预测03 四边形综合2021年中考数学三轮冲刺过关（全国通用）

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四边形综合题是全国中考常考题型。好多学生因特殊四边形的定理弄混淆而失分。
1．从考点频率看，三角形的综合和四边形的综合会二选一，四边形综合题以考查特殊四边形性质和判定为主。
2．从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右！
平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
中考四边形综合题常考的是平行四边形、矩形、菱形和正方形。特殊四边形的性质和判定都是从边、角和对角线这3个方面着手。做题过程中经常还要用到三角形的全等判定（性质）和三角形相似判定（性质），个别难度较大的题还要做辅助线。
1．（2020年鄂州中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
2．（2020年扬州中考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
3.（2020年广元中考）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．
4.（2020年新疆中考）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
5.（2020年滨州中考）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
6.（2020年遂宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
7.（2020年北京中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
8.（2020年遵义中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
1．（2020年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考数学模拟试题）如图1，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点与相交于点．
求证：；
如图2，连接，若求的长．
2．（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，过C作CE//BD，过D作DE//AC，CE与DE交于点E，求证：四边形OCED是矩形．
3．（广东省广州市广大附中2020-2021学年九年级上学期11月联盟考数学试题）矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求该菱形边长．
4.（广东省汕头市金平区金园实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为 ．
5.（江苏省南通市崇川区八一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题）已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE·GB＝4－2，求正方形ABCD面积.

6.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的长．
7.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题） 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
8.（重庆市巴蜀中学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
1．（2020年鄂州中考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使EM＝BM，连接DE．
（1）求证：△AMB≌△CND；
（2）若BD＝2AB，且AB＝5，DN＝4，求四边形DEMN的面积．
【解析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；
（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．
【解析】（1）∵平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，
∴AO＝CO，
又∵点M，N分别为OA、OC的中点，
∴AM＝CN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAM＝∠DCN，
∴△AMB≌△CND（SAS）；
（2）∵△AMB≌△CND，
∴BM＝DN，∠ABM＝∠CDN，
又∵BM＝EM，
∴DN＝EM，
∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
∴∠MBO＝∠NDO，
∴ME∥DN
∴四边形DEMN是平行四边形，
∵BD＝2AB，BD＝2BO，
∴AB＝OB，
又∵M是AO的中点，
∴BM⊥AO，
∴∠EMN＝90°，
∴四边形DEMN是矩形，
∵AB＝5，DN＝BM＝4，
∴AM＝3＝MO，
∴MN＝6，
∴矩形DEMN的面积＝6×4＝24．
2．（2020年扬州中考）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于点E、F，连接AF、CE．
（1）若OE，求EF的长；
（2）判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解析】（1）判定△AOE≌△COF（ASA），即可得OE＝OF，进而得出EF的长；
（2）先判定四边形AECF是平行四边形，再根据EF⊥AC，即可得到四边形AECF是菱形．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AO＝CO，
∴∠FCO＝∠EAO，
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴EF＝2OE＝3；
（2）四边形AECF是菱形，
理由：∵△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
3.（2020年广元中考）已知▱ABCD，O为对角线AC的中点，过O的一条直线交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）若AE：AD＝1：2，△AOE的面积为2，求▱ABCD的面积．
【解析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO＝∠FCO，由ASA即可得出结论；
