2021届高考数学二轮复习专题小题专练20

这是一份2021届高考数学二轮复习专题小题专练20，共21页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(考点:复数,★)设复数z满足z+1=|z-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则( ).
A.x+2y-3=0B.2x+4y-3=0
C.2x-4y+3=0D.x-2y+3=0
2.(考点:随机抽样,★)中国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡应派遣人数为( ).
A.104B.108C.112D.120
3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a4=5,Sn+Sn-2=2Sn-1+2(n≥3),则( ).
A.an=nB.an=2n-3
C.a1=-2D.Sn=n(n-1)2
4.(考点:基本初等函数,★)设a=lg0.25,b=0.23,c=14-0.2,则a,b,c的大小关系为( ).
A.aC.b5.(考点:直线和圆的综合,★★)圆C:x2+y2-2x-4y+3=0被直线l:ax+y-1-a=0截得的弦长的最小值为( ).
A.1B.2C.2D.3
6.(考点:二项式定理,★★)若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a3a4的值为( ).
A.1B.2C.-23D.12
7.(考点:函数图象的判断,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x,x∈[0,1),2-x,x∈[1,2],则函数y=f(x)在[2,4]上的大致图象是( ).
8.(考点:函数的零点,★★★)已知函数f(x)=13f(x-2),x>2,1-|x-1|,x≤2,则函数g(x)=9[f(x)]2+17f(x)-2的零点个数为( ).
A.4B.5C.6D.7
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:样本的数学特征,★)如图所示的是某人根据2019年1月至2019年11月期她每月步行的里程(单位:十公里)的数据绘制的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( ).
A.月步行里程逐月增加
B.月步行里程的最大值出现在10月
C.月步行里程的中位数为7月份对应的里程数
D.1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳
10.(考点:立体几何的综合运用,★★)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=4,∠APB=∠CBA=90°,PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,M为棱PD上一点,则下列说法正确的是( ).
A.PA⊥平面PBC
B.VP-ABCD=43
C.AD⊥平面AMC
D.若PB//平面MAC,则PMMD=12
11.(考点:函数的综合运用,★★★)已知定义域为R的奇函数f(x),满足f(x)=22x-3,x>2,x2-2x+2,0A.存在实数k,使函数y=f(x)的图象与直线y=kx有7个不同的交点
B.当-1f(x2)
C.若当x∈(0,a]时,f(x)的最小值为1,则a∈1,52
D.若关于x的方程f(x)=32和f(x)=m的所有实数根之和为零,则m=-32
12.(考点:抛物线,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3,则下列说法正确的是( ).
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是12
D.线段AB的最小值是6
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:三角恒等变换,★)已知θ∈0,π2,cs θ=255,则tanθcs2θ= .
14.(考点:双曲线,★★)已知F1,F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点,点M(2,0),点A∈C,点I∈AM,且I是△F1AF2的内心,则|AI||IM|= .
15.(考点:新定义题型,★★★)如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得对函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)≤g(x)成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论:
①函数f(x)=2x存在“线性覆盖函数”;
②对于给定的函数f(x),其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个;
③g(x)=12x+12为函数f(x)=x的一个“线性覆盖函数”;
④若g(x)=2x+b为函数f(x)=-x2的一个“线性覆盖函数”,则b>1.
16.(考点:与球有关的计算,★★★)如图,在四棱锥C-ABDE中,四边形ABDE为矩形,EA=CA=CB=2,AC⊥CB,F,G分别为AB,AE的中点,平面ABDE⊥平面ABC,则四面体CFDG的体积为 ;若四面体CFDG的各个顶点均在球O的球面上,则球O的体积为 .
答案解析：
1.(考点:复数,★)设复数z满足z+1=|z-2i|,且z在复平面内对应的点为(x,y),则( ).
A.x+2y-3=0B.2x+4y-3=0
C.2x-4y+3=0D.x-2y+3=0
【解析】由题意知z=x+yi(x,y∈R),代入z+1=|z-2i|得(x+1)2+y2=x2+(y-2)2,化简得2x+4y-3=0.
【答案】B
2.(考点:随机抽样,★)中国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡应派遣人数为( ).
A.104B.108C.112D.120
【解析】由题意,得北乡应派遣人数为81008100+7488+6912×300=108,故选B.
