2021年中考数学《压轴题》解答题练习卷（含答案）

这是一份2021年中考数学《压轴题》解答题练习卷（含答案），共17页。

已知，如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为M(1，9)，经过抛物线上的两点A(﹣3，﹣7)和B(3，m)的直线交抛物线的对称轴于点C．
(1)求抛物线的解析式和直线AB的解析式．
(2)在抛物线上A、M两点之间的部分(不包含A、M两点)，是否存在点D，使得S△DAC=2S△DCM？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+2与x 轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=-1.5,且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）（①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标为（2，0），BC=6，∠BCD=60°，点E是AB上一点，AE=3EB，⊙P过D，O，C三点，抛物线y=ax2+bx+c过点D，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：ED是⊙P的切线；
（3）若将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；
（4）若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式
(2)在抛物线对称轴上找一点M，使△MBC的周长最小，并求出点M的坐标和△MBC的周长
(3)若点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥BC交抛物线与点Q，在抛物线上是否存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出点Q的坐标，若不存在请说明理由.
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，
B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；
(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标；
(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1＜x＜2)，连接CE、CF、EF，
求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．
(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(1，0)，B(﹣3，0)．
(1)求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
(2)设点D是x轴上一点，当tan(∠CAO+∠CDO)=4时，求点D的坐标；
(3)如图2．抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m﹣n的最大值．
如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，且OA=1，OB=3，顶点为D，对称轴交x轴于点Q．
（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；
（2）点P是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△DCM∽△BQC？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
\s 0 答案解析
解：(1)二次函数表达式为：y=a(x﹣1)2+9，
将点A的坐标代入上式并解得：a=﹣1，
故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+8…①，
则点B(3，5)，
将点A、B的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AB的表达式为：y=2x﹣1；
(2)存在，理由：
二次函数对称轴为：x=1，则点C(1，1)，过点D作y轴的平行线交AB于点H，
(3)设点Q(m，0)、点P(s，t)，t=﹣s2+2s+8，
①当AM是平行四边形的一条边时，
点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A，
同理，点Q(m，0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m﹣4，﹣16)，即为点P，
即：m﹣4=s，﹣6=t，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=6或﹣4，
故点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)；
②当AM是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：m+s=﹣2，t=2，而t=﹣s2+2s+8，
解得：s=1，
故点P(1，2)或(1﹣，2)；
综上，点P(6，﹣16)或(﹣4，﹣16)或(1，2)或(1﹣，2)．





