预测04 圆的综合2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

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预测04 圆的综合

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
①有关圆的证明题
②有关圆的计算


圆的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！圆作为一个载体，常与三角形、四边形结合，难度系数中等。
1．从考点频率看，圆是高频考点，中考对圆的知识点考查，综合能力要求极高！
2．从题型角度看，以解答题为主，分值10分左右！

圆常见辅助线的作法
1：连接半径，构造等腰三角形
在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件，我们通常可以连接半径构造等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质及圆中的相关定理。
2：遇弦添加弦心距或半径
根据垂径定理，连半径，可以构造直角三角形。设未知数，利用勾股定理列方程，求线段的长度。
3：构造同弧或等弧所对的圆心角或圆周角解题
在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
在同一圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
4：构造直角或直径
直径所对的圆周角是90°。
5：切线的性质有关的辅助线——添加过切点的半径
利用切线性质，可得半径与切线垂直
6：切线的判定有关的辅助线
（1） 有公共点，连半径，证垂直。（2）无公共点，作垂直，证明与半径相等。
7：与三角形内切圆有关的辅助线
遇到三角形的内切圆时，连接内心与三角形各顶点，利用内心的性质进行有关计算与证明。


中考圆的综合题常见的隐含条件：①同圆所有的半径都相等；②直径所对的圆周角相等；③同弧或等弧所对的圆周角相等。有关圆的解答题综合性特别强，会用到初中阶段所学所有几何知识点，如果所有方法都尝试不行，记得用相似，对应边成比例。

1．（2020年铜仁市中考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，求CD的长．










2．（2020年齐齐哈尔中考）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．




3.（2020年河南中考）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．

已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　 　．
求证：　 　．








4.（2020年安徽中考）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．



5.（2020年襄阳中考）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD，求图中阴影部分的面积．

6.（2020年南京中考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．




7.（2020年广元中考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．





8.（2020年哈尔滨中考）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；
（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长．








1．（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．

2．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）如图，是直径，且，点为外一点，且分别切于两点，与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是正方形．
②当的度数为_________时，为等边三角形．

3．（2020年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考数学模拟试题）如图，在中，以为直径的，交于点，且交直线于点，连接．
如图1，求证：；
如图2，为钝角时，过点作于点求证：；
如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作，使分别交于点交于点，若，求的长．





4.（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．


5.（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．


6.（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．
（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；
（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．


7.（2021年河南省许昌市禹州市中考数学一模试题） 如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．





8.（广东省汕头市金平区金园实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．
（1）证明：AC＝EC；
（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．








9.（湖北省武汉市华中科技大学同济医学院附属中学2020-2021学年九年级上学期元月调考数学模拟试题）如图，DA，DC是⨀O切线，AB是直径，OD交⨀O于G，连接BG 并延长交AD于E，∠DEG＝4∠ABG
（1）证明：BE∥DC
（2）连接CE交⨀O于H，DE＝1，求EH






10.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC．⨀O经过A、B、D三点． 连接DO并延长交⨀O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
（1）求证：CB是⨀O的切线；
（2）求证：AB=EB；
（3）若DF=3，EF=7，求BC的长．

1．（2020年铜仁市中考）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，，求CD的长．

【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，等量代换得到∠ACO＝∠BCD，求得∠DCO＝90°，于是得到结论；
（2）设BC＝k，AC＝2k，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠BCE＝∠BCD，
∴∠A＝∠BCD，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD，
∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝∠BCE，
∴tanAtan∠BCE，
设BC＝k，AC＝2k，
∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝8，
∴CD＝4．


2．（2020年齐齐哈尔中考）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．

【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OD，
∵，
∴∠BOD180°＝60°，
∵，
∴∠EAD＝∠DABBOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BDAB＝3，
∴AD3．

3.（2020年河南中考）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具﹣﹣三分角器．图1是它的示意图，其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上，且AB的长度与半圆的半径相等；DB与AC垂直于点B，DB足够长．