【答案】B
3.(考点:等差数列,★)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a4=5,Sn+Sn-2=2Sn-1+2(n≥3),则( ).
A.an=nB.an=2n-3
C.a1=-2D.Sn=n(n-1)2
【解析】由已知得S3+S1=2S2+2,即2a1+a2+a3=2a1+2a2+2,
所以a3=a2+2,则公差d=a3-a2=2,
所以an=a4+(n-4)×2=2n-3,即a1=-1,
所以Sn=n(-1+2n-3)2=n(n-2).
综上可知,B正确.
【答案】B
4.(考点:基本初等函数,★)设a=lg0.25,b=0.23,c=14-0.2,则a,b,c的大小关系为( ).
A.aC.b【解析】因为函数y=lg0.2x单调递减,所以a=lg0.25因为函数y=0.2x单调递减,所以0因为函数y=2x单调递增,所以c=14-0.2=20.4>20=1.所以a<0【答案】A
5.(考点:直线和圆的综合,★★)圆C:x2+y2-2x-4y+3=0被直线l:ax+y-1-a=0截得的弦长的最小值为( ).
A.1B.2C.2D.3
【解析】直线l:ax+y-1-a=0可化为l:a(x-1)+(y-1)=0,故直线l恒过点P(1,1).圆C:x2+y2-2x-4y+3=0的圆心为C(1,2),半径为2,当直线l垂直于直线PC时,截得的弦长最短,此时弦长d=22-1=2.
【答案】B
6.(考点:二项式定理,★★)若(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则a3a4的值为( ).
A.1B.2C.-23D.12
【解析】该二项展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-2x)r,∴T3+1=C63(-2x)3=-160x3,T4+1=C64(-2x)4=240x4,∴a3=-160,a4=240,∴a3a4=-23.故选C.
【答案】C
7.(考点:函数图象的判断,★★)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x,x∈[0,1),2-x,x∈[1,2],则函数y=f(x)在[2,4]上的大致图象是( ).
【解析】因为f(x+2)=2f(x),所以f(x)=2f(x-2),
若x∈[2,4],则x-2∈[0,2],
因为当x∈[0,2]时,f(x)=-x2+2x,x∈[0,1),2-x,x∈[1,2],
所以当x∈[2,4]时,f(x)=-2(x-2)2+4(x-2),x∈[2,3),4-2(x-2),x∈[3,4],化简可得f(x)=-2(x-3)2+2,x∈[2,3),8-2x,x∈[3,4].
画出函数图象(图略)可知B正确.
【答案】B
8.(考点:函数的零点,★★★)已知函数f(x)=13f(x-2),x>2,1-|x-1|,x≤2,则函数g(x)=9[f(x)]2+17f(x)-2的零点个数为( ).
A.4B.5C.6D.7
【解析】当2此时f(x)=13f(x-2)=13(1-|x-2-1|)=13-13|x-3|,
当4此时f(x)=13f(x-2)=1313-13|x-2-3|=19-19|x-5|,
则f(1)=1,f(3)=13f(1)=13,f(5)=13f(3)=19.
由g(x)=9[f(x)]2+17f(x)-2=0,得f(x)=19或f(x)=-2.
当f(x)=19时,g(x)有5个零点,当f(x)=-2时,g(x)有一个零点,故g(x)共有6个零点.
【答案】C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:样本的数学特征,★)如图所示的是某人根据2019年1月至2019年11月期她每月步行的里程(单位:十公里)的数据绘制的折线图.根据该折线图,下列结论正确的是( ).
A.月步行里程逐月增加
B.月步行里程的最大值出现在10月
C.月步行里程的中位数为7月份对应的里程数
D.1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳
【解析】由折线图可知,月步行里程逐月不是递增的,故A错误;月步行里程的最大值出现在10月,故B正确;由图可知月步行里程的中位数为6月份对应的里程数,故C错误;1月至5月的月步行里程相对于6月至11月波动性更小,变化比较平稳,故D正确,故选BD.
【答案】BD
10.(考点:立体几何的综合运用,★★)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=4,∠APB=∠CBA=90°,PA=PB,平面PAB⊥平面ABCD,M为棱PD上一点,则下列说法正确的是( ).
