专题5.3 解析几何中的范围问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（原卷版）

一．方法综述

圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：

（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

（2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；

③利用基本不等式求出取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定取值范围．

二．解题策略

类型一  利用题设条件，结合几何特征与性质求范围

【例1】【安徽省六安市第一中学2019届高考模拟四】点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【指点迷津】1. 本题考查了椭圆定义的知识、圆上一动点与圆外一定点距离的最值问题，解决问题时需要对题中的目标进行转化，将未知的问题转化为熟悉问题，将“多个动点问题”转化为“少（单）个动点”问题，从而解决问题.

2.在圆锥曲线的最值问题中，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义时，则考虑用图形性质来解决，这样可使问题的解决变得直观简捷．

【举一反三】

1.【河北省石家庄市第二中学2019届高三上期末】已知实数满足，，则的最大值为（  ）

A． B．2 C． D．4

2.点 分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为（  ）

A．7 B．8 C．9 D．10

类型二  通过建立目标问题的表达式，结合参数或几何性质求范围

【例2】抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．

【指点迷津】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键．

【举一反三】【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三二模】已知直线与椭圆：相交于，两点，为坐标原点.当的面积取得最大值时，（   ）

A． B． C． D．

类型三  利用根的判别式或韦达定理建立不等关系求范围

【例3】【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】若直线x﹣my+m＝0与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（　　）

A．（0，1） B．（0，2） C．（﹣1，0） D．（﹣2，0）

【指点迷津】圆都在轴的正半轴和原点，若要两个交点在不同象限，则在第一、四象限，即两交点的纵坐标符号相反，通过联立得到，令其小于0，是否关注“判别式”大于零是易错点.

【举一反三】已知直线与椭圆相交于两点，且（为坐标原点），若椭圆的离心率，则的最大值为___________．

类型四  利用基本不等式求范围

【例4】如图，已知抛物线的焦点为，直线过且依次交抛物线及圆于点四点，则的最小值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【指点迷津】（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件．

【举一反三】【

1.河南省安阳市2019届高考一模】已知双曲线的一个焦点恰为圆Ω：的圆心，且双曲线C的渐近线方程为．点P在双曲线C的右支上，，分别为双曲线C的左、右焦点，则当取得最小值时，＝（　　）

A．2 B．4 C．6 D．8

2.【四川省凉山州市2019届高三第二次诊断】已知抛物线:的焦点为，过点分别作两条直线，，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为，则的最小值为___．

类型五  构建目标函数，确定函数值范围或最值

【例5】【上海市交大附中2019届高考一模】过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______．

【指点迷津】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决．

【举一反三】

1.【2019届高三第二次全国大联考】已知椭圆的右焦点为，左顶点为，上顶点为，若点在直线上，且轴，为坐标原点，且，若离心率，则的取值范围为

A． B． C． D．

2.【山东师范大学附属中学2019届高三第四次模拟】已知双曲线C：右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若，设，且，则双曲线C离心率的取值范围是______．

类型六  利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围

【例6】【云南省保山市2019年高三统一检测】已知坐标原点为O，过点作直线n不同时为零的垂线，垂足为M，则的取值范围是______．

【指点迷津】1.本题根据题意，将直线变形为，分析可得该直线恒过点，设，进而分析可得点的轨迹是以为直径的圆，其方程为，据此分析可得答案．

2.此类问题为“隐形圆问题”，常规的处理办法是找出动点所在的轨迹（通常为圆），常见的“隐形圆”有：

（1）如果为定点，且动点满足，则动点 的轨迹为圆；

（2）如果中，为定长，为定值，则动点的轨迹为一段圆弧．特别地，当，则的轨迹为圆（除去）；

（3）如果为定点，且动点满足(为正常数)，则动点的轨迹为圆；

【举一反三】已知椭圆的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为_____．

三．强化训练

一、选择题

1．【江西省上饶市2019届高三二模】已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且，若的范围为，则双曲线的离心率的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

2．【四川省南充市高三2019届第二次高考适应】已知直线与椭圆交于两点，且（其中为坐标原点），若椭圆的离心率满足，则椭圆长轴的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

3．【河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)】已知抛物线：，定点，，点是抛物线上不同于顶点的动点，则的取值范围为（   ）

A． B． C． D．

4．【四川省内江、眉山等六市2019届高三第二次诊断】设点是抛物线上的动点，是的准线上的动点，直线过且与（为坐标原点）垂直，则点到的距离的最小值的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

5．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】如果图至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

6．【上海交通大学附属中学2019届高三3月月考】已知点为椭圆上的任意一点，点分别为该椭圆的上下焦点，设，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

7．【2019届湘赣十四校高三第二次联考】已知正方体中，，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（   ）

A． B． C． D．

8．【北京市朝阳区2019年高三年级第一次综合练习】已知圆,直线,若直线上存在点，过点引圆的两条切线,使得,则实数的取值范围是（  ）

A． B．[,]

C． D．）

二、填空题

9．【广东省执信中学2018届高三11月月考】抛物线的焦点为，设、是抛物线上的两个动点，若，则的最大值为______．

10．【上海市徐汇区2019届高三上学期期末】已知圆M：，圆N：直线分别过圆心M、N，且与圆M相交于A，B两点，与圆N相交于C，D两点，点P是椭圆上任意一点，则的最小值为______．

11．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．

12.【北京市顺义区2019届高三期末】过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点交抛物线的准线于点C，满足：若，则______；若，则的取值范围为______．

13.已知椭圆C：的左右焦点分别为，，点P在椭圆C上，线段与圆：相切于点Q，若Q是线段的中点，e为C的离心率，则的最小值是______________

14．【宁夏银川市2019年高三下学期质量检测】已知是抛物线上一动点，定点，过点作轴于点，则的最小值是______．

15．【北京市大兴区2019届高三4月一模】已知点，，点在双曲线的右支上，则的取值范围是_________．

16．【东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第二次模拟】以抛物线焦点为圆心，为半径作圆交轴于，两点，连结交抛物线于点（在线段上），延长交抛物线的准线于点，若，且，则的最大值为_____．

17．【河北省唐山市第一中学2019届高三下学期冲刺（一)】已知抛物线的焦点且垂直于轴的直线与抛物线相交于两点，动直线与抛物线相交于两点，若，则直线与圆相交所得最短弦的长度为________．

18．【山东省聊城市2019届高三一模】抛物线的焦点为，动点在抛物线上，点，当取得最小值时，直线的方程为_____．

19．【四川省成都市2019届高三第二次诊断】已知为抛物线的焦点,过点的直线与抛物线相交于不同的两点,抛物线在两点处的切线分别是,且相交于点,则的小值是___.

20．【天津市和平区2019届高三下学期第一次调查】已知为正数，若直线被圆截得的弦长为，则的最大值是____________.