使用方法如图2所示，若要把∠MEN三等分，只需适当放置三分角器，使DB经过∠MEN的顶点E，点A落在边EM上，半圆O与另一边EN恰好相切，切点为F，则EB，EO就把∠MEN三等分了．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，　AB＝OB，EN切半圆O于F　．
求证：　EB，EO就把∠MEN三等分　．
【分析】根据垂直的定义得到∠ABE＝∠OBE＝90°，根据全等三角形的性质得到∠1＝∠2，根据切线的性质得到∠2＝∠3，于是得到结论．
【解析】已知：如图2，点A，B，O，C在同一直线上，EB⊥AC，垂足为点B，AB＝OB，EN切半圆O于F．
求证：EB，EO就把∠MEN三等分，
证明：∵EB⊥AC，
∴∠ABE＝∠OBE＝90°，
∵AB＝OB，BE＝BE，
∴△ABE≌△OBE（SAS），
∴∠1＝∠2，
∵BE⊥OB，
∴BE是⊙E的切线，
∵EN切半圆O于F，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴EB，EO就把∠MEN三等分．
故答案为：AB＝OB，EN切半圆O于F；EB，EO就把∠MEN三等分．
4.（2020年安徽中考）如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．
（1）求证：△CBA≌△DAB；
（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．

【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．
【解析】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
在Rt△CBA与Rt△DAB中，，
∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；
（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，
∴∠E＝∠BFE，
∵BE是半圆O所在圆的切线，
∴∠ABE＝90°，
∴∠E+∠BAE＝90°，
由（1）知∠D＝90°，
∴∠DAF+∠AFD＝90°，
∵∠AFD＝∠BFE，
∴∠AFD＝∠E，
∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴AC平分∠DAB．
5.（2020年襄阳中考）如图，AB是⊙O的直径，E，C是⊙O上两点，且，连接AE，AC．过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D．
（1）判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝4，CD，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）连接OC，根据，求得∠CAD＝∠BAC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠ACO，推出AD∥OC，根据平行线的性质得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切线；
（2）连接OE，连接BE交OC于F，根据垂径定理得到OC⊥BE，BF＝EF，由圆周角定理得到∠AEB＝90°，根据矩形的性质得到EF＝CD，根据勾股定理得到AE2，求得∠AOE＝60°，连接CE，推出CE∥AB，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解析】（1）证明：连接OC，
∵，
∴∠CAD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠ACO，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接OE，连接BE交OC于F，
∵，
∴OC⊥BE，BF＝EF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠FED＝∠D＝∠EFC＝90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF＝CD，
∴BE＝2，
∴AE2，
∴AEAB，
∴∠ABE＝30°，
∴∠AOE＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∵，
∴∠COE＝∠BOC＝60°，
连接CE，
∵OE＝OC，
∴△COE是等边三角形，
∴∠ECO＝∠BOC＝60°，
∴CE∥AB，
∴S△ACE＝S△COE，
∵∠OCD＝90°，∠OCE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴DECD＝1，
∴AD＝3，
∴图中阴影部分的面积＝S△ACD﹣S扇形COE3．

6.（2020年南京中考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F．
求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；
（2）AF＝EF．

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠BAC＝∠B，根据平行线的性质得出∠ADF＝∠B，求出∠ADF＝∠CFD，根据平行线的判定得出BD∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）求出∠AEF＝∠B，根据圆内接四边形的性质得出∠ECF+∠EAF＝180°，根据平行线的性质得出∠ECF+∠B＝180°，求出∠AEF＝∠EAF，根据等腰三角形的判定得出即可．
【解析】证明：（1）∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠B，
∵DF∥BC，
∴∠ADF＝∠B，
∵∠BAC＝∠CFD，
∴∠ADF＝∠CFD，
∴BD∥CF，
∵DF∥BC，
∴四边形DBCF是平行四边形；

（2）连接AE，
∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵四边形AECF是⊙O的内接四边形，
∴∠ECF+∠EAF＝180°，
∵BD∥CF，
∴∠ECF+∠B＝180°，
∴∠EAF＝∠B，
∴∠AEF＝∠EAF，
∴AE＝EF．
7.（2020年广元中考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA平分∠BAC交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．

（1）如图1，求证：AB为⊙O的切线；
（2）如图2，AB与⊙O相切于点E，连接CE交OA于点F．
①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．
②若OF：FC＝1：2，OC＝3，求tanB的值．
【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG＝OC，即可证明；
（2）①利用切线长定理，证明OE＝OC，结合OE＝OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；
②根据OF：FC＝1：2，OC＝3求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO＝x，BE＝y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果．
【解析】（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，
∵OA平分∠BAC交BC于点O，
∴OG＝OC，
∴点G在⊙O上，
即AB与⊙O相切；