A.PA⊥平面PBC
B.VP-ABCD=43
C.AD⊥平面AMC
D.若PB//平面MAC,则PMMD=12
【解析】A正确,∵平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,BC⊥AB,BC⊂平面ABCD,∴BC⊥平面PAB,又AP⊂平面PAB,∴AP⊥BC,又AP⊥BP,BC∩BP=B,∴AP⊥平面PBC;
B错误,VP-ABCD=13×12×(2+4)×2×1=2;
C错误,由条件只能得出AD⊥AC,在平面AMC中找不出其他线与AD垂直;
D正确,如图,连接BD交AC于点O,
连接OM,∵PB∥平面MAC,PB⊂平面PBD,平面PBD∩平面MAC=OM,∴PB∥OM,∴PMMD=BOOD,
又AB∥CD,∴BOOD=ABCD,∴PMMD=12.
【答案】AD
11.(考点:函数的综合运用,★★★)已知定义域为R的奇函数f(x),满足f(x)=22x-3,x>2,x2-2x+2,0A.存在实数k,使函数y=f(x)的图象与直线y=kx有7个不同的交点
B.当-1f(x2)
C.若当x∈(0,a]时,f(x)的最小值为1,则a∈1,52
D.若关于x的方程f(x)=32和f(x)=m的所有实数根之和为零,则m=-32
【解析】因为该函数是奇函数,故f(x)在R上的解析式为
f(x)=22x+3(x<-2),-x2-2x-2(-2≤x<0),0(x=0),x2-2x+2(02),
绘制该函数的图象如图所示:
直线l1与f(x)的图象有7个交点,故A正确;
当-1直线l2:y=1与f(x)的图象交于点(1,1),52,0,
故当f(x)的最小值为1时,a∈1,52,故C正确;
方程f(x)=32的所有实数根之和为256,若使得其与f(x)=m的所有零点之和为0,则m=-32或m=-38,故D错误.
故选AC.
【答案】AC
12.(考点:抛物线,★★★)已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,以线段AB为直径的圆交x轴于M,N两点,设线段AB的中点为Q.若抛物线C上存在一点E(t,2)到焦点F的距离等于3,则下列说法正确的是( ).
A.抛物线的方程是x2=2y
B.抛物线的准线方程是y=-1
C.sin∠QMN的最小值是12
D.线段AB的最小值是6
【解析】由题意得,抛物线的准线方程为y=-p2,点E(t,2)到焦点F的距离等于3,∴2+p2=3,解得p=2,∴抛物线C的方程为x2=4y,准线方程为y=-1,∴A错误,B正确;由题知直线l的斜率存在,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx+1,由y=kx+1,x2=4y,消去y得x2-4kx-4=0,
∴x1+x2=4k,x1x2=-4,∴y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2,
∴AB的中点Q的坐标为(2k,2k2+1),
|AB|=y1+y2+p=4k2+4≥4,D错误;圆Q的半径r=2k2+2,
在等腰△QMN中,sin∠QMN=|yQ|r=2k2+12k2+2=1-12k2+2≥1-12=12,
当且仅当k=0时取等号,∴sin∠QMN的最小值为12,∴C正确.
【答案】BC
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:三角恒等变换,★)已知θ∈0,π2,cs θ=255,则tanθcs2θ= .
【解析】θ∈(0,π2),cs θ=255,所以sin θ=1-cs2θ=55,tan θ=sinθcsθ=12.
因为cs 2θ=2cs2θ-1=35,tan θ=12,所以tanθcs2θ=56.
【答案】56
14.(考点:双曲线,★★)已知F1,F2分别为双曲线C:x29-y227=1的左、右焦点,点M(2,0),点A∈C,点I∈AM,且I是△F1AF2的内心,则|AI||IM|= .
【解析】不妨设点A在双曲线的右支上,由已知得AM为∠F1AF2的平分线,
∴ |AF1||AF2|=|F1M||MF2|=84=2,又∵|AF1|-|AF2|=2a=6,解得|AF1|=12,
∵I是△F1AF2的内心,∴|AI||IM|=|AF1||MF1|=128=32.
【答案】32
15.(考点:新定义题型,★★★)如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数),使得对函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)≤g(x)成立,那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论:
①函数f(x)=2x存在“线性覆盖函数”;
②对于给定的函数f(x),其“线性覆盖函数”可能不存在,也可能有无数个;
③g(x)=12x+12为函数f(x)=x的一个“线性覆盖函数”;
④若g(x)=2x+b为函数f(x)=-x2的一个“线性覆盖函数”,则b>1.