（2）由于AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，得出△AEO∽△ADC，根据△AOE的面积为2，可得△ADC的面积，进而得到平行四边形ABCD的面积．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵AE：AD＝1：2，O为对角线AC的中点，
∴AO：AC＝1：2，
∵∠EAO＝∠DAC，
∴△AEO∽△ADC，
∵△AOE的面积为2，
∴△ADC的面积为8，
∴平行四边形ABCD的面积为16．
4.（2020年新疆中考）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若BE＝DE，求证：四边形EBFD为菱形．
【解析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到AD＝CB，AD∥CB，从而可以得到∠DAE＝∠BCF，再根据DE∥BF和等角的补角相等，从而可以得到∠AED＝∠CFB，然后即可证明△ADE和△CBF全等，从而可以得到AE＝CF；
（2）根据（1）中的△ADE和△CBF全等，可以得到DE＝BF，再根据DE∥BF，即可得到四边形EBFD是平行四边形，再根据BE＝DE，即可得到四边形EBFD为菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，AD∥CB，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵DE∥BF，
∴∠DEF＝∠BFE，
∴∠AED＝∠CFB，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF；
（2）证明：由（1）知△ADE≌△CBF，
则DE＝BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形，
∵BE＝DE，
∴四边形EBFD为菱形．
5.（2020年滨州中考）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
【解析】（1）由ASA证△PBE≌△QDE即可；
（2）由全等三角形的性质得出EP＝EQ，同理△BME≌△DNE（ASA），得出EM＝EN，证出四边形PMQN是平行四边形，由对角线PQ⊥MN，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，
，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
6.（2020年遂宁中考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：△BDE≌△FAE；
（2）求证：四边形ADCF为矩形．
【解析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠DBE，根据线段中点的定义得到AE＝DE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到AF＝BD，推出四边形ADCF是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到∠ADC＝90°，于是得到结论．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是线段AD的中点，
∴AE＝DE，
∵∠AEF＝∠DEB，
∴△BDE≌△FAE（AAS）；
（2）∵△BDE≌△FAE，
∴AF＝BD，
∵D是线段BC的中点，
∴BD＝CD，
∴AF＝CD，
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF为矩形．
7.（2020年北京中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【解析】（1）根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，得到AE＝OEAD，推出OE∥FG，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB＝AD＝10，得到OE＝AEAD＝5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，求得FG＝OE＝5，根据勾股定理得到AF3，于是得到结论．
【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO，
∵E是AD的中点，
∴AE＝OEAD，
∴∠EAO＝∠AOE，
∴∠AOE＝∠BAO，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AEAD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，
∴AF3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
8.（2020年遵义中考）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．
（1）求证：EF＝DE；
（2）当AF＝2时，求GE的长．
【解析】（1）要证明EF＝DE，只要证明△DME≌△ENF即可，然后根据题目中的条件和正方形的性质，可以得到△DME≌△ENF的条件，从而可以证明结论成立；
（2）根据勾股定理和三角形相似，可以得到AG和CG、CE的长，然后即可得到GE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠ECM＝45°，
∵MN∥BC，∠BCM＝90°，
∴∠NMC+∠BCM＝180°，∠MNB+∠B＝180°，
∴∠NMC＝90°，∠MNB＝90°，
∴∠MEC＝∠MCE＝45°，∠DME＝∠ENF＝90°，
∴MC＝ME，
∵CD＝MN，
∴DM＝EN，
∵DE⊥EF，∠EDM+∠DEM＝90°，
∴∠DEF＝90°，
∴∠DEM+∠FEN＝90°，
∴∠EDM＝∠FEN，
在△DME和△ENF中
，
∴△DME≌△ENF（ASA），
∴EF＝DE；
（2）如图1所示，由（1）知，△DME≌△ENF，
∴ME＝NF，
∵四边形MNBC是矩形，
∴MC＝BN，
又∵ME＝MC，AB＝4，AF＝2，
∴BN＝MC＝NF＝1，
∵∠EMC＝90°，
∴CE，
∵AF∥CD，
∴△DGC∽△FGA，
∴，
∴，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AC＝AG+GC，
∴AG，CG，
∴GE＝GC﹣CE；
如图2所示，
同理可得，FN＝BN，
∵AF＝2，AB＝4，
∴AN＝1，
∵AB＝BC＝4，∠B＝90°，
