预测05 函数的综合2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

这是一份预测05 函数的综合2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用），共42页。

预测05 函数的综合

概率预测
☆☆☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆☆☆
考向预测
①反比例与一次函数的结合
②中等题二次函数

函数的综合题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容！通常是反比例函数和一次函数的结合，难度系数中等。
1．从考点频率看，反比例函数是高频考点，中考对函数的知识点考查，综合能力要求极高！
2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！

一次函数的概念及其图象、性质

一次函数的相关概念
（1） 概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0 时，称为正比例函数． 
（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线

一次函数的性质
一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.
k＞0，  b>0
一、二、三象限 y随x的增大而增大
k＞0， b＜0
一、三、四象限 y随x的增大而增大
k<0，  b>0
一、二、四象限 y随x的增大而减小
k<0， b<0
二、三、四象限 y随x的增大而减小
一次函数与 坐标轴交点坐标
交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是(,0 )，与y轴的交点是(0，b)；
反比例函数的性质
反比例的一般形式(k≠0)
当k>0时,图象的两个分支分别在一,三象限,在每个象限内即y随x的增大而减小
当k＜0时,图象的两个分支分别在二,四象限,在每个象限内即y随x的增大而增大
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段,这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为| k |.


中考函数的综合题常见的技巧:①待定系数法求解析式；②求三角形面积时，有时要设点的坐标；③函数与不等式结合，会直接观察图象找自变量的范围；④一次函数、反比例和二次函数的性质综合应用。

1．（2020年襄阳中考）如图，反比例函数y1（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　 　．





2．（2020年连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　 　，点C的坐标为　 　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．



3.（2020年成都中考）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．





4.（2020年遂宁中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．



5.（2020年江西中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．





6.（2020年广东中考）如图，点B是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝　　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．




7.（2020年绥化中考）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是　 　．



8.（2020年衡阳中考）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．



9.（2020年安徽中考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．








1．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）反比例函数的图象经过两点，过点作直线．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将反比例函数向下平移1个单位，得函数__________；函数与坐标轴的交点坐标为___________；
（3）将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．




2．（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出＞2x时，自变量x的取值范围．



3．（2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.




4.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过A（，），B（4，）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积．



5.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（3，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x3时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．


6.（广东省广州市广大附中2020-2021学年九年级上学期11月联盟考数学试题）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）
（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；
（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；
（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．









7.（2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题） 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　．





8.（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）已知二次函数y＝3mx2+2nx+p．
（1）若m＝1，n＝﹣1．
①p＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x轴有且只有一个公共点，求p的取值范围；
（2）若m＝﹣，p＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n的值．






9.（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，tan∠BAO=．
（1）求点A的坐标；
（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE=16．若反比例函数y=的图象经过点C，求k的值；
（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．






10.（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求b的取值范围；
（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；
（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．

1．（2020年襄阳中考）如图，反比例函数y1（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（3）若点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　 　．

【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；
（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；
（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，
∴y，
∵把B（n，2）代入y得：2，
解得n＝2；
故答案为4，2；
（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，
解得：k＝﹣2，b＝6，
即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．
由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；
（3）∵点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，
∴S△POM|m|2，
故答案为2．
2．（2020年连云港中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　 　，点C的坐标为　 　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2） 根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到
S△ODE（x﹣1）2，由二次函数的性质即可求得结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为yx；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODEx•（x）x2x+3（x﹣1）2，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
3.（2020年成都中考）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，求此直线的函数表达式．

【分析】（1）把A（3，4）代入y（x＞0）即可得到结论；
（2）根据题意得到B（，0），C（0，b），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【解析】（1）∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（3，4），
∴k＝3×4＝12，
∴反比例函数的表达式为y；
（2）∵直线y＝kx+b过点A，
∴3k+b＝4，
∵过点A的直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴B（，0），C（0，b），
∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍，
∴4×||＝2||×|b|，
∴b＝±2，
当b＝2时，k，
当b＝﹣2时，k＝2，
∴直线的函数表达式为：yx+2，y＝2x﹣2．
4.（2020年遂宁中考）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），连结AB，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线BD交双曲线y═（k≠0）于D、E两点，连结CE，交x轴于点F．
（1）求双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）求△DEC的面积．