其中所有正确结论的序号是 .
【解析】①错误,由函数f(x)=2x的图象可知,不存在“线性覆盖函数”.
②正确,如f(x)=sin x,则g(x)=B(B>1)就是“线性覆盖函数”,且有无数个,再如①中的函数f(x)=2x就没有“线性覆盖函数”.
③正确,设函数h(x)=x-12x-12, 则h'(x)=12x-12=1-x2x.
当00,h(x)在(0,1)上单调递增.
当x>1 时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.∴h(x)≤h(1)=0,即f(x)≤g(x),
故g(x)=12x+12为函数f(x)=x的一个“线性覆盖函数”.
④错误,设函数F(x)=-x2-2x-b,则F(x)=-(x+1)2+1-b,当b=1时,g(x)=2x+b为函数f(x)=-x2的一个“线性覆盖函数”.
【答案】②③
16.
(考点:与球有关的计算,★★★)如图,在四棱锥C-ABDE中,四边形ABDE为矩形,EA=CA=CB=2,AC⊥CB,F,G分别为AB,AE的中点,平面ABDE⊥平面ABC,则四面体CFDG的体积为 ;若四面体CFDG的各个顶点均在球O的球面上,则球O的体积为 .
【解析】因为F为AB的中点,CA=CB,所以CF⊥AB.因为平面ABDE⊥平面ABC,平面ABDE∩平面ABC=AB,所以CF⊥平面ABDE,则CF⊥FD,CF⊥FG.
易知在矩形ABDE中,AB2=AC2+BC2=8,FG2=AF2+AG2=3,FD2=FB2+BD2=6,DG2=GE2+ED2=9,
所以DG2=GF2+FD2,则GF⊥FD,
所以四面体CFDG的体积V1=13CF·S△GFD=13CF·12GF·FD=13×2×12×3×6=1.
因为点F,C,D,G均在球O的球面上,
所以以F为顶点,FC,FD,FG为相邻棱的长方体的所有顶点均在球O的球面上,
则球O的直径2R=FC2+FD2+FG2=11,即R=112,
则球O的体积V2=43πR3=43π×1123=11116π.
【答案】1 11116π
1.(考点:集合,★)已知集合A=xx-2x-1≥0,则RA=( ).
A.{x|1C.{x|x<1或x>2}D.{x|x≤1或x>2}
【解析】由x-2x-1≥0,得x-2≥0,x-1>0或x-2≤0,x-1<0,解得x≥2或x<1,即A={x|x<1或x≥2},故RA={x|1≤x<2},故选B.
【答案】B
2.(考点:复数,★)已知i为虚数单位,z1=2-3i-(1-2i),z·2z1=z1,则关于复数z的说法正确的是( ).
A.z+z=2
B.z在复平面内对应的点在第三象限
C.z的虚部为-i
D.|z|=1
【解析】因为z1=2-3i-(1-2i)=1-i,所以z=(1-i)22=-i,所以|z|=1,故D正确.
【答案】D
3.(考点:直线和圆的综合,★)若直线y=3x+b与圆x2+y2=1相交于P,Q两点,且∠POQ=120°(其中O为坐标原点),则b的值为( ).
A.1B.2C.±1D.±2
【解析】∵∠POQ=120°,圆的半径为1,∴|PQ|=12+12-2×1×1×cs120°=3,
圆心(0,0)到直线y=3x+b的距离d=|b|1+3=|b|2,∴b22+322=1,解得b=±1.
【答案】C
4.(考点:样本分布与数字特征,★)国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如图所示.则下列结论中正确的是( ).
A.12个月的PMI值不低于50%的频率为23
B.12个月的PMI值的平均值低于50%
C.12个月的PMI值的众数为49.5%
D.12个月的PMI值的中位数为50.3%
【解析】A错误,从图中数据变化看,PMI值不低于50%的月份有4个,所以12个月的PMI值不低于50%的频率为412=13;B正确,由图可以看出,PMI值的平均值低于50%;C错误,12个月的PMI值的众数为49.4%;D错误,12个月的PMI值的中位数为49.6%.
【答案】B
5.(考点:三角函数的图象与性质,★★)已知函数f(x)=sinπx6·csπx6-3sin2πx6+32,x∈[-1,a],a∈N*,若函数f(x)的图象与直线y=1至少有2个交点,则a的最小值为( ).
