预测02 三角形综合-2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

预测02  三角形综合

三角形综合题是全国中考常考题型。三角形是初中几何最基础的，也是中考考题必拿分题。

1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合都属于高频考点，三角形综合题以考查三角形全等为主。

2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！

三角形全等的判定    

一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。因此我们可以来采取逆思维的方式。来想要证全等，则需要什么条件，另一种则要根据题目中给出的已知条件，求出有关信息。然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。

1．（2020年菏泽中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．

2．（2020年南充中考）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

3.（2020年铜仁市中考）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

4.（2020年无锡中考）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．

求证：（1）△ABF≌△DCE；

（2）AF∥DE．

5.（2020年台州中考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

6. （2020年温州中考）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．

7.（2020年衡阳中考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

8.（2020年甘孜州中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．

（1）求证：DC平分∠ADE；

（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．

1．（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠B＝∠ANM，求证：AD＝AM．

2．（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC, AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC∽△DEB.

3．（江苏省南通市新桥中学2019-2020学年九年级中考模拟试卷一）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝50°，则∠BDE＝　  　°．

4.（2020年石家庄市四区九年级模拟联考数学试卷）如图，．点在上，，且．

（1）求证：：

（2）延长与相交于点，为的中点，，求的长，

5.（2020溧水区期末））如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．

（1）求证：AB＝CD；

（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

6.（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）如图，直线MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，∠EPM＝∠FQM，且∠AEP＝∠CFQ，求证：AB∥CD．

1．（2020年菏泽中考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．

【解析】由“AAS”可证△ABC≌△AED，可得AE＝AB，AC＝AD，由线段的和差关系可得结论．

【解答】证明：∵ED⊥AB，

∴∠ADE＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，BC＝DE，

∴△ABC≌△AED（AAS），

∴AE＝AB，AC＝AD，

∴CE＝BD．

2．（2020年南充中考）如图，点C在线段BD上，且AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，BC＝DE．求证：AB＝CD．

【解析】证明△ABC≌△CDE（ASA），可得出结论．

【解答】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE，

∴∠ACE＝∠ABC＝∠CDE＝90°，

∴∠ACB+∠ECD＝90°，∠ECD+∠CED＝90°，

∴∠ACB＝∠CED．

在△ABC和△CDE中，

，

∴△ABC≌△CDE（ASA），

∴AB＝CD．

3.（2020年铜仁市中考）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．

【解析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．

【解答】证明：∵AC∥DF，

∴∠ACB＝∠DFE，

∵BF＝CE，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

∴△ABC≌△DEF（ASA）．

4.（2020年无锡中考）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．

求证：（1）△ABF≌△DCE；

（2）AF∥DE．

【解析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；

（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．

【解答】证明：（1）∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

∵BE＝CF，

∴BE﹣EF＝CF﹣EF，

即BF＝CE，

在△ABF和△DCE中，

∴△ABF≌△DCE（SAS）；

（2）∵△ABF≌△DCE，

∴∠AFB＝∠DEC，

∴∠AFE＝∠DEF，

∴AF∥DE．

5.（2020年台州中考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）判断△BOC的形状，并说明理由．

【解析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE；

（2）由全等三角形的性质可得∠ABD＝∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，可求∠OBC＝∠OCB，可得BO＝CO，即可得结论．

【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）△BOC是等腰三角形，

理由如下：

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ABC﹣∠ABD＝∠ACB﹣∠ACE，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴BO＝CO，

∴△BOC是等腰三角形．

6.（2020年温州中考）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．

（1）求证：△ABC≌△DCE．

（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．

【解析】（1）由“AAS”可证△ABC≌△DCE；

（2）由全等三角形的性质可得CE＝BC＝5，由勾股定理可求解．

【解答】证明：（1）∵AB∥DE，

∴∠BAC＝∠D，

又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，

∴△ABC≌△DCE（AAS）；

（2）∵△ABC≌△DCE，

∴CE＝BC＝5，

∵∠ACE＝90°，

∴AE13．

7.（2020年衡阳中考）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．

（1）求证：DE＝DF；

（2）若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．

【解析】（1）根据DE⊥AB，DF⊥AC可得∠BED＝∠CFD＝90°，由于∠B＝∠C，D是BC的中点，AAS求证△BED≌△CFD即可得出结论．

（2）根据直角三角形的性质求出∠B＝50°，根据等腰三角形的性质即可求解．

【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴∠BED＝∠CFD＝90°，

∵D是BC的中点，

∴BD＝CD，

在△BED与△CFD中，

，

∴△BED≌△CFD（AAS），

∴DE＝DF；

（2）解：∵∠BDE＝40°，

∴∠B＝50°，

∴∠C＝50°，

∴∠BAC＝80°．

8.（2020年甘孜州中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．

（1）求证：DC平分∠ADE；

（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；

（3）若BE＝BD，求tan∠ABC的值．

【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可．

（2）结论：AB⊥BE．证明C，E，B，D四点共圆即可解决问题．

（3）设BC交DE于O．连接AO．想办法证明△ACO是等腰直角三角形，OA＝OB即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，