【分析】（1）作DM⊥y轴于M，通过证得△AOB≌△DMA（AAS），求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得双曲线y（k≠0）和直线DE的解析式．
（2）解析式联立求得E的坐标，然后根据勾股定理求得DE和DB，进而求得CN的长，即可根据三角形面积公式求得△DEC的面积．
【解析】∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（1，0），
∴OA＝2，OB＝1，
作DM⊥y轴于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠OAB+∠DAM＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠DAM＝∠ABO，
在△AOB和△DMA中
，
∴△AOB≌△DMA（AAS），
∴AM＝OB＝1，DM＝OA＝2，
∴D（2，3），
∵双曲线y═（k≠0）经过D点，
∴k＝2×3＝6，
∴双曲线为y，
设直线DE的解析式为y＝mx+n，
把B（1，0），D（2，3）代入得，解得，
∴直线DE的解析式为y＝3x﹣3；
（2）连接AC，交BD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，AC＝BD，
解得或，
∴E（﹣1，﹣6），
∵B（1，0），D（2，3），
∴DE3，DB，
∴CNBD，
∴S△DECDE•CN．

5.（2020年江西中考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，顶点A，B都在反比例函数y（x＞0）的图象上，直线AC⊥x轴，垂足为D，连结OA，OC，并延长OC交AB于点E，当AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，若∠AOD＝45°，OA＝2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求∠EOD的度数．

【分析】（1）根据题意求得A（2，2），然后代入y（x＞0），求得k的值，即可求得反比例函数的解析式；
（2）根据AB＝2OA时，点E恰为AB的中点，得出OA＝AE＝BE，根据直角三角形斜边中线的性质得出CE＝AE＝BE，根据等腰三角形的性质越久三角形外角的性质即可得出∠AOE＝2∠EOD，从而求得∠EOD＝15°．
【解析】（1）∵直线AC⊥x轴，垂足为D，∠AOD＝45°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∵OA＝2，
∴OD＝AD＝2，
∴A（2，2），
∵顶点A在反比例函数y（x＞0）的图象上，
∴k＝2×2＝4，
∴反比例函数的解析式为y；
（2）∵AB＝2OA，点E恰为AB的中点，
∴OA＝AE，
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴CE＝AE＝BE，
∴∠AOE＝∠AEO，∠ECB＝∠EBC，
∵∠AEO＝∠ECB+∠EBC＝2∠EBC，
∵BC∥x轴，
∴∠EOD＝∠ECB，
∴∠AOE＝2∠EOD，
∵∠AOE＝45°，
∴∠EOD＝15°．
6.（2020年广东中考）如图，点B是反比例函数y（x＞0）图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数y（x＞0）的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．
（1）填空：k＝　　；
（2）求△BDF的面积；
（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

【分析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），则ks•tst＝2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD，即可求解；
（3）确定直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），即可求解．
【解析】（1）设点B（s，t），st＝8，则点M（s，t），
则ks•tst＝2，
故答案为2；
（2）△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA﹣S△OAD82＝3；
（3）设点D（m，），则点B（4m，），
∵点G与点O关于点C对称，故点G（8m，0），
则点E（4m，），
设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得，解得，
故直线DE的表达式为：y，令y＝0，则x＝5m，故点F（5m，0），
故FG＝8m﹣5m＝3m，而BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则FG∥BD，故四边形BDFG为平行四边形．
7.（2020年绥化中考）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1（x＞0）的解析式和直线DE的解析式；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，△PDE的周长最小值是　 　．

【分析】（1）根据线段中点的定义和矩形的性质得到D（1，4），解方程和方程组即可得到结论；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，此时，△PDE的周长最小，求得直线D′E的解析式为yx，于是得到结论；
（3）根据勾股定理即可得到结论．
【解析】（1）∵点D是边AB的中点，AB＝2，
∴AD＝1，
∵四边形OABC是矩形，BC＝4，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式为y（x＞0），
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2），
把D（1，4）和E（2，2）代入y2＝mx+n（m≠0）得，，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝﹣2x+6；
（2）作点D关于y轴的对称点D′，连接D′E交y轴于P，连接PD，
此时，△PDE的周长最小，
∵D点的坐标为（1，4），
∴D′的坐标为（﹣1，4），
设直线D′E的解析式为y＝ax+b，
∴，解得：，
∴直线D′E的解析式为yx，
令x＝0，得y，
∴点P的坐标为（0，）；
（3）∵D（1，4），E（2，2），
∴BE＝2，BD＝1，
∴DE，
由（2）知，D′的坐标为（﹣1，4），
∴BD′＝3，
∴D′E，
∴△PDE的周长最小值＝DE+D′E，
故答案为：．

8.（2020年衡阳中考）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x是函数有最小值，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m．
【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴，解得，
∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x是函数有最小值：y2，
∴的最大值与最小值的差为：4﹣（）；

