专题6.1 导数中的构造函数-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（原卷版）

【方法综述】

函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，尤其是在导数题型中．在导数小题中构造函数的常见结论：出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数；出现形式，构造函数．

【解答策略】

类型一、利用进行抽象函数构造

1．利用与（）构造

    常用构造形式有，；这类形式是对，型函数导数计算的推广及应用，我们对，的导函数观察可得知，型导函数中体现的是“”法，型导函数中体现的是“”法，由此，我们可以猜测，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”法形式时，优先考虑构造．

例1.【2019届高三第二次全国大联考】设是定义在上的可导偶函数，若当时，，则函数的零点个数为

A．0 B．1

C．2 D．0或2

【指点迷津】设，当时，，可得当时，，故函数在上单调递减，从而求出函数的零点的个数．

【举一反三】【新疆乌鲁木齐2019届高三第二次质量检测】的定义域是，其导函数为，若，且（其中是自然对数的底数），则　　

A． B．

C．当时，取得极大值 D．当时，

2．利用与构造

与构造，一方面是对，函数形式的考察，另外一方面是对的考察．所以对于类型，我们可以等同，的类型处理， “”法优先考虑构造， “”法优先考虑构造．

例2、【湖南省长郡中学2019届高三下学期第六次月考】已知是函数的导函数，且对任意的实数都有 是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【指点迷津】令，可得，可设，，解得，，利用导数研究其单调性极值与最值并且画出图象即可得出．

【举一反三】【安徽省黄山市2019届高三第二次检测】已知函数是定义在上的可导函数，对于任意的实数x，都有，当时，若，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

3．利用与，构造

，因为导函数存在一定的特殊性，所以也是重点考察的范畴，我们一起看看常考的几种形式．

，；

，；

，；

，．

例3、已知函数对于任意满足（其中是函数的导函数），则下列不等式不成立的是（   ）

A．                       B．

C．                        D．

【指点迷津】满足“”形式，优先构造，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．注意选项的转化．

类型二  构造具体函数关系式

这类题型需要根据题意构造具体的函数关系式，通过具体的关系式去解决不等式及求值问题．

1.直接法：直接根据题设条件构造函数

例4、，，且，则下列结论正确的是（   ）

A．               B．               C．               D．

【指点迷津】根据题目中不等式的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．

【举一反三】【福建省2019届备考关键问题指导适应性练习（四)】已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是(   )

A． B． C． D．

【指点迷津】根据题目中方程的构成，构造函数，然后利用函数的单调性和数形结合求解即可．

2. 参变分离，构造函数

例5.【云南省玉溪市第一中学2019届高三下学期第五次调研】 设为函数的导函数，且满足 ，若恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【指点迷津】根据，变形可得，通过构造函数，进一步确定的最大值，利用导数，结合的单调性，即可求解.

【举一反三】【河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟】设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）

A． B． C． D．

【强化训练】

一、选择题

1．【山西省2019届高三百日冲刺】已知函数，若对任意的，恒成立，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

2．【海南省海口市2019届高三高考调研】已知函数的导函数满足对恒成立，则下列判断一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

3．【辽宁省抚顺市2019届高三一模】若函数有三个零点，则实数的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

4．【辽宁省师范大学附属中学2019届高三上学期期中】已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数k的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

5．【2019届山西省太原市第五中学高三4月检测】已知函数，若函数在上无零点，则（     ）

A． B．

C． D．

6．【安徽省毛坦厂中学2019届高三校区4月联考】已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知函数为上的偶函数，且当时函数满足，，则的解集是（   ）

A． B．

C． D．

8．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第三次测评】若函数在区间上单调递增，则的最小值是（   ）

A．-3 B．-4 C．-5 D．

9．【宁夏六盘山高级中学2019届高三二模】定义域为的奇函数，当时，恒成立，若，，则（  ）

A． B． C． D．

10．【四川省教考联盟2019届高三第三次诊断】已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式.若对，不等式恒成立，则正整数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

11．【2019届高三第二次全国大联考】已知定义在上的可导函数的导函数为，若当时，，则函数的零点个数为

A．0 B．1 C．2 D．0或2

二、填空题

12．【江苏省海安高级中学2019届高三上学期第二次月考】若关于x的不等式对任意的实数及任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是______．

13．【山东省济南市山东师范大学附属中学2019届高三四模】定义在R上的奇函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为______．

14．【广东省佛山市第一中学2019届高三上学期期中】已知定义在R上的奇函数满足f（1）=0，当x＞0时，，则不等式的解集是______．

15.【重庆市第一中学校2019届高三3月月考】设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______.

16．【湖南师大附中2019届高三月考（七)】设为整数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是__________．