专题4.1 复杂的三视图问题-2020届高考数学压轴题讲义(选填题)（解析版）

一．方法综述

三视图几乎是每年的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，一是考查相关的识图，由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，二是以三视图为载体，考查面积、体积的计算等，均属低中档题.    

三视图中的数据与原几何体中的数据不一定一一对应，识图要注意甄别. 揭示空间几何体的结构特征，包括几何体的形状，平行垂直等结构特征，这些正是数据运算的依据.

还原几何体的基本要素是“长对齐，高平直，宽相等”.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图．对于简单几何体的组合体的三视图，首先要确定正视、侧视、俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式，特别应注意它们的交线的位置．解题时一定耐心加细心，观察准确线与线的位置关系，区分好实线和虚线的不同.

  根据几何体的三视图确定直观图的方法：

（1）三视图为三个三角形，对应三棱锥；

（2）三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；

（3）三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；

（4）三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱锥；

（5）三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱.

   对于几何体的三视图是多边形的，可构造长方体（正方体），在长方体（正方体）中去截得几何体.

二．解题策略

类型一  构造正方体（长方体）求解

【例1】【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

【解析】

由三视图可得四棱锥，在四棱锥中，，由勾股定理可知：，则在四棱锥中，直角三角形有：共三个，故选C.

【指点迷津】正视图、侧视图是三角形，考虑底面顶点数是四，是四棱锥．

【举一反三】

1、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（    ）

1.           B.          C.     D.

【答案】 B

【解析】在长、宽、高分别为2、1、1的长方体中截得三棱锥P-ABC，其中点A为中点，所以.故选B.

2、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）

【答案】B

3、【2017北京，理7】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

（A）3（B）2（C）2（D）2

【答案】B

【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为.故选B.学科&网

类型二  旋转体与多面体组合体的三视图

【例2】【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考】一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r的圆，若该几何体的体积是则它的表面积是(   )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由已知三视图可知：该几何体的直观图是一个底面半径为，高为的圆柱内挖去一个半径为的半球，

因为该几何体的体积为，

所以，即，

解得，

所以该几何体的表面积为，

故选C.

【指点迷津】1.三视图有两个长方形含两个虚半圆，一个圆，故知该几何体是圆柱内挖去一个半径为的半球．2. 三视图有两个半圆含虚三角，想到半球有挖空部分，俯视图是一个圆含实线正方形，几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥．

【举一反三】

1、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)

1.                                            ＋π      B.＋π     C.＋π   D.1＋π

 【答案】 C

 【解析】由三视图知该四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋×π×＝＋π.故选C.

2、一几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是半径为的半圆，俯视图为圆内接一个正方形，则该几何体的体积为（  ）

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

分析：该几何体是由半径为2的半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，分别求出2部分的体积并相减即可得到答案.

解：由题意知，该几何体是由半球挖去一个正四棱锥，四棱锥的高为2，底面为正方形，其对角线为4，则该正方形边长为，故四棱锥的体积为，半球的体积为，故该几何体的体积为.

故答案为D.

类型三   与三视图相关的外接与内切问题

【例3】已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆如图，则这个几何体的内切球的体积为　　

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3，

其正视图为等腰三角形，圆锥的内切球半径等于正视图三角形内切圆半径，

且内切圆的半径满足，解得，

几何体的内切球体积为，故选A．

【指点迷津】（1）三视图的定义正确读取图中线的位置关系和数量关系.（2）内切球球心与三棱锥各顶点连线，把原三棱锥分割成四个小三棱锥，利用等体积法求内切球半径.（3）分析外切球球心位置，利用已知的数量，求外切圆半径.

【举一反三】

1、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由三视图可得，三棱锥为如图所示的三棱锥，其中侧面底面，在和中，，．

取的中点，连，则为外接圆的圆心，且底面，

所以球心在上．

设球半径为，则在中，，

由勾股定理得，解得，

所以三棱锥的外接球的表面积为．

故选C．

2、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为(　　)

A．      B.        C．       D.

【答案】 D

【解析】根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱锥D-ABC,其中平面ADC⊥平面ABC,△ADC为等边三角形.取AC的中点为E,连接DE、BE,则有DE⊥AC,所以DE⊥平面ABC,所以DE⊥EB.由图中数据知AE=EC=EB=1,DE=  ,AD=  =2=DC=DB,AB=BC=  ,AC=2.设此三棱锥的外接球的球心为O,则它落在高线DE上,连接OA,则有AO2=AE2+OE2=1+OE2,AO=DO=DE-OE=  -OE,所以AO=  ,故球O的半径为  ,故所求几何体的外接球的表面积S=4π(  )=  π,故选D.

