专题5.3 解析几何中的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

这是一份专题5.3 解析几何中的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版），共25页。

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：
①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；
②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；
③利用基本不等式求出取值范围；
④利用函数的值域的求法，确定取值范围．
二．解题策略
类型一 利用题设条件，结合几何特征与性质求范围
【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
解：设椭圆的左焦点为
则
故要求的最小值，
即求的最小值，
圆的半径为2
所以的最小值等于，
的最小值为，故选D.
【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.
2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．
【举一反三】
1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【解析】
设点在圆上，且，
原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，
如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，
作直线于点，直线于点，
取的中点，作直线于点，
由梯形中位线的性质可知，
当直线时，直线方程为，
两平行线之间的距离：，
由圆的性质，
综上可得：的最大值.
本题选择D选项.
2.点 分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】A
【解析】
设圆 是圆 关于直线 对称的圆，可得,圆的方程为，可得当点 位于线段 上时，线段 的长就是圆 与圆上两个动点之间的距离最小值，此时的最小值为，,圆的半径为,圆的半径为 ，∴，因此 的最小值为 ，所以A选项是正确的.
类型二 通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围
【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．
【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．
【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由，得.
设，，则，，
.
又到直线的距离，
则的面积 ，
当且仅当，即时，的面积取得最大值.
此时，.
故选A.
类型三 利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围
【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（ ）
A．（0，1）B．（0，2）C．（﹣1，0）D．（﹣2，0）
【答案】D
【解析】
圆与直线联立，
整理得
图像有两个交点
方程有两个不同的实数根，即
得.
圆都在轴的正半轴和原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限.
，解得，
故选D项.
【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.
【举一反三】已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．
【答案】
类型四 利用基本不等式求范围
【例4】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为．
由抛物线的定义得，又，所以．
同理．
①当直线与x轴垂直时，则有，
∴．
②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，
由消去y整理得，
∴，
∴，当且仅当时等号成立．
综上可得．选C．
【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．
（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．
【举一反三】【
1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解析】
由圆Ω：的圆心（2，0），可得焦点，，
双曲线C的渐近线方程为，可得，
且，
解得，，
设，可得，
，当且仅当时取等号，
可得．
故选：B．
2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．
【答案】8
【解析】
设，
设直线为,联立直线和抛物线得到，两根之和为：,同理联立直线和抛物线得到
由抛物线的弦长公式得到
代入两根之和得到，已知，
故答案为：8.
类型五 构建目标函数，确定函数值范围或最值
【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．
【答案】
【解析】
∵点为直线上的任意一点，∴可设，
则过的圆的方程为，
化简可得，
与已知圆的方程相减可得的方程为，
由直线的方程为，
联立两直线方程可解得，，
故线段的中点，
∴点到直线的距离，
∵，∴，
∴，∴，
∴，即
故答案为：
【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．
【举一反三】
1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
由题意得，直线的方程为，所以，直线的方程为，
所以，故．
由可得，整理得 ，
显然函数在上单调递增，所以，即．故选A．
2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】
解：设双曲线的左焦点为，连接，，
，可得四边形为矩形，
设，，即有，
且，，
，
，
由，可得，
则，可得，
即有，
则，
即有．
故答案为：．
类型六 利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围
【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据题意，直线，即，
则有，解可得，则直线恒过点．
设，又由与直线垂直，且为垂足，
则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，
所以；即的取值范围是；
故答案为：．
【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．
2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：
（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；
（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；
（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；
【举一反三】已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．
【答案】
【解析】由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=）
可得∠B1PA等于向量与的夹角，
∵A（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b），F2（c，0）
∴=（a，﹣b），=（﹣c，﹣b），
∵∠B1PA为钝角，∴与的夹角大于，
由此可得•＜0，即﹣ac+b2＜0，
将b2=a2﹣c2代入上式得：a2﹣ac﹣c2＜0，
不等式两边都除以a2，可得1﹣e﹣e2＜0，即e2+e﹣1＞0，
解之得e＜或e＞，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（，1）．故答案为（，1）．
三．强化训练
一、选择题
1．【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设F'为双曲线的右焦点，连接AF'，BF'，,∴四边形AFBF'为矩形，且AB=2c
，∴
在中，，
（1）， （2）
（1）（2）两式相加
故选：B
2．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
联立 得：（a2+b2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2）
△＝4a4﹣4（a2+b2）（a2﹣a2b2）＞0，化为：a2+b2＞1．
x1+x2＝ ，x1x2＝．∵OP⊥OQ，
∴＝x1x2+y1y2＝x1x2+（x1﹣1）（x2﹣1）＝2x1x2﹣（x1+x2）+1＝0，
∴2×﹣+1＝0．化为a2+b2＝2a2b2．∴b2＝．
∵椭圆的离心率e满足≤e≤，∴，∴，，化为5≤4a2≤6．
解得： ≤2a≤ ．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是[，]．
故选：A．
3．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
作出抛物线，如图所示.