（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得
x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m
∴m的取值范围为m．

9.（2020年安徽中考）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，q），根据题意得出q1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q1（p﹣1）2，从而得出q的最大值．
【解析】（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（，q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴q1，
∴q1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q1（p﹣1）2，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．

1．（2020年河南省周口市西华县九年级中考三模数学试题）反比例函数的图象经过两点，过点作直线．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）将反比例函数向下平移1个单位，得函数__________；函数与坐标轴的交点坐标为___________；
（3）将直线向下平移个单位后与函数的图象有唯一交点，求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】
（1）点B在反比例函数上，将点B的坐标代入，即可求出比例系数k，反比例函数的解析式可得；
（2）将反比例函数向下平移1个单位，即可得到，将y=0代入，即可求得该解析式与x轴交点；
（3）设直线的解析式为，将点A、B坐标代入，可求得直线AB解析式，按照题意写出直线AB平移后的解析式与y2联立的方程组，且图象仅有唯一交点，即，即可求得n的值．
【详解】（1）∵反比例函数的图象经过两点，
∴，∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）将反比例函数向下平移1个单位，可得，
将y=0代入，解得：x=8，
即可求得该解析式与x轴交点为；
（3）设直线的解析式为，且，
∴，∴
∴直线的解析式为，
设直线平移后的解析式为，
联立方程组
整理得：，
若两函数图象有唯一交点，则，
解得（舍），，
故的值为．
【点睛】本题主要考察了反比例函数与一次函数综合、函数图像的平移、一元二次函数根的判别式，解题的关键在于掌握函数图像平移后的解析式写法．
2．（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC．若△ABC的面积为2．
（1）求k的值；
（2）直接写出＞2x时，自变量x的取值范围．

【答案】（1）k=2；（2）x<-1或0 【解析】
【分析】
（1）根据对称性可得OA=OB，从而可得△ACO的面积为1，由此可求出点A的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题；
（2）只需求出点B的坐标，并运用数形结合的思想就可解决问题．
【详解】解：（1）设点A的坐标为（m，n）．
∵点A在直线y=2x上，
∴n=2m．
根据对称性可得OA=OB，
∴S△ABC=2S△ACO=2，
∴S△ACO=m•2m=1，
∴m=1（舍负）．
∴点A的坐标为（1，2），
∴k=1×2=2；
（2）如图，

由点A与点B关于点O成中心对称得点B（-1，-2）． 结合图象可得：自变量的取值范围为x<-1或0 【点睛】此题考查中心对称的性质、运用待定系数法求出反比例函数的解析式，运用数形结合的思想是解第（2）小题的关键．
3．（2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数 的图象与反比例函数 的图象的另一个交点为，连接，求的面积.

【答案】（1）反比例函数的表达式为；（2）的面积为.
【解析】
【分析】
（1）联立两一次函数解出A点坐标，再代入反比例函数即可求解；
（2）联立一次函数与反比例函数求出B点坐标，再根据反比例函数的性质求解三角形的面积.
【详解】（1）由题意：联立直线方程，可得，故A点坐标为（-2,4）
将A（-2,4）代入反比例函数表达式，有，∴
故反比例函数的表达式为
（2）联立直线与反比例函数，
解得，当时，，故B（-8,1）

如图，过A，B两点分别作轴的垂线，交轴于M、N两点，由模型可知
S梯形AMNB=S△AOB，
∴S梯形AMNB=S△AOB===
【点睛】此题主要考查一次函数与反比例函数综合，解题的关键是熟知一次函数与反比例函数的图像与性质.

4.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过A（，），B（4，）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O，A两点的直线与反比例函数图象交于点C，连接BC，求△ABC的面积．

【答案】（1）； ；（2）12
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m值，从而得出反比例函数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出a值，结合点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数表达式；
（2）利用分解图形求面积法， 利用，求面积即可．
【详解】解：（1）将A(-2，-4)代入得到，即：m = 8．
反比例函数的表达式为：．
将B(4，a)代入，得：，即：a =2．
将A(-2，-4)，B(4，2)代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．

令，则，
∴点D的坐标为(2，0)，
A(-2，-4)关于原点的对称性点C坐标：(2，4)，
∴点C、点D横坐标相同，
∴CD∥y轴，





=12．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数表达式；（2）利用分割图形求面积法求出△AOB的面积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
5.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（3，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x3时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

【答案】（1）；（2）①；②
【解析】
【分析】（1）把代入，先求解 再把代入，求解即可得到答案；
（2）①把代入中，列方程组，解方程组可得答案；②根据直线过定点 直线过定点，分三种情况讨论，当＜＜时，当 当时，分别画出符合题意的图像，结合图像可得结论．
【详解】解：（1）把代入，