∴CA＝CD，∠A＝∠CDE

∴∠A＝∠CDA，

∴∠CDA＝∠CDE，

∴CD平分∠ADE．

（2）解：结论：BE⊥AB．

由旋转的性质可知，∠DBC＝∠CED，

∴D，C，E，B四点共圆，

∴∠DCE+∠DBE＝90°，

∵∠DCE＝90°，

∴∠DBE＝90°，

∴BE⊥AB．

（3）如图，设BC交DE于O．连接AO．

∵BD＝BE，∠DBE＝90°，

∴∠DEB＝∠BDE＝45°，

∵C，E，B，D四点共圆，

∴∠DCO＝∠DEB＝45°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠OCD，

∵CD＝CD，∠ADC＝∠ODC，

∴△ACD∽△OCD（ASA），

∴AC＝OC，

∴∠AOC＝∠CAO＝45°，

∵∠ADO＝135°，

∴∠CAD＝∠ADC＝67.5°，

∴∠ABC＝22.5°，

∵∠AOC＝∠OAB+∠ABO，

∴∠OAB＝∠ABO＝22.5°，

∴OA＝OB，设AC＝OC＝m，则AO＝OBm，

∴tan∠ABC1．

1．（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，∠B＝∠ANM，求证：AD＝AM．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

从图中观察，∠BAC等于∠BAD与∠DAC的和，∠DAM等于∠DAC与∠NAM的和，因∠BAC与∠DAM相等，经计算得∠BAD＝∠NAM相等；线段AB与AN，∠B与∠ANM相等，从而证明△ABD和△ANM全等，由三角形全等的性质得线段AD与AM相等．

【详解】解：图形如下：

由图可知：∠BAC＝∠BAD+∠DAC，∠DAM＝∠DAC+∠NAM，

∵∠BAC＝∠DAM

∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠NAM，

∴∠BAD＝∠NAM，

在△ABD和△ANM中

，

∴△ABD≌△ANM（ASA），

∴AD＝AM．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角的和差相关知识；重点是掌握三角形全等的判定的方法，难点是通过角的和差找另一组角相等．

2．（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC, AB上，且∠ADE=60°.求证：△ADC∽△DEB.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据等边三角形性质得∠B=∠C，根据三角形外角性质得∠CAD=∠BDE,易证.

【详解】证明：ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°,

∴∠ADB=∠CAD+∠C= ∠CAD+60°，

∵∠ADE=60°，

∴∠ADB=∠BDE+60°,

∴∠CAD=∠BDE,

∴

【点睛】考核知识点：相似三角形的判定.根据等边三角形性质和三角形外角确定对应角相等是关键.

3．（江苏省南通市新桥中学2019-2020学年九年级中考模拟试卷一）如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．

（1）求证：△AEC≌△BED；

（2）若∠1＝50°，则∠BDE＝　  　°．

【解析】（1）要证明△AEC≌△BED，只要求得∠AEC＝∠BED即可，根据∠1＝∠2和三角形内角和可以得到∠AEC＝∠BED，然后写出△AEC≌△BED的条件，即可证明结论成立；

（2）根据（1）中证明的结论和等腰三角形的性质，可以求得∠ECD的度数，然后即可求得∠BDE的度数．

【解答】（1）证明：∵∠B＝∠A，∠BOE＝∠AOD，

∴∠3＝∠2，

∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠1，

∴∠3+∠AED＝∠1+∠AED，

∴∠BED＝∠AEC，

在△AEC和△BED中

∴△AEC≌△BED（ASA）；

（2）∵△AEC≌△BED，

∴EC＝ED，

∴∠EDC＝∠ECD，

∵∠1＝50°，∠1＝∠2，

∴∠EDC＝∠ECD＝65°，∠2＝50°，

∴∠BDE＝180°﹣∠2﹣∠EDC＝65°，

故答案为：65．

4.（2020年石家庄市四区九年级模拟联考数学试卷）如图，．点在上，，且．

（1）求证：：

（2）延长与相交于点，为的中点，，求的长，

【解析】解：(1)证明：∵，

∴，

∵

∴，

在和中

∴，

（2）解：∵，∴为中点，

又∵为中点，∴为的中位线，∴，

又∵，∴，∴，

5.（2020溧水区期末））如图，点C、E、F、B在同一直线上，点A、D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．

（1）求证：AB＝CD；

（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．

【解析】（1）根据平行线的性质求出∠B＝∠C，根据AAS推出△ABE≌△DCF，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）根据全等得出AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，求出CF＝CD，推出∠D＝∠CFD，即可求出答案．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠B＝∠C，

在△ABE和△DCF中，

，

∴△ABE≌△DCF（AAS），

∴AB＝CD；

（2）解：∵△ABE≌△DCF，

∴AB＝CD，BE＝CF，∠B＝∠C，

∵∠B＝40°，

∴∠C＝40°

∵AB＝CF，

∴CF＝CD，

∴∠D＝∠CFD（180°﹣40°）＝70°．

6.（2020年湖北省武汉市江汉区常青第一学校中考数学一模试题）如图，直线MN分别交AB和CD于点E、F，点Q在PM上，∠EPM＝∠FQM，且∠AEP＝∠CFQ，求证：AB∥CD．

【答案】详见解析．

【解析】

【分析】

如图，根据已知条件和三角形内角和定理可得∠1＝∠2，再根据平行线的判定方法即得结论．

【详解】证明：如图，∵∠EPM＝∠FQM，∠AEP＝∠CFQ，∠EPM+∠AEP+∠1＝180°，∠FQM+∠CFQ+∠2＝180°，

∴∠1＝∠2，

∴AB∥CD．