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安徽省芜湖县湾沚区2020--2021学年八年级下期中测试数学卷（word版 含答案）
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这是一份安徽省芜湖县湾沚区2020--2021学年八年级下期中测试数学卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了1函数等内容，欢迎下载使用。
2021年八年级下期中测试数学卷
时间：120分钟 满分：150分
考试范围：人教版八年级下数学16章二次根式——19.1函数
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．（）2＝4 C．＝2 D．÷＝2
3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60
4．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
5．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，角平分线CD交AB于点D，则点D到AC的距离是（ ）A． B．2 C． D．3
8． （4分）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
9． A．5 B．6 C．10 D．6
（第8题）（第9题）（第10题）
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．（2021春•沭阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 ．
12．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为 ．
（第12题）(第13题)（第14题）
13．（5分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ．
14．（5分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算题：
（1）（4﹣6+3）÷2+（﹣）﹣1；
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
16．（8分）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD，则四边形ABCD是 四边形．
（2）判断△ACD是否直角三角形？并说明理由； （3）求四边形ABCD的面积．
18．（8分）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求DM的长．
19．（10分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．
（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．
21．（12分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD． （1）求证：MC＝MD； （2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
22.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
23．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣4＞0，
解得x＞4，
即x的取值范围为x＞4，
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．（）2＝4 C．＝2 D．÷＝2
【分析】根据二次根式的乘除等相关运算逐一判断即可．
【解答】解：A，×＝＝，故A选项正确；
B，＝×＝2，故B选项不正确；
C，＝＝4，故C选项不正确；
D，÷＝＝，故D选项不正确．
故选：A．
3．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵72+242＝252，
∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52＝（）2，
∴以4、5、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+（）2＝（）2，
∴以、1、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵402+502≠602，
∴以40、50、60为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定方法分别对每个命题进行判断即可确定答案．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
5．（4分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选B．
故选：B．
6．（4分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，角平分线CD交AB于点D，则点D到AC的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE＝DF，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，
在Rt△ACB中，AC＝＝＝4，
∵CD是角平分线，
∴DE＝DF，
∴AC•DE+BC•DF＝AC•BC，即×4DE+×3DE＝×4×3，
解得DE＝．
故点D到AC的距离是．
故选：A．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．6
【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，AC＝6x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE＝，AC＝6，
∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5，
故选：A．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝AB，根据三角形中位线定理得到MN＝FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
10．（2021春•沭阳县期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故①正确；
②如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
∴其中一定成立的是①②③．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
12．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为 5cm ．
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理得出方程，求AF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝GF，AG＝CD＝4cm，∠G＝∠C＝90°，
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF2＝AG2+GF2，
∴x2＝42+（8﹣x） 2，
解得：x＝5，
即线段AF的长为5cm，
故答案为：5cm．
13．（5分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 8 ．
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
14．（5分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为 ．
【分析】AM垂直于BC时，等边三角形边长最小，AP最小，PC最长．过P作PE垂直于CD于E点求解．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△AMN为等边三角形，
当AM垂直于BC时，等边三角形边长最小，此时CP最长，满足条件，作PE⊥CD于点E．
∵BM＝MC＝3，∠CMP＝30°，∠CPM＝90°，
∴PC＝MC＝，
在Rt△PCE中，
∵∠CPE＝30°，PC＝，
∴EC＝PC＝，
∴PE＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算题：
（1）（4﹣6+3）÷2+（﹣）﹣1；
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算括号内二次根式的加减法，继而计算除法，从而得出答案；