把代入，

（2）①当 则
把代入中，

解得：
这个一次函数的解析式为
② 当＜＜时，如图，由＞时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，


所以直线过符合题意，过不符合题意，



所以：＜；
当 如图，由＜
此时始终在的下方，所以，此时不符合题意，舍去，

当时， 此时＞
如图，即始终在的上方，

所以：当时，满足＞时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，
综上：
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，利用图像法直接得到不等式的解集，掌握利用函数图像解决不等式问题是解题的关键．
6.（广东省广州市广大附中2020-2021学年九年级上学期11月联盟考数学试题）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+a+1（a＞0）
（1）若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围；
（2）若P（m，n）和Q（5，b）是抛物线上两点，且n＞b，求实数m的取值范围；
（3）当m≤x≤m+2时，求y的最小值（用含a、m的代数式表示）．
【答案】（1）a≥；（2）m＜﹣1或m＞5；（3）y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．
【解析】
【分析】
（1）令对应一元二次方程根的判别式大于等于0，然后解答即可；
（2）根据抛物线的对称轴为直线x=，当n=b时，根据函数的对称性，可得m=-1，最后确定m的取值范围即可；
（3）分m<0，0≤m≤2，m>2三种情况别求解即可．
【详解】解：（1）由题意得：
△＝（﹣4a）2﹣4a（a+1）≥0，且a＞0，
解得：a≥；
（2）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
当n＝b时，根据函数的对称性，则m＝﹣1或m=5，
故实数m的取值范围为：m＜﹣1或m＞5；
（3）①当m+2＜2时，即m＜0时，
函数在x＝m+2时，取得最小值，
ymin＝a（m+2）2﹣4a（m+2）+a+1＝am2﹣3a+1；
②当m≤2≤m+2时，即0≤m≤2，
函数在顶点处取得最小值，
即ymin＝4a﹣4a×2+a+1＝﹣3a+1；
③当m＞2时，
函数在x＝m时，取得最小值，
ymin＝am2﹣4am+a+1；
综上，y的最小值为：am2﹣3a+1或﹣3a+1或am2﹣4am+a+1．
【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点、二次函数图像与一元二次方程的关系及二次函数图像与不等式的关系等知识点，掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
7.（2020年重庆市南岸区南开融侨中学中考数学第三次模拟试题） 模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得，即；由周长为m，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标．
（2）画出函数图象
函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线．
（3）平移直线，观察函数图象
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为　 　；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围．
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　．

【答案】（1）一（2）见解析（3）①②；（4）
【解析】
【分析】
（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解；
（2）直接画出图象即可；
（3）①把点代入即可求解；②直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解；
（4）运用（3）的相关结论即可．
【详解】解：（1）x，y都是边长，因此，都是正数，
故点在第一象限，
答案为：一；
（2）图象如下所示：

