中考数学复习压轴解答题题组练一含答案

  压轴解答题题组练一

(针对中考：解答题第24—25题)

(时间：45分钟　　满分：20分)　　　　　　　　　　　　　　　

1．(10分)如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)P是抛物线上位于直线BC上方的一个动点，过点P作PQ∥y轴交BC于点Q；过点 P 作PE⊥BC于点E，过点E作EF⊥y轴于点F，求出2PQ＋EF的最大值及此时点P的坐标；

(3)如图②，将抛物线y＝ax2＋bx＋4沿着射线CB的方向平移，使得新抛物线y′过点(3，1)，点D为原抛物线y与新抛物线y′的交点，若点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，直接写出所有使得以A，D，G，H为顶点的四边形为平行四边形的点H的坐标，并把求其中一个点H的坐标的过程写出来．

解：(1)此抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.

(2)如答图①，延长FE交PQ于点G，则FG⊥PQ，

∵抛物线y＝－x2＋x＋4与y轴交于点C，

∴C(0，4)，∵B(4，0)，∴OB＝OC＝4，

∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠CBO＝∠BCO＝45°，

∵B(4，0)，C(0，4)，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，

∵点P在抛物线上，PQ∥y轴交BC于点Q，

∴设P，则Q(m，－m＋4)，其中 0＜m＜4，

∴PQ＝－m2＋m＋4－(－m＋4)＝－m2＋2m，

∵PE⊥BC，PQ∥y轴，

∴∠PEQ＝90°，∠PQE＝∠BCO＝45°，

∴△PEQ是等腰直角三角形，∵EG⊥PQ，

∴EG＝PQ＝－m2＋m，

∴EF＝FG－EG＝m－＝m2，

∴2PQ＋EF＝－＋，∵－＜0，

∴当m＝时，2PQ＋EF的最大值为，此时点P的坐标为.

(3)如答图②，

∵B(4，0)，C(0，4)，y＝－(x－1)2＋，

∴将抛物线y＝－x2＋x＋4沿着射线CB的方向平移，即向右平移t个单位长度，向下平移t个单位长度，∴平移后的新抛物线解析式为

y＝－(x－1－t)2＋－t，

∵新抛物线y′过点(3，1)，

∴1＝－(3－1－t)2＋－t，

解得t＝－1(不符合题意，舍去)或t＝3，

∴新抛物线的解析式为

y＝－(x－4)2＋＝－x2＋4x－，

由得∴D，

∵点G为原抛物线的对称轴上一动点，点H为新抛物线y′上一动点，

∴设G(1，s)，H，而A(－2，0)，

①以 AH，DG为对角线时，

则解得r＝，

∴－r2＋4r－＝－，∴H；

②以AG，DH为对角线时，

则解得r＝－，

∴－r2＋4r－＝－，∴H；

③以AD，GH为对角线时，

则·299B·解得r＝，

∴－r2＋4r－＝－，∴H；

综上所述，点H的坐标为，或.

2．(10分)如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF.

(1)求证：CF＝AD；

(2)如图②所示，在点D运动的过程中，当BD＝2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA＋PB＋PC的值最小．当PA＋PB＋PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．

   题图①                      题图②

(1)证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.

∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE.

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°.

∴∠ECD＝∠ACB＋∠ACE＝90°.

∵F是DE的中点，∴CF＝DE.

∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴DE＝AD.

∴CF＝AD.

(2)解：＝3.证明：如答图①所示，连接AF，DG，DG交AC于点M.由(1)知，AF＝CF＝DF＝DE.

∴∠FAC＝∠FCA.

∵∠GAC＝90°，∴∠FAG＝∠FGA.

∴AF＝GF，∴GF＝DF＝CF，

∴∠FGD＝∠FDG，∠FDC＝∠FCD，

∴∠FDG＋∠FDC＝90°，∴∠GDC＝90°.

∵∠B＝∠ACD＝45°，

∴BD＝GD，CD＝MD，∠AMG＝45°.

∵∠CAG＝90°，∴MG＝AG.

∵BD＝2CD，∴BD＝DG＝2CD＝2MG.

∴BC＝3MG＝3AG.即＝3.

答图①                 答图②

(3)解：如答图②所示，当AD⊥BC时，在AD上存在点P，满足条件．此时CE的长为m.