（2）①OA垂直平分CE，理由是：
连接OE，
∵AB与⊙O相切于点E，AC与⊙O相切于点C，
∴AE＝AC，
∵OE＝OC，
∴OA垂直平分CE；
②∵OF：FC＝1：2，OC＝3，
则FC＝2OF，在△OCF中，OF2+（2OF）2＝32，
解得：OF，则CF，
由①得：OA⊥CE，
则∠OCF+∠COF＝90°，又∠OCF+∠ACF＝90°，
∴∠COF＝∠ACF，而∠CFO＝∠ACO＝90°，
∴△OCF∽△OAC，
∴，即，
解得：AC＝6，
∵AB与圆O切于点E，
∴∠BEO＝90°，AC＝AE＝6，而∠B＝∠B，
∴△BEO∽△BCA，
∴，设BO＝x，BE＝y，
则，
可得：，
解得：，即BO＝5，BE＝4，
∴tanB．


8.（2020年哈尔滨中考）已知：⊙O是△ABC的外接圆，AD为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为E，连接BO，延长BO交AC于点F．
（1）如图1，求证：∠BFC＝3∠CAD；
（2）如图2，过点D作DG∥BF交⊙O于点G，点H为DG的中点，连接OH，求证：BE＝OH；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG，若DG＝DE，△AOF的面积为，求线段CG的长．
【分析】（1）由垂径定理可得BE＝EC，由线段垂直平分线的性质可得AB＝AC，由等腰三角形的性质可得∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，由外角的性质可得结论；
（2）由“AAS”可证△BOE≌△ODH，可得BE＝OH；
（3）过点F作FN⊥AD，交AD于N，设DG＝DE＝2x，由全等三角形的性质可得OE＝DH＝x，OD＝3x＝OA＝OB，勾股定理可求BE＝2x，由锐角三角函数可求ANNF，ONNF，可得AO＝AN+ONNF，由三角形面积公式可求NF的长，可求x＝1，可得BE＝2OH，AE＝4，DG＝DE＝2，勾股定理可求AC＝2，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，通过证明△ACM∽△ADG，由相似三角形的性质可求AM，CM的长，由勾股定理可求GM的长，即可求解．
【解析】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴BE＝EC，
∴AB＝AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵OA＝OB，
∴∠BAD＝∠ABO，
∴∠BAD＝∠ABO＝∠CAD，
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABO，
∴∠BFC＝∠BAD+∠EAD+∠ABO＝3∠CAD；
（2）如图2，连接AG，

∵AD是直径，
∴∠AGD＝90°，
∵点H是DG中点，
∴DH＝HG，
又∵AO＝DO，
∴OH∥AG，AG＝2OH，
∴∠AGD＝∠OHD＝90°，
∵DG∥BF，
∴∠BOE＝∠ODH，
又∵∠OEB＝∠OHD＝90°，BO＝DO，
∴△BOE≌△ODH（AAS），
∴BE＝OH；
（3）如图3，过点F作FN⊥AD，交AD于N，

设DG＝DE＝2x，
∴DH＝HG＝x，
∵△BOE≌△ODH，
∴OE＝DH＝x，
∴OD＝3x＝OA＝OB，
∴BE2x，
∵∠BAE＝∠CAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CAE，
∴，
∴ANNF，
∵∠BOE＝∠NOF，
∴tan∠BOE＝tan∠NOF，
∴，
∴ONNF，
∴AO＝AN+ONNF，
∵△AOF的面积为，
∴AO×NFNF2，
∴NF，
∴AONF＝3＝3x，
∴x＝1，
∴BE＝2OH，AE＝4，DG＝DE＝2，
∴AC2，
如图3，连接AG，过点A作AM⊥CG，交GC的延长线于M，

由（2）可知：AG＝2OH＝4，
∵四边形ADGC是圆内接四边形，
∴∠ACM＝∠ADG，
又∵∠AMC＝∠AGD＝90°，
∴△ACM∽△ADG，
∴，
∴，
∴CM，AM，
∴GM，
∴CG＝GM﹣CM

1．（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF＝CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝2，求BD的长；
（3）在（2）的条件下，连接AC，求cos∠ACF的值．

