专题05 图形运动中的函数关系问题-玩转压轴题,争取满分之备战中考数学解答题高端精品

玩转压轴题，争取满分之备战2020年中考数学解答题高端精品

专题五  图形运动中的函数关系问题

【考题研究】

在图形运动的问题中，随着图形的运动，图形中的线段长度、面积大小都在变化，从而找出这些变化的规律就是近年来中考出现的大量图形运动问题的题目.解图形运动问题关系的关键是用含自变量x的代数式表示出有关的量，如与x有关的线段长，面积的大小等.  这类题考查学生数形结合、化归、分类讨论、方程等数学思想.

【解题攻略】

图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．

产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．

由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用．

类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图1，已知点A的坐标为(3, 4)，点B是x轴正半轴上的一个动点，设OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形ABH中用勾股定理，就可以得到y关于x的函数关系式．

类型二，图形的翻折．已知矩形OABC在坐标平面内如图2所示，AB＝5，点O沿直线EF翻折后，点O的对应点D落在AB边上，设AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形AED中用勾股定理就可以得到y关于x的函数关系式．

由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．

一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．

一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．

关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．

【解题类型及其思路】

图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题．

计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相似三角形的面积比等于相似比的平方．

前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单．

一般情况下，在求出面积S关于自变量x的函数关系后，会提出在什么情况下（x为何值时），S取得最大值或最小值．

【典例指引】

类型一   【确定图形运动中的线段的函数关系式及其最值】  

【典例指引1】如图，在中，，，，点分别是边上的动点（点不与重合），且，过点作的平行线，交于点，连接，设为．

（1）试说明不论为何值时，总有∽；

（2）是否存在一点，使得四边形为平行四边形，试说明理由；

（3）当为何值时，四边形的面积最大，并求出最大值．

【举一反三】

如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

类型二   【确定图形运动中的图形周长的函数关系式及其最值】  

【典例指引2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点和点，抛物线经过两点，并且与轴交于另一点.点为第四象限抛物线上一动点(不与点重合)，过点作轴，垂足为，交直线于点，连接.设点的横坐标为.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当时，求出此时的值;

(3)点在运动的过程中，的周长是否存在最小值？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.

【举一反三】

如图，直线y=﹣x+分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB=90°，抛物线y=ax2+bx+经过A，B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MH⊥BC于点H，作MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

类型三   【确定图形运动中的图形面积的函数关系式及其最值】  

【典例指引3】如图，抛物线（，b是常数，且≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)

（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为_______；③直线BD的解析式为______；

（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？

（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交轴于点N．当点M的坐标为_______时，四边形MNAC是平行四边形．

【举一反三】

如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、C（3，0），点B为抛物线顶点，直线BD为抛物线的对称轴，点D在x轴上，连接AB、BC，∠ABC＝90°，AB与y轴交于点E，连接CE．

（1）求项点B的坐标并求出这条抛物线的解析式；

（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC的面积为S，点P的横坐标为m，求S关于m的函数关系武，并求出S的最大值；

（3）如图2，连接OB，抛物线上是否存在点Q，使直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，若存在请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【新题训练】

1．如图，已知直线AB经过点（0，4），与抛物线y=x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是．

(1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标．

(2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标，若不存在请说明理由．

(3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

2．如图，抛物线y=ax2 +bx+ 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；

（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，

△EFK的面积最大？并求出最大面积．

3．如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

(3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，．点在函数图像上，轴，且，直线是抛物线的对称轴，是抛物线的顶点．

（1）求、的值；

（2）如图①，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标；

（3）如图②，动点在线段上，过点作轴的垂线分别与交于点，与抛物线交于点．试问：抛物线上是否存在点，使得与的面积相等，且线段的长度最小？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm，连接BD，将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′（B′与B重合），且点D′刚好落在BC的延长上，A′D′与CD相交于点E．

（1）求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分（如图中阴影部分A′B′CE）的面积；

（2）将△A′B′D′以2cm/s的速度沿直线BC向右平移，当B′移动到C点时停止移动．设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为ycm2，移动的时间为x秒，请你求出y关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．

7．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC．

①求线段PM的最大值；

②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．

8．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；

(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线都经过、两点，该抛物线的顶点为C．

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）设直线与该抛物线的对称轴交于点E，在射线上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）设点P是直线下方抛物线上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标，并求面积的最大值．

10．如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图像经过点A（0，3)、B（1，0），其对称轴为直线l：x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.

（1）求抛物线的解析式；   

（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；   

（3）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）请直接写出点A，C，D的坐标；

（2）如图（1），在x轴上找一点E，使得△CDE的周长最小，求点E的坐标；

（3）如图（2），F为直线AC上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得△AFP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

12．已知抛物线过点，两点，与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；

(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

13．如图，抛物线过点，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线上方的一点，过点D作轴交直线于点E，点P为对称轴上一动点，当线段的长度最大时，求的最小值；

（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是AD边上的动点，从点A开始沿AD向D运动．以BE为边，在BE的上方作正方形BEFG，EF交DC于点H，连接CG、BH．请探究：

（1）线段AE与CG是否相等？请说明理由．

（2）若设AE=x，DH=y，当x取何值时，y最大？最大值是多少？

（3）当点E运动到AD的何位置时，△BEH∽△BAE？

15．如图，抛物线的图象过点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

16．如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（﹣9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

17．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．