∴AC＝4，
∵AF∥CD，
∴△GAF∽△GCD，
∴，
即，
解得，AG＝4，
∵AN＝NE＝1，∠ENA＝90°，
∴AE，
∴GE＝GA+AE＝5．
1．（2020年黑龙江省哈尔滨市第六十九中学中考数学模拟试题）如图1，正方形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，垂足为点与相交于点．
求证：；
如图2，连接，若求的长．
【答案】(1) 见解析；(2)
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质，可得BC=CD，并可推导出∠CBG=∠CDE，从而证全等；
（2）先在Rt△BDC中得到BD的长，如下图，在Rt△DHG中，可得到DH和GH的长，最后在Rt△BHG中得出BG的长．
【详解】（1）在与中，
四边形是正方形
（2）由得
又，
在中，
过点作的垂线，点为垂足
在中，
勾股定理得
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理的运用，解题关键是过点C作CH⊥BD，构造直角三角形．
2．（2020年湖北省黄冈市五校联考中考数学4月模拟试题）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，过C作CE//BD，过D作DE//AC，CE与DE交于点E，求证：四边形OCED是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
要证明四边形OCED是矩形，由已知知其为平行四边形，又由菱形对角线互相垂直，得出其一个角为直角，即为所求结论．
【详解】证明：
四边形OCED是平行四边形．
四边形ABCD是菱形
AC⊥BD．
∠DOC=90°．
∴四边形OCED矩形．
【点睛】此题考查菱形的性质，矩形的判定，解题的关键是熟练掌握矩形的性质及判定定理．
3．（广东省广州市广大附中2020-2021学年九年级上学期11月联盟考数学试题）矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求该菱形边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）菱形边长为．
【解析】
【分析】（1）根据矩形ABCD的性质，利用SAS可判定△BOE≌△DOF，得出四边形BEDF的对角线互相平分，即可得出结论；
（2）根据菱形的性质可得BE=DE，在Rt△ADE中，设BE=DE=x,则AE=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可求出DE．
【详解】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC
，
又O是BD的中点
OB=OD
在△BOE与△DOF中
△BOE≌△DOF
EO=FO，
四边形BEDF为平行四边形
（2）四边形BEDF为菱形，
BE=DE=DF=BF，
又AB=8，BC=6，设BE=DE=x,则AE=8-x，
在Rt△ADE中，，
，
则菱形边长为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用相关知识是解决问题的关键．
4.（广东省汕头市金平区金园实验中学2020-2021学年九年级上学期期中数学试题）如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接DE，将DE绕着点E逆时针旋转90°，得到EG，过点G作GF⊥CB，垂足为F，GH⊥AB，垂足为H，连接DG，交AB于I．
（1）求证：四边形BFGH是正方形；
（2）求证：ED平分∠CEI；
（3）连接IE，若正方形ABCD的边长为3，则△BEI的周长为 ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【解析】
分析】
（1）先证根据∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°证得四边形BFGH为矩形，再证明△DCE≌△EFG进而可证得BF＝FG，根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得证；
（2）延长EC到点M，使得CM＝AI，连接DM，先证△ADI≌△CDM可得DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，进而可证△EDM≌△EDI得∠DEI＝∠DEC，即可得证；
（3）由（2）可知IE＝EM＝EC＋CM＝EC＋AI，则△BEI的周长为BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，由此可求得答案．
【详解】（1）证明：∵将DE绕着点E逆时针旋转90°得到EG，
∴DE＝EG，∠DEG＝90°，
∴∠DEC＋∠GEF＝90°，
∵在正方形ABCD中
∴∠C＝∠ABC＝∠ABF＝90°，BC＝CD，
∴∠DEC＋∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠GEF，
∵GF⊥CB，GH⊥AB，
∴∠F＝∠GHB＝90°，
∴∠F＝∠GHB＝∠ABF＝90°，
∴四边形BFGH为矩形，
在△DCE与△EFG中，

∴△DCE≌△EFG（AAS）
∴EF＝CD，FG＝CE，
∴EF＝BC，
∴EF－BE＝BC－BE，
即BF＝CE，
∴BF＝FG，
∴矩形BFGH为正方形；
（2）证明：如图，延长EC到点M，使得CM＝AI，连接DM，
∵在正方形ABCD中
∴∠ADC＝∠A＝∠DCE＝∠DCM＝90°，AD＝CD，
在△ADI与△CDM中，

∴△ADI≌△CDM（SAS）
∴DI＝DM，∠ADI＝∠CDM，
∵DE＝EG，∠DEG＝90°，
∴∠EDG＝∠EGD＝45°，
又∵∠ADC＝90°，
∴∠ADI＋∠CDE＝45°，
∴∠EDM＝∠CDM＋∠CDE＝45°，
∴∠EDM＝∠EDG，
在△EDM与△EDI中，

∴△EDM≌△EDI（SAS）
∴∠DEI＝∠DEC，
∴DE平分∠IEC；
（3）解：由（2）可知△EDM≌△EDI，
∴IE＝EM＝EC＋CM，
又∵CM＝AI，
∴IE＝EC＋CM＝EC＋AI，
∴△BEI的周长为BI＋BE＋IE＝BI＋BE＋EC＋AI＝AB＋BC，
∵正方形ABCD的边长为3，
∴△BEI的周长为AB＋BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质，熟练掌握相关图形的判定及性质以及作出正确的辅助线是解决本题的关键．
5.（江苏省南通市崇川区八一中学2020-2021学年九年级上学期12月月考数学试题）已知：如图，O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；
（3）若GE·GB＝4－2，求正方形ABCD面积.