【答案】（1）见解析；（2）BD＝；（3）
【解析】
【分析】
（1）证明△OCE≌△BFE（SAS），可得∠OBF＝∠COE＝90°，可得结论；
（2）由（1）得：△OCE≌△BFE，则BF＝OC＝1，根据勾股定理得：AF＝，利用面积法可得BD的长；
（3）作AG⊥CE于G，由题意得出AB＝2OB＝2，OE＝BE＝，得出AE＝，由等腰直角三角形的性质得出AC＝BC＝AB＝，由勾股定理得出CE＝＝，由面积法求出AG＝＝，由勾股定理求出CG的长，然后由三角函数定义即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接OC，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，OA＝OB，
∴OC⊥AB，
∴∠BOC＝90°，
∵E是OB的中点，
∴OE＝BE，
在△OCE和△BFE中，，
∴△OCE≌△BFE（SAS），
∴∠OBF＝∠COE＝90°，
∴直线BF是⊙O的切线；
（2）∵AB＝2，
∴OB＝OC＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴BF＝OC＝1，
∴AF＝＝＝，
∴S△ABF＝AB×BF＝AF×BD，
∴2×1＝•BD，
∴BD＝．
（3）作AG⊥CE于G，如图2所示：

∵AB＝2，
∴OA＝OC＝OB＝1，
由（1）得：△OCE≌△BFE（SAS），
∴OE＝BE＝OB＝，
∴AE＝OA+OE＝，
∵∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC＝AB＝，
∵OC⊥AB，
∴CE＝＝＝，
∵△ACE的面积＝CE×AG＝AE×OC，
∴AG＝＝＝，
∴CG＝＝＝，
∴cos∠ACF＝＝＝．
【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识；熟练掌握切线的判定，证明三角形全等是解题的关键．
2．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）如图，是直径，且，点为外一点，且分别切于两点，与的延长线交于点．

（1）求证：；
（2）填空：①当________时，四边形是正方形．
②当的度数为_________时，为等边三角形．
【答案】（1）见解析；（2）①4；②120
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质，判定，再由全等三角形的性质解得其对应边相等，对应角相等，进而证明即可解题；
（2）根据正方形的性质、等边三角形的性质解题即可.
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵分别切于两点，
∴．
在和中

∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
（2）①若四边形是正方形，则
故答案为：4
②若为等边三角形，则
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识是解题关键.
3．（2020年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考数学模拟试题）如图，在中，以为直径的，交于点，且交直线于点，连接．
如图1，求证：；

如图2，为钝角时，过点作于点求证：；

如图3，在的条件下，在∠BDF的内部作，使分别交于点交于点，若，求的长．

【答案】(1) 见解析；(2)见解析；(3)
【解析】
【分析】
（1）如下图，连接AD，将∠CBE转化为∠CAD，从而证明；
（2）如下图，延长交于连接，先利用Rt△ECB得到，CD=DB=ED，再利用垂径定理得出DB=BK，进而得出BE与DF的关系；
（3）如下图，先证，从而在中得出AB的长，结合、、可求得DG的长，最后利用推导出MG的长．
【详解】（1）证明：连接

为的直径


又
垂直平分

平分



（2）证明：延长交于连接

为的直径





且为的直径







（3）解：连接，连接










在中，

，

在中，
过作于，
则在中，
设，
在中，



，
中，
连接，







即


【点睛】本题考查圆的性质、全等三角形、相似三角形和三角函数的计算，属于几何综合题，解题关键是利用几何图形的相关性质，进行线段长度转化求解。
4.（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；
（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=3，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．
【详解】解：（1）连接FO

易证OF∥AB
∵AC⊙O直径
∴CE⊥AE
∵OF∥AB
∴OF⊥CE
∴OF所在直线垂直平分CE
∴FC＝FE，OE＝OC
∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE
∵Rt△ABC
∴∠ACB＝90°
即：∠OCE＋∠FCE＝90°
∴∠OEC＋∠FEC＝90°
即：∠FEO＝90°
∴FE为⊙O的切线

（2）∵⊙O的半径为3
∴AO＝CO＝EO＝3
∵∠EAC＝60°，OA＝OE
∴∠EOA＝60°
∴∠COD＝∠EOA＝60°
∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3
∴CD＝
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，
CD＝，AC＝6
∴AD＝．
【点睛】本题考查切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理．
5.（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG＝FG，连接CE．
(1)求证：EG是⊙O的切线；
(2)延长AB交GE的延长线于点M，若AH＝3，CH＝4，求EM的值．