A.7B.9C.11D.12
【解析】函数f(x)=sinπx6csπx6-3sin2πx6+32
=12sinπx3+32csπx3=sinπ3x+π3,所以函数f(x)的最小正周期T=6.又函数f(x)的图象与直线y=1至少有2个交点,即函数f(x)在[-1,a]上至少存在两个最大值,结合图象可得a-(-1)≥T+T4=7.5,解得a≥6.5,所以正整数a的最小值为7.
【答案】A
6.(考点:概率,★★)现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为( ).
A.12B.13C.16D.112
【解析】由题意,现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,
基本事件的总数n=C42C22A22×A22=6,
其中乙、丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数m=C22C22A22=2,
所以乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率p=mn=13,故选B.
【答案】B
7.(考点:函数图象的判断,★★)函数f(x)=2|x|·sinπ2+x-12e|x|在-32,32上的图象大致为( ).
【解析】由已知得f(x)=2|x|cs x-12e|x|,x∈-32,32,
因为f(-x)=2|-x|cs(-x)-12e|-x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,
当x∈[0,1]时,f(x)=2xcs x-12ex,
所以f'(x)=2cs x-2xsin x-12ex,f'(0)=32>0,f'(1)=2cs 1-2sin 1-12e<0,即f(x)在[0,1]上有极值点,f(x)在x=1处的切线斜率小于0,且f(0)=-12<0,满足上述条件的选项为A.
【答案】A
8.(考点:解三角形,★★)已知△ABC的内角A,B,C对应的边长分别是a,b,c,且a=2,b=1,C=2A,则c的值为( ).
A.3B.5C.6D.23
【解析】
如图所示,作∠ACB的角平分线与AB交于点D.
则ADBD=ACBC=12,设AD=m,则BD=2m,CD=m,分别利用余弦定理得到cs∠ADC=2m2-12m2,cs∠BDC=5m2-44m2.
由∠ADC+∠BDC=π,得2m2-12m2+5m2-44m2=0,解得m=63,c=AB=3m=6.
【答案】C
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.
9.(考点:命题的真假,★)已知a,b,c,d均为实数,则下列命题中的真命题为( ).
A.若a>b,c>d,则ac>bd
B.若ab>0,bc-ad>0,则ca-db>0
C.若a>b,c>d,则a-d>b-c
D.若a>b,c>d>0,则ad>bc
【解析】若a>0>b,0>c>d,则ac若ab>0,bc-ad>0,则bc-adab>0,化简得ca-db>0,故B正确;
若c>d,则-d>-c,又a>b,则a-d>b-c,故C正确;
若a=-1,b=-2,c=2,d=1,则ad=-1,bc=-1,ad=bc,故D错误.
【答案】BC
10.(考点:数列的综合运用,★★)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则( ).
A.数列{an}为等差数列
B.数列{an}为等比数列
C.a12+a22+…+an2=4n-13
D.m+n为定值
【解析】由题意,当n=1时,S1=2a1-2,解得a1=2,
当n≥2时,Sn-1=2an-1-2,所以an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1,
所以anan-1=2,数列{an}是首项a1=2,公比q=2的等比数列,其通项公式an=2n,故A错误,B正确;
数列{an2}是首项a12=4,公比q1=4的等比数列,
所以a12+a22+…+an2=a12(1-q1n)1-q1=4×(1-4n)1-4=4n+1-43,故C错误;
aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6,为定值,故D正确.
【答案】BD
11.(考点:新定义题型,★★★)若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有下界,其中m为函数f(x)的一个下界;若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立,则函数f(x)在D上有上界,其中M为函数f(x)的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界,那么称该函数有界.则下列说法正确的是( ).
A.1是函数f(x)=x+1x(x>0)的一个下界
B.函数f(x)=xln x有下界,无上界
C.函数f(x)=exx2有上界,无下界
D.函数f(x)=sinxx2+1有下界,无上界
【解析】A正确,当x>0时,x+1x≥2(当且仅当x=1时取等号),∴f(x)>1恒成立,∴1是f(x)的一个下界.