【答案】（1）详见解析；（2）OG＝BF， 证明详见解析；（3）正方形ABCD的面积为4.
【解析】
【分析】
（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过BD=BF；然后由三角形中位线定理证得OG=BF
（3）设BC=x，利用勾股定理解x，从而求得正方形ABCD的面积
【详解】(1)证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠BCD=90°.
在BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF；
(2)OG=BF.
∵△BCE≌△DCF，
∴∠EBC=∠FDC，
∵∠BEC=∠DEG，
∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF
∵BE平分∠DBC，
∴BD=BF，G为DF的中点．
∵O为正方形ABCD的中心，
∴O为BD的中点，
∴OG=BF；
(3)设BC=x,则DC=x,BD=，
由(2),得BF=BD=.
∴CF=BF−BC=，
在Rt△DCF中，
DF2=DC2+CF2=x2+(−1)2x2，
∵∠GDE=∠GBC=∠GBD,∠DGE=∠BGD=90°，
∴△DGE∽△BGD，
∴ ，
即DG2=GE⋅GB=4−2，
∵DF=2DG，
∴DF2=4DG2=4(4−2)，
则x2+(−1)2x2=4(4−2).
解得x2=4.
∴正方形ABCD的面积为4.
6.（四川省成都市东部新区2020-2021学年九年级上学期期末学业质量检测数学试题）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D分别作BC和AB的平行线，交AB于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF是菱形；
（2）若AE＝3，BE＝4，求FC的长．
【答案】（1）见解析；（2）FC=
【解析】
【分析】（1）先证明四边形BEDF为平行四边形，再证明ED=EB，即可得到求证结论；
（2）由题意可得△AED∽△ABC，再由相似三角形的性质可得所求结论．
【详解】（1）证明：DE//BC，AB//DF，
四边形BEDF为平行四边形.
BD平分∠ABC，
∠EBD=∠FBD,
DE//BC，
∴∠FBD=∠EDB
∴∠EBD=∠EDB，
∴ED=EB；
∴四边形BEDF是菱形；
（2）ED//BC,
∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C
△AED∽△ABC
解得：BC=
FC=．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定和三角形相似的判定与性质是解题关键．
7.（中国人民大学附属中学2020-2021学年九年级下学期开学考试数学试题） 在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形EBFD是矩形．
（2）若AE＝3，DE＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出DC∥AB，即DF∥BE，根据平行四边形的判定得出四边形DEBF为平行四边形，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据勾股定理求出AD，得出AD=DF，推出∠DAF=∠DFA，得出∠DAF=∠BAF，即可得出答案．
【详解】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，即DF∥BE，
又∵DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形DEBF为矩形；
（2）∵∠DEB=90°，
∴∠DEA=90°，
∵AE=3，DE=4，
∴AD= ，
∵DF=5，
∴AD=DF，
∴∠DAF=∠DFA，
∵AB∥CD，
∴∠FAB=∠DFA，
∴∠FAB=∠FAD，
∴AF平分∠DAB．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形判定，勾股定理，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
8.（重庆市巴蜀中学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）已知：在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD和BC上，点G、H在对角线AC上，且BF=DE，AH=CG，连接FH、HE、BG、FG．
（1）求证：FG=EH．
（2）若EG平分∠AEH，FH平分∠CFG，FG//AB，∠ACD=68°，∠GFH=35°，求∠GHF的度数．
【解析】（1）根据平行四边形的性质可得，，通过证明≌即可。
（2）利用角平分线的定义可得，再根据平行四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴≌，
∴FG=EH；
（2）∵FH平分∠CFG，∠GFH=35°，
∴，
∵FG//AB，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，掌握上述性质定理是解题的关键．
概率预测
☆☆☆
题型预测
解答题☆☆☆
考向预测
①三角形全等的判定
②特殊四边形的判定
图形
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
菱形
对边平行，四边相等
对角相等
对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角
正方形
对边平行，四边相等
四个角都是直角
对角线互相垂直平分、相等，每一条对角线平分一组对角
图形
判定
平行四边形
1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
矩形
1：有三个角是直角的四边形是矩形
2：有一个角是直角的平行四边形是矩形
3：对角线相等的平行四边形是矩形。
菱形
1：四边都相等的四边形是菱形。
2：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
3：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
正方形
1：有一组邻边相等的矩形是正方形
2：有一个角是直角的菱形是正方形
3：对角线互相垂直的矩形是正方形
4：对角线相等的菱形是正方形