【答案】证明见解析；．
【解析】
【分析】
连接OE，由得，由知，根据得，从而得出，即可得证；
连接OC，设，再中利用勾股定理求得，再证∽得，据此求解可得．
【详解】如图，连接OE，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
连接OC，设的半径为r，
、，
，，
则，
解得：，
，
，
，
∽，
，即，
解得：．
【点睛】本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质．
6.（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点（不与点A，B重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，垂足为E点．
（1）如图1，当AE=4，BE=2时，求CD的长度；
（2）如图2，连接AC，BD，点M为BD的中点．求证：ME⊥AC．

【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出半径，然后利用勾股定理求出CE的长度，最后利用垂径定理即可求出CD的长度；

（2）延长ME与AC交于点N，先利用直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质得出∠CEN=∠DEM=∠D，然后利用∠B=∠C，得出，则∠CNE =90°，则结论可证．
【详解】解：（1）如图1，连接OC．

∵ AE=4，BE=2，
∴AB =6，
∴CO =AO=3，
∴OE =AE-AO=1，
∵CD⊥AB，
∴ CE=
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CE=DE，
∴ CD=2CE=．
（2）证明：如图2，延长ME与AC交于点N．

∵CD⊥AB，
∴∠BED=90°．
∵ M为BD中点，
∴EM =BD =DM，
∴∠DEM=∠D，
∴∠CEN=∠DEM=∠D．
∵∠B=∠C，

∴∠CNE =90°，
即ME⊥AB．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键．
7.（2021年河南省许昌市禹州市中考数学一模试题） 如图，AC是⊙O的直径，点B是⊙O上一点，且BD＝BA，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BE＝2CE，当AD＝6时，求BD的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】（1）连接OB，OD，证明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，继而判断BE⊥OB，可得出结论；
（2）延长BO交AD于F，利用等腰三角形的性质求得DF=AF=3，证明△AFB△CEB，求得BF=2AF=6，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）证明：连接OB，OD，

△ABO和△DBO中，
，
∴△ABO≌△DBO（SSS），
∴∠DBO=∠ABO，
∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，
∴∠DBO=∠BDC，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
又OB为半径，
∴BE是⊙O的切线；
（2）延长BO交AD于F，
由（1）得∠DBO=∠ABO，
∵BD=BA，
∴BF⊥AD，DF=AF==3，
∵∠ABC=∠OBE=90，
∴∠ABF=∠CBE，
又∵∠AFB=∠CEB=90，BE=2CE，
∴△AFB△CEB，
∴，
∴BF=2AF=6，
∴BD=．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定和性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是作出常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8.（广东省汕头市金平区金园实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．
（1）证明：AC＝EC；
（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，再由圆周角定理得∠CBD＝∠CBE，则，得，即可得出结论；
（2）连接OC交AD于H，连接OA，设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，则OC⊥AD，由垂径定理得AH＝AD＝4，再由勾股定理求出CH＝3，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，
∴∠CBD＝∠CBE，
∴，
∴，
∴AC＝EC；
（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图：

设⊙O的半径为r，
由（1）得：，AC＝CE＝5，
∴OC⊥AD，
∴AH＝AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，
∴CH＝＝＝3，
∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
9.（湖北省武汉市华中科技大学同济医学院附属中学2020-2021学年九年级上学期元月调考数学模拟试题）如图，DA，DC是⨀O切线，AB是直径，OD交⨀O于G，连接BG 并延长交AD于E，∠DEG＝4∠ABG
（1）证明：BE∥DC
（2）连接CE交⨀O于H，DE＝1，求EH

