2,P为CD上一点,且满足=m,若△ABC的面积为2,则||的最小值为              (　　)

A. B. C.3 D.

图5-1-3

13.[2020百校联考]如图5-1-4所示的平面直角坐标系中,网格中小正方形的边长为1,若向量a,b,c满足c=xa+yb,且(ka-b)·c=0,则=　　　　. 

图5-1-4

答 案

第五章　平面向量

第一讲　平面向量的概念及线性运算、平面向量

基本定理及坐标运算

1.C　解法一　因为点E是DC的中点,所以.因为点F是BC的中点,所以=.所以,故选C.

图D 5-1-3

解法二　如图D 5-1-3,连接BD,因为点E,F分别是DC,BC的中点,所以()=,故选C.

2.A　由题意可知F1+F2+F3=0⇒F3=-(F1+F2)=(1,-5).

3.B　由a=(k,1),b=(4,k),且a,b共线,得k2-4=0,解得k=±2.当k=2时,a=(2,1),b=(4,2),a,b共线且方向相同;

当k=-2时,a=(-2,1),b=(4,-2)=-2(-2,1)=-2a,a,b共线且方向相反.

∴“k=±2”是“a,b共线且方向相反”的必要不充分条件.故选B.

4.D　由题意知+m+,

因为M,O,N三点共线,所以m+=1,

则+n=(m+)(+n)=×(1+1+mn+)≥×(2+2)=2,

当且仅当m=n=1时取“=”,故选D.

5.2　解法一　因为向量a与b方向相同,所以(k,1)=λ(6,k+1)(λ>0),所以解得 (舍去)或

解法二　由题意知a∥b,所以k(k+1)-1×6=0,解得k=2或k=-3,但当k=-3时,a=(-3,1),b=(6,-2)=-2a,两个向量方向相反,所以k=2.

6.(2,)或(-2,)　因为b=(2,1),所以|b|=,又|a|=5,a∥b,所以a=b或a=b,所以向量a的坐标为(2,)或(-2,).

7.　由题图可设=x(0<x<1),则=x()=x()=+x.因为=λ+μ,与不共线,所以λ=,μ=x,所以.

8.A　解法一　取特殊点,取C为优弧AB的中点,此时由平面向量基本定理易得λ=μ=,只有选项A符合.故选A.

解法二　依题意得||=||=||=1,=λ+μ,两边同时平方,得1=λ2+μ2.故选A.

9.D　解法一　设=λ.易知,则=λ=λ()+=(1λ)+λ,又,所以λ=,所以,即=3.

解法二　,则=3.

解法三　如图D 5-1-4,取CD的中点G,连接BG,设H为BG上一点,且BH=DF,易证得,则.过点H作HM∥AB,交AD于点M,交DE于点Q,作HN∥AD,交AB于点N,则,所以,根据平行线的性质可知BH=BG,则DF=DE,所以=3.

图D 5-1-4

10.D　由+2=-m得,=,如图D 5-1-5,设,则,∴A,B,D三点共线,∴与反向共线,m>0,∴,∴,∴,解得m=4.故选D.

图D 5-1-5

11.D　分别在AB,AC上取E,F,使得AE=AF=AQ=2,

连接QE,QF,BF,如图D 5-1-6所示.

因为线段AQ为BC边上的高,

所以ABsin∠ABC=ACsinC=AQ,所以sin∠ABC=,sin C=,所以,

由平面向量加法的平行四边形法则可得AE∥QF,AF∥QE,

所以四边形AEQF为菱形,所以AQ平分∠BAC,∠BAF=120°,

所以AB=AC,Q为BC的中点,E,F分别为AB,AC的中点.

所以AB=2AF=2AQ=4,又,所以点H为AC的中点,即点H与点F重合,

在△BAF中,BF2=AB2+AF2-2AB·AFcos∠BAF=16+4+8=28.

所以BH2=28,BH=2,故选D.

图D 5-1-6

12.B　设||=3a,||=b,则△ABC的面积为×3absin =2,解得ab=.由=m=m,且C,P,D三点共线,可知m+=1,得m=,故.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过A作AB的垂线为y轴,建立如图D 5-1-7所示的平面直角坐标系,则A(0,0),D(2a,0),B(3a,0),C(b,b),则=(b,b),=(2a,0),=(b+a,b),||2=(b+a)2+(b)2=b2+a2+ab+b2=b2+a2+1≥2+1=ab+1=3,当且仅当b2=a2,即b=6a时取等号,故||的最小值为.

图D 5-1-7

13.　结合图形得a=(1,2),b=(3,1),c=(4,4),由c=xa+yb得解得所以x+y=.由(ka-b)·c=0得ka·c-b·c=0,即12k-16=0,所以k=,所以.