解：



解：(1)根据题意设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)(x﹣4)，
代入C(0，3)得3=4a，解得a=，
y=(x﹣1)(x﹣4)=x2﹣x+3，
所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3.
(2)∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，
∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，
∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，
∵A(1，0)、B(4，0)、C(0，3)，
∴OA=1，OC=3，BC==5，
∴OC+OA+BC=1+3+5=9；
∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，
四边形PAOC周长的最小值为9.
(3)∵B(4，0)、C(0，3)，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，
①当∠BQM=90°时，如图2，设M(a，b)，
∵∠CMQ＞90°，∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，∴△MQB∽△COB，
∴=，即=，解得b=，
代入y=﹣x+3得， =﹣a+3，解得a=，∴M(，)；
②当∠QMB=90°时，如图3，
∵∠CMQ=90°，∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，∴BM=5﹣m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，∴=，解得m=，
作MN∥OB，∴==，即==，
∴MN=，CN=，∴ON=OC﹣CN=3﹣=，∴M(，)，
综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，
点M的坐标为(，)或(，).
解：
(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y=ax2+bx+2，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2.
(2)当x=0时，y=﹣x2﹣x+2=2，∴点C的坐标为(0，2).
∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1.
连接AC，交抛物线对称轴于点M，如图1所示.
∵点A，B关于直线x=﹣1对称，∴MA=MB，
∴MB+MC=MA+MC=AC，
∴此时△MBC的周长取最小值.
∵点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，点C的坐标为(0，2)，
∴AC=，BC=，直线AC的解析式为y=x+2(可用待定系数法求出来).
当x=﹣1时，y=x+2=，
∴当△MBC的周长最小时，点M的坐标为(﹣1，)，△MBC的周长为+.
(3)∵以B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，点B，P的纵坐标为0，点C的纵坐标为2，
∴点Q的纵坐标为2或﹣2，如图2所示.
当y=2时，﹣x2﹣x+2=2，解得：x1=﹣2，x2=0(舍去)，
∴点Q的坐标为(﹣2，2)；
当y=﹣2时，﹣x2﹣x+2=﹣2，解得：x1=﹣4，x2=2，
∴点Q的坐标为(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).
∴在抛物线上存在点Q，使B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
点Q的坐标为(﹣2，2)或(﹣4，﹣2)或(2，﹣2).
解：
(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+2，
可得a=﹣，b=，∴y=﹣x2+x+2；
∴对称轴x=1；
(2)如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，
设点D(1，y)，
∵C(0，2)，B(3，0)，∴在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=(2﹣y)2+1，
∴在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，
在△BCD中，∵∠DCB=∠CBD，∴CD=BD，∴CD2=BD2，
∴(2﹣y)2+1=4+y2，∴y=，
∴D(1，)；
(3)如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，
∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°，∴四边形QRPE是矩形，
∵S△CEF=S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，
∵E(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，
∴S△CEF=EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，
∴S△CEF=x(y﹣1)﹣x(y﹣2)﹣×1×1﹣ (x﹣1)(y﹣1)，
∵y=﹣x2+x+2，∴S△CEF=﹣x2+x，
∴当x=时，面积有最大值是，此时E(，)；
(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N(1，n)，M(x，y)，
①四边形CMNB是平行四边形时，=，∴x=﹣2，∴M(﹣2，﹣)；
②四边形CNBM时平行四边形时，=，∴x=2，∴M(2，2)；
③四边形CNNB时平行四边形时，=，∴x=4，∴M(4，﹣)；
综上所述：M(2，2)或M(4，﹣)或M(﹣2，﹣)；
解：
(1)由题意把点(1，0)，(﹣3，0)代入y=﹣x2+bx+c，
得，，解得b=﹣2，c=3，
∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4，
∴此抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，顶点C的坐标为(﹣1，4)；
(2)∵抛物线顶点C(﹣1，4)，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1，
设抛物线对称轴与x轴交于点H，则H(﹣1，0)，
在Rt△CHO中，CH=4，OH=1，∴tan∠COH==4，
∵∠COH=∠CAO+∠ACO，
∴当∠ACO=∠CDO时，tan(∠CAO+∠CDO)=tan∠COH=4，
如图1，当点D在对称轴左侧时，
∵∠ACO=∠CDO，∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽△ACD，∴=，
∵AC==2，AO=1，∴=，∴AD=20，∴OD=19，
∴D(﹣19，0)；
当点D在对称轴右侧时，点D关于直线x=1的对称点D'的坐标为(17，0)，
∴点D的坐标为(﹣19，0)或(17，0)；
(3)设P(a，﹣a2﹣2a+3)，将P(a，﹣a2﹣2a+3)，A(1，0)代入y=kx+b，
得，，解得，k=﹣a﹣3，b=a+3，∴yPA=(﹣a﹣3)x+a+3，
当x=0时，y=a+3，∴N(0，a+3)，如图2，
∵S△BPM=S△BPA﹣S四边形BMNO﹣S△AON，S△EMN=S△EBO﹣S四边形BMNO，
∴S△BPM﹣S△EMN=S△BPA﹣S△EBO﹣S△AON
=×4×(﹣a2﹣2a+3)﹣×3×3﹣×1×(a+3)=﹣2a2﹣a=﹣2(a+)2+，
由二次函数的性质知，当a=﹣时，S△BPM﹣S△EMN有最大值，
∵△BMP和△EMN的面积分别为m、n，∴m﹣n的最大值为．
解：