【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据圆周角定理和已知条件可得∠DEG=2∠AOD，然后根据切线的性质和切线长定理可得∠OAD=90°，∠ADC=2∠ADO，从而证出∠DEG＋∠ADC=180°，从而证出结论；
（2）设∠ADO=∠CDO=α，根据三角形的内角和定理列出方程即可求出α=30°，连接AC、AH、BH，过点E分别作EM⊥OD，EF⊥CD，利用锐角三角函数即可求出DM、DF和EF，从而求出GD，然后求出圆的半径，然后求出EA和EC，根据相似三角形的判定定理证出△HEA∽△AEC，列出比例式即可证出结论．
【详解】解：（1）∵∠DEG＝4∠ABG，∠AOD=2∠ABG
∴∠DEG=2∠AOD，
∵DA，DC是⨀O切线，AB是直径，
∴∠OAD=90°，∠ADC=2∠ADO
∴∠AOD＋∠ADO=90°
∴∠DEG＋∠ADC=2∠AOD＋2∠ADO=2（∠AOD＋∠ADO）=180°
∴BE∥DC；
（2）设∠ADO=∠CDO=α，
∵BE∥DC
∴∠EGD=∠CDO=α=∠ADO
∴EG=ED，∠OGB=∠EGD=α
∵OB=OG
∴∠OBG=∠OGB=α
∴∠DEG=4α
∵∠DEG＋∠EGD＋∠EDG=180°
∴4α＋α＋α=180°
解得：α=30°
∴∠ADO=30°，∠EDC=60°，
连接AC、AH、BH，过点E分别作EM⊥OD，EF⊥CD，如下图所示

∴DM=DE·cos∠ADO=，DF=DE·cos∠EDF=，EF=DE·sin∠EDF=
∵EG=ED，EM⊥OD
∴GD=2DM=
设OA=OB=OG=r，则OD=r＋
在Rt△AOD中，∠ADO=30°
∴OD=2OA
∴r＋=2r
解得：r=
∴OA=
∴DA==3
∴EA=DA－DE=2
∵DA，DC是⨀O切线
∴DC=DA=3，∠OAE=90°
∴CF=DC－DF=，∠EAH＋∠BAH=90°
∴CE==
∵AB是直径
∴∠AHB=90°
∴∠ABH＋∠BAH=90°
∴∠EAH=∠ABH
∵∠ECA=∠ABH
∴∠EAH =∠ECA
∵∠HEA =∠AEC
∴△HEA∽△AEC
∴
即
解得：EH=．
【点睛】此题考查的是圆的综合大题、解直角三角形和相似三角形的判定及性质，掌握切线的性质、切线长定理、圆周角定理、利用锐角三角函数解直角三角形和相似三角形的判定及性质是解题关键．
10.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在边AC上，∠DBC=∠BAC．⨀O经过A、B、D三点． 连接DO并延长交⨀O于点E，连接AE，DE与AB交于点F．
（1）求证：CB是⨀O的切线；
（2）求证：AB=EB；
（3）若DF=3，EF=7，求BC的长．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）连接OB，在⊙O中，由等腰三角形的性质∠ODB=∠OBD，由圆周角的性质得到∠DBC=∠BED，根据圆的切线的判定定理即可得结论；
（2）由圆周角定理∠ABD=∠AED，根据平行线的判定定理得到AE∥BC，得到∠ABC=∠BAE，进而得到∠BEA=∠BAE，根据等腰三角形的判定即可证得结论；
（3）延长BO交AE于H，由矩形的判定证得四边形ACBH是矩形，由垂径定理得到BC=AH=AE，由已知可得直径DE=10，可得DO=EO=5，进而求出OF=2，根据相似三角形的判定的性质可求得AD，根据勾股定理求得AE，即可求得结果．
【详解】（1）证明：连接OB=OA，

在⊙O中，OB=OD，∠BAC=∠BED，
∴∠ODB=∠OBD，
∵∠DBC=∠BAC，
∴∠DBC=∠BED，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DBE=90°，
∴∠ODB+∠BED=90°，
∴∠OBD+∠DBC=90°，
∴OB⊥BC，
∵OB是⊙O的半径，
∴CB是⊙O的切线；
（2）证明：在⊙O中，∠ABD=∠AED，
由（1）得：∠DBC=∠BED，
∴∠ABD+∠DBC=∠AED+∠BED，
∴∠ABC=∠BEA，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠EAC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EAC+∠ACB=180°，
∴AE∥BC，
∴∠ABC=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE，
∴AB=EB；
（3）解：延长BO交AE于H，

由∠HAC=∠ACB=∠OBC=90°，得四边形ACBH矩形，
∴OH⊥AE，
∴BC=AH=AE，
∵DF=3，EF=7，
∴直径DE=10，
即半径DO=EO=5，
∴OF=2，
∵OB∥AC，
∴△OBF△DAF，
∴，即，
∴AD=，
∴在Rt△ADE中，AE=，
∴BC =AH =AE．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．