B正确,f'(x)=ln x+1(x>0),∴当x∈0,1e时,f'(x)<0,当x∈1e,+∞时,f'(x)>0,∴f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增,∴f(x)≥f1e=-1e,∴f(x)有下界.又当x→+∞时,f(x)→+∞,∴f(x)无上界.综上所述,f(x)=xln x有下界,无上界.
C错误,∵x2>0,ex>0,∴exx2>0,∴f(x)有下界.
D错误,∵sin x∈[-1,1],∴-1x2+1≤sinxx2+1≤1x2+1.又-1x2+1≥-1,1x2+1≤1,∴-1【答案】AB
12.(考点:椭圆,★★★)椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,以下说法正确的是( ).
A.过点F2的直线与椭圆C交于A,B两点,则△ABF1的周长为8
B.椭圆C上存在点P,使得PF1·PF2=0
C.椭圆C的离心率为12
D.P为椭圆C上一点,Q为圆x2+y2=1上一点,则点P,Q的最大距离为3
【解析】对于A,依题意,由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a=4,
因此△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8,故A正确;
对于B,设点P(x,y)为椭圆C:x24+y2=1上任意一点,则点P的坐标满足x24+y2=1,且-2≤x≤2,
又F1(-3,0),F2(3,0),所以PF1=(-3-x,-y),PF2=(3-x,-y),
因此PF1·PF2=(-3-x)(3-x)+y2=x2+1-x24-3=3x24-2,
由PF1·PF2=3x24-2=0,可得x=±263∈[-2,2],故B正确;
对于C,因为a2=4,b2=1,所以c2=4-1=3,即c=3,
所以离心率e=ca=32,故C错误;
对于D,点P(x,y)到圆x2+y2=1的圆心的距离为|PO|=x2+y2=4-4y2+y2=4-3y2,
因为-1≤y≤1,所以|PQ|max=|PO|max+1=4-0+1=3.故D正确.
故选ABD.
【答案】ABD
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.(考点:二项式定理,★★)在二项式ax+1x6的展开式中,常数项是-160,则a的值为 .
【解析】展开式的通项公式为Tr+1=C6r(ax)6-r·1xr=C6ra6-rx6-2r,令6-2r=0,得r=3,故C63·a3=-160,解得a=-2.
【答案】-2
14.(考点:平面向量,★★)若非零向量a,b满足|a|=1,a·(2a-b)=2,则向量a与b的夹角为 .
【解析】因为a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2,|a|=1,所以a·b=0,故两向量的夹角为90°.
【答案】90°
15.(考点:立体几何的综合,★★)如图,在矩形ABCD中,AB=12BC=2,E为BC的中点,将△DCE沿直线DE翻折成△DC1E,连接C1A,则当三棱锥C1-ADE的体积最大时,∠ADC1= .
【解析】当平面C1DE⊥平面ABCD时,三棱锥C1-ADE的体积最大.
如图,取DE的中点F,AD的中点G,连接C1F,FG,C1G.
∵C1D=C1E,∴C1F⊥DE,
又平面C1DE∩平面ABCD=DE,
∴C1F⊥平面ABCD,
又FG⊂平面ABCD,∴C1F⊥FG.
在Rt△C1FG中,C1G=12+12=2,
在△C1DG中,C1D=DG=C1G=2,
∴△C1DG为正三角形,故∠ADC1=π3.
【答案】π3
16.(考点:函数性质的综合,★★★)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且当x∈[-1,1]时,f(x)=x,现给出下列四个结论:
①f(2020)=0;②函数f(x)的最小正周期为2;③当x∈-2020,2020时,方程f(x)=12有2018个根;④方程f(x)=lg5|x|有5个根.其中正确结论的序号是 .
【解析】∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴函数f(x)的最小正周期为4,故②错误,∴f(2020)=f(4×505)=f(0).
∵当x∈[-1,1]时,f(x)=x,∴f(0)=0,即f(2020)=0,故①正确.
∵函数f(x)在实数集R上为奇函数,∴-f(x)=f(-x),∴f(x+2)=f(-x),即函数f(x)的图象关于直线x=1对称.画出函数f(x)的图象如图所示.
由图象可得,当x∈[-2,2]时,方程f(x)=12有2个根,故当x∈-2020,2020时,方程f(x)=12有2×505×2=2020个根,故③错误.画出y=lg5|x|的图象如图所示,该图象与函数f(x)的图象有5个交点,故④正确.
【答案】①④