（3）①把点代入得：
，解得：；
②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，
联立和并整理得：，
时，两个函数有交点，
解得：；
（4）由（3）得：．
【点睛】本题为反比例函数综合运用题，涉及到一次函数、一元二次方程、函数平移等知识点，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，一般难度不大．
8.（2020年福建省泉州外国语学校、东海中学中考数学模拟试题）已知二次函数y＝3mx2+2nx+p．
（1）若m＝1，n＝﹣1．
①p＝﹣8时，求该函数图象的顶点坐标；
②当﹣2≤x≤2时，该函数图象与x轴有且只有一个公共点，求p的取值范围；
（2）若m＝﹣，p＝n+2019，﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，求n的值．
【答案】（1）①顶点坐标为；②﹣16≤p＜﹣8，或p＝；（2）n＝﹣2或n＝1
【解析】
【分析】
（1）把m＝1，n＝﹣1代入y＝3mx2+2nx+p，得y＝3x2﹣2x+p，①把p＝﹣8代入后化为顶点式便可；
②转化解或；
（2）代入m＝﹣，p＝n+2019，求得二次函数的对称轴，再分三种情况，对称轴在﹣2≤x≤2内；对称轴在﹣2≤x≤2的左边；对称轴在﹣2≤x≤2右边．根据二次函数的性质和最大值，列出n的方程解答便可．
【详解】解：（1）把m＝1，n＝﹣1代入y＝3mx2+2nx+p，得y＝3x2﹣2x+p，
①当p＝﹣8时，y＝3x2﹣2x+p＝3x2﹣2x﹣8＝3（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，）；
②∵y＝3x2﹣2x+p的对称轴为x＝，开口向上，
又∵当﹣2≤x≤2时，该函数y＝3x2﹣2x+p图象与x轴有且只有一个公共点，
∴或，
解得，﹣16≤p＜﹣8，或p＝；
（2）把m＝﹣，p＝n+2019代入y＝3mx2+2nx+p得，y＝﹣x2+2nx+n+2019，
对称轴为x＝n，
∵﹣2≤x≤2时，该函数取得最大值2021，
∴当﹣2≤n≤2时，则x＝n时y的值最大，即﹣n2+2n2+n+2019＝2021，解得，n＝﹣2或n＝1；
当n＜﹣2时，则y随x的增大而减小，当x＝﹣2时y的值最大，即﹣（﹣2）2+2n×（﹣2）+n+2019＝2021，解得，n＝﹣2（舍）；
当n＞2时，则y随x的增大而增大，当x＝2时y的值最大，即﹣4+4n+n+2019＝2021，解得，n＝1.2（舍）．
综上，n＝﹣2或n＝1．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，准确分析是解题的关键．
9.（2020年江苏省南通市中考数学模拟试卷三）已知点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，tan∠BAO=．
（1）求点A的坐标；
（2）点E在y轴负半轴上，直线EC⊥AB，交线段AB于点C，交x轴于点D，S△DOE=16．若反比例函数y=的图象经过点C，求k的值；
（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）（-8，0）（2）k=- （3）（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）
【解析】
【分析】
（1）解方程求出OB长，解直角三角形求出OA即可解决问题；
（2）求出直线DE、AB的解析式，构建方程组求出点C坐标即可；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【详解】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，
∴OB=4，
Rt△AOB中，tan∠BAO=，
∴OA=8，
∴A（﹣8，0）．
（2）∵EC⊥AB，
∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°，
∴∠OAB+∠ADC=90°，∠DEO+∠ODE=90°，
∵∠ADC=∠ODE，
∴∠OAB=∠DEO，
∴△AOB∽△EOD，
∴，
∴OE：OD=OA：OB=2，设OD=m，则OE=2m，
∵•m•2m=16，
∴m=4或﹣4（舍弃），
∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），
∴直线DE的解析式为y=﹣2x﹣8，
∵A（﹣8，0），B（0，4），
∴直线AB的解析式为y=x+4，
由 ，解得 ，
∴C（，），
∵若反比例函数y=的图象经过点C，
∴k=﹣．
（3）如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD=OB=4，
∴∠OBD=∠ODB=45°，
∴∠PNB=∠ONM=45°，
∴OM=DM=ON=2，
∴BN=2，PB=PN=，
∴P（﹣1，3）．

如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P（0，2）；

如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P（0，6）

如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR=MR，可得P（2，6）．

综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；
【点睛】考查反比例函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
10.（2020年浙江省台州市路桥区中考数学5月模拟试题）已知y关于x的二次函数y=x²-bx+b²+b-5的图象与x轴有两个公共点．
（1）求b的取值范围；
（2）若b取满足条件的最大整数值，当m≤x≤时，函数y的取值范围是n≤y≤6-2m，求m，n的值；
（3）若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，对应函数y的最小值为，求此时二次函数的解析式．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】
【分析】
（1）利用即可求解；

（2）根据（1）中的结论确定b的值，进而确定二次函数的表达式，然后根据与对称轴的位置关系，判断出函数的单调性，然后代入到二次函数解析式中即可求出m,n的值；
（3）根据与对称轴的位置关系，分三种情况：①当，②当，取值范围在对称轴左侧，③当，即时，取值范围在对称轴右侧，数形结合进行讨论即可．
【详解】解：（1）由题意知，
即 ，
∴
解得： ；
（2）由题意，b=4，代入得：，
∴对称轴为直线．
又∵a=1>0，函数图象开口向上，
∴当时，y随x的增大而减小，
∴当x=时，，
当x=m时，y=，
解得：（不合题意，舍去）；
∴． 
（3） ，函数大致图象如图所示．

①当，即时，
函数y在顶点处取得最小值，有b-5=，
∴b=（不合题意，舍去）
②当，即时，
取值范围在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=b+3时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：（不合题意，舍去），
∴此时二次函数的解析式为：
③当，即时，取值范围在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y最小值=，代入得
，
即，
解得：，
∴此时二次函数的解析式为：．
综上所述，符合题意的二次函数的解析式为：或
【点睛】本题主要考查二次函数，掌握根的判别式和二次函数的图象和性质是解题的关键．