3、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为(     )

A．           B．       C．              D．

类型四  与三视图相关的最值问题

【例4】某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为

（A）2         （B）2         （C）4         （D）2

【答案】 C

【指点迷津】构造长方体，体对角线为已知长度的棱，长方体三个面为投影面.根据题意，用长方体的棱长表示a+b，用不等式求其最值.

【举一反三】

1、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则的最大值为（    ）

A.32         C.64        

【答案】C

【解析】根据三视图可以画出该几何体的直观图如图，

其中，平面，.作，，且、交于点，连接，则.设，根据图中的几何关系，有，，两式联立消去得，再由均值不等式，得.

故选C.

2、若某几何体的三视图如图所示，这个几何体中最长的棱长为      ，几何体的体积为          .

【答案】，

3、某三棱锥的三视图如图所示．

（）该三棱锥的体积为__________．

（）该三棱椎的四个面中，最大面的面积是__________．

【答案】  8 

【解析】三棱锥的底面积，，

其四个面的面积分别为

，，，

，∴面积最大为．学科&网

三．强化训练

一、选择题

1.【山东省泰安市高三2019年3月检测】九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为　　

【答案】D

【解析】

解：根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，

底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、斜边是2，

且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，

几何体的表面积，

故选：D．

2.【辽宁省大连市2019届高三3月测试】我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（　　）

A．40 B．43 C．46 D．47

【答案】C

【解析】

由三视图可知，该几何体的直现图如图五面体，其中平面平面，
，底面梯形是等腰梯形，高为3 ,
梯形的高为4 ,等腰梯形的高为，
三个梯形的面积之和为,

故选C.

3.【广东省梅州市2019届高三总复习质检】九章算术给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除中，，，，，两条平行线与间的距离为h，直线到平面的距离为，则该羡除的体积为已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为　　

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由三视图还原原几何体知，羡除中，

，底面ABCD是矩形，，，

平面平面ABCD，AB，CD间的距离，

如图，取AD中点G，连接EG，则平面ABCD，

由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为，

该羡除的体积为．

故选：B．

4.【安徽省合肥市2018届高三三模】我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

A．    B．40    C．    D．

【答案】D

【解析】

由三视图可知，该刍童的直观图是如图所示的六面体，图中正方体棱长为， 分别是所在正方体棱的四等分点，其表面由两个全等的矩形，与四个全等的等腰梯形组成，矩形面积为，梯形的上下底分别为，梯形的高为，梯形面积为，所以该刍童的表面积为 ，故选D.

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

通过三视图还原，可知三棱锥为如下图所示的，可通过切割长方体得到

所以长方体的外接球即为三棱锥的外接球

又，，

所以外接球半径：

球的表面积为：

本题正确选项：

6．如图，一个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图，侧视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为，则（   ）

A．3    B．4

C．5    D．6

【答案】B

【解析】

所得几何体的表面积等于底面圆面积加上侧面积和半球表面积，

即.

故选.

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )

A．    B．    C．    D．

【答案】D

【解析】

观察三视图发现：该几何体的形状为圆柱从上方削去一部分，削去部分的体积为圆柱体积一半的一半即，下方削去半个球，

故几何体的体积为：，

故选D.

8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（   ）

A．10    B．20    C．30    D．60

【答案】A

【解析】

根据三视图将三棱锥P-ABC还原到长方体中,如图所示,

故选A.

9．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】

由题意可知几何体是一个底面半径和高都是6的圆柱，挖去一个半圆锥的几何体如图：

几何体的体积为：．

故选：A．

10．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，计算该几何体的表面积为

A．15π    B．18π    C．22π    D．33π

【答案】D

【解析】

由三视图可知，该几何体是一个组合体，组合体上部为一个半径为3的半球，下部是一个圆锥，圆锥的底面半径为3.母线长为5，半球的表面积为，圆锥的侧面积为，所以该几何体的表面积为，故选D.

11.榫卯（sǔnmǎo）是两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式.凸出部分叫榫，凹进去的部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用.代表建筑有北京的紫禁城、天坛祈年殿，山西悬空寺等，如图是一种榫卯构件中榫的三视图，则该榫的表面积和体积为（）

A．    B．

C．    D．

【答案】A

【解析】

由三视图知该榫头是由上下两部分构成：上方为长方体（底面为边长是1的正方形，高为2），下方为圆柱（底面圆半径为2，高为2）．

其表面积为圆柱的表面积加上长方体的侧面积，

所以．

其体积圆柱与长方体体积之和，

所以．

故选A．

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（   ）

（A）          （B）            （C）           （D）

【答案】 B

13.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）

【答案】A

【解析】该几何体是由两个小三棱锥和一个圆锥组成，所以体积为，故选A.

14. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

结合题意，绘制图像，如图所示

平面DEF的面积为，故该几何体的体积

，故选B.

二、填空题

15.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为    .

【答案】

16、一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为          

【答案】