由图可知，当直线与抛物线相切时，最大.
设直线的方程为，联立
得.令，得，
此时，所以.
4．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
抛物线的准线方程是
若点的坐标为，此时直线的方程为，
显然点到直线的距离的最小值是1
若点的坐标为，其中
则直线的斜率为
直线的斜率为
直线的方程为
即，
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为
代入抛物线方程得
所以
解得
所以与直线平行且与抛物线相切的直线方程为
所以点到直线的距离的最小值为直线与直线的距离，即
因为
所以
综合两种情况可知点到直线的距离的最小值的取值范围是
所以选B项.
5．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】
化简得，
所以，函数靠近圆心的最大值点为，最小值点为，
所以只需，解之可得.
故选D
6．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
设||＝m，||＝n，||＝2c，A，B为短轴两个端点，
由正弦定理可得，
即有，
由椭圆定义可得e,
∴．
在三角形中，由m+n=2a,cs-1=，当且仅当m=n时，即P为短轴端点时，cs最小，最大，
∴=,
∴
故选：D．
7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设的中点为，连接、，则在中，，，∴.
∴是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.
以为原点建系如图所示，则，，，设的坐标为，则
,.
.
设点的坐标为，则 .
故选：B
8．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（ ）
A．B．[,]
C．D．）
【答案】D
【解析】
圆C（2,0），半径r＝，设P（x，y），
因为两切线，如下图，PA⊥PB，由切线性质定理，知：
PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四边形PACB为正方形，所以，｜PC｜＝2，
则：，即点P的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.
直线过定点（0，－2），直线方程即，
只要直线与P点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，
即：，解得：，
即实数的取值范围是）.
本题选择D选项.
二、填空题
9．【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
解：由抛物线焦半径公式得，，
所以由，得，
因此，，
，
所以的最大值为.
所以填．
10．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．
【答案】8
【解析】
由题意可得，，，，
，
，
为椭圆上的点，
由题意可知，，
，
故答案为：8．
11．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
设点P(x,y),（x＞1），所以，
因为，当y＞0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是增函数，
所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.
当y≤0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数，
所以当y≤0时函数k(x)＞0.
综上所述，的取值范围是.
12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．
【答案】3
【解析】
解：由题意，抛物线的准线为，，所以另一种情况同理．
所以AF的斜率为，方程为，
代入抛物线方程可得，所以可得，
因为：，
所以，
设直线AB的方程为，代入到，可得，
，
由，可得，
，，
，
，
，
，
，
解得
故答案为：3，．
13.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________
【答案】
【解析】 连接， 由为中位线，可得 ，，
圆，可得且，
由椭圆的定义可得，可得，
又，可得，
即有，即为，
化为，即，
，即有，
则，
当且仅当时，即时等号成立，所以的最小值为．
14．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
由抛物线可知，其焦点坐标为，准线，
设点P到其准线的距离为，根据抛物线的定义可的
则点P到y轴的距离为，且
则（当且仅当三点共线时取等号），
所以的最小值为2.
15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
设点P(x,y),（x＞1），所以，
因为，当y＞0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是增函数，
所以当y＞0时函数f(x)的最小值=f(1)=1.即f(x)≥1.
当y≤0时，y=,
所以，
由于函数在[1，+∞）上都是增函数，
所以函数在[1，+∞）上是减函数，
所以当y≤0时函数k(x)＞0.
综上所述，的取值范围是.
16．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．
【答案】32
【解析】
由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为，
所以以为圆心，为半径的圆的方程为，
因为，两点为圆与轴的两个交点，不妨令为轴正半轴上的点，
由得，；
所以直线的斜率为，因此直线的方程为，
由得；
由得，
所以，，
，
又，且，所以，即，
因此，当且仅当时，取等号.
故答案为
17．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．
【答案】4
【解析】
由题意可知，＝2，＝﹣2，∴•＝﹣4，
设，则，
∴y1y2＝﹣4．
又直线，
联立方程组消去x得：y2﹣4ty﹣4n＝0，
则y1y2＝﹣4n，y1+y2＝4t，
∵y1y2＝﹣4，∴n＝1．即直线过点E（1，0）．
又圆的圆心P（2，-2），半径r=3，
∴当弦最短时，PE,弦长=2=4,
故答案为:4.
18．【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．
【答案】或
【解析】
设点的坐标为



当且仅当，即时取等号，此时点坐标为或，
此时直线的方程为即或
故答案为：或
19．【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___.
【答案】6
【解析】
设直线l的方程为：y＝kx+1，A（），B（．
联立，化为：x2﹣4kx﹣4＝0，
可得：＝4k，＝﹣4，
|AB|＝＝k（）+4＝4k2+4．
对x2＝4y两边求导可得：y′，
可得切线PA的方程为：y﹣（x﹣）
切线PB的方程为：y﹣（x﹣），
联立解得：x（）＝2k，y＝﹣1．∴P（2k，﹣1）．
∴|PF|．
∴|PF|，
令t≥2．
则|PF|tf（t），
f′（t）＝1，当t>4, f′（t）>0;t<4, f′（t）<0
可得t＝4时，函数f（t）取得极小值即最小值f（4）＝6．当且仅当k时取等号．
故答案为：6．
20．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.
【答案】
【解析】
圆的圆心坐标为(0,0)，半径r=2，
由直线被圆截取的弦长为,可得圆心到直线的距离，
，
则时,取得最大值.
故答案为：．