（2）先计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号、分母有理化，再进一步计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝（4﹣2+6）÷2﹣3
＝8÷2﹣3
＝4﹣3
＝1；
（2）原式＝1﹣3+﹣1+﹣
＝﹣2．
16．（8分）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．
（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解答】解：（1）①＝＝+3；
②＝＝；
（2）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）
＝（﹣）（+）
＝n．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD，则四边形ABCD是 平行 四边形．
（2）判断△ACD是否直角三角形？并说明理由；
（3）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）按要求画图即可，根据平行四边形的判定可证得四边形ABCD是平行四边形；
（2）由勾股定理的逆定理即可证得△ACD是否直角三角形；
（3）根据补型法，四边形ABCD的面积等于矩形的面积减去4个三角形的面积即可得到结果．
【解答】解：（1）如图．
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：平行；
（2）△ACD是直角三角形，
理由如下：∵AC2＝42+22＝20，CD2＝22+12＝5，AD2＝32+42＝25，
∴AC2+CD2＝AD2＝25，
∴△ACD是直角三角形；
（3）四边形ABCD的面积＝6×4﹣×2×1﹣×2×1＝×4×3﹣×4×3＝10．
18．（8分）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD＝DE；
（2）由（1）可知：EC＝AC﹣AB＝8，然后根据中位线即可求出DM．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
19．（10分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
【分析】可以用两种方法证明：根据四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BCF，△DCF≌△BAE，进而证明平行四边形BEDF是菱形；或者通过证明四条边相等可得四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）延长BA、CD交于点H，先由含30°角的直角三角形的性质得HA＝2AD＝4，CH＝2BC，再由勾股定理求出DH＝2，BC＝3，则CH＝2BC＝6，即可得出答案；
（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：
∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，
∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，
∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，
∵BH＝＝＝BC＝9，
∴BC＝3，
∴CH＝2BC＝6，
∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；
（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．
21．（12分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论；
（2）由AM＝MC，DM＝BM得出∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，根据三角形外角的性质得出2∠BAC+2∠ABD＝120°，从而求得∠BAO+∠ABO＝60°，根据三角形内角和定理即可求得∠AOB＝120°．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
22.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质解答即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，
∴DQ＝，
∴CQ＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；
（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴PC⊥CF．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算．
平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF＝PB＝3，则P点坐标可求出．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．证明AC＝CM即可解决问题．
（3）如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，证明△OPN是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（0，8），
∴OA＝8，
∵AF⊥OP于M，
∴∠OMF＝90°，
∴∠MOF+∠OFM＝90°，
∵∠OFM+∠OAF＝90°，
∴∠MOF＝∠OAF．
∵OA＝OB，∠AOF＝∠OBP，
∴△OAF≌△BOP（ASA），
∴OF＝PB＝3，
∴P（8，3）．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．
∵PC＝PB，AN＝ON，OA＝BC，
∴PC＝ON，PC∥ON，
∴四边形OPCN是平行四边形，
∴CN∥OP，
∵NA＝NO，
∴AH＝MH，
∵AF⊥OP，
∴CN⊥AM，
∴AC＝CM，
∵AC＝2PC，
∴CM＝2PC．
（3）结论：OP＝NP．
理由：如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，
∵∠NGB＝∠NHB＝∠GBH＝90°，
∴四边形BGNH是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∵N在正方形AOBC的对角线上，
∴∠NBG＝∠NBH，
∵NG⊥BC，NH⊥OB，
∴NH＝NG，
∵EF⊥OP，M为OP的中点，
∴ON＝PN，
∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL），
∴∠ONH＝∠PNG，
∴∠ONP＝∠HNG＝90°，
∴△ONP是等腰直角三角形，
∴OP＝NP．
2021年八年级下期中测试数学卷
时间：120分钟 满分：150分
考试范围：人教版八年级下数学16章二次根式——19.1函数
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
2．下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．（）2＝4 C．＝2 D．÷＝2
3．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60
4．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形 D．四个角都相等的四边形是矩形
5．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，角平分线CD交AB于点D，则点D到AC的距离是（ ）A． B．2 C． D．3
8． （4分）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
9． A．5 B．6 C．10 D．6
（第8题）（第9题）（第10题）
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
10．（2021春•沭阳县期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 ．
12．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为 ．
（第12题）(第13题)（第14题）
13．（5分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 ．
14．（5分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算题：
（1）（4﹣6+3）÷2+（﹣）﹣1；
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
16．（8分）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD，则四边形ABCD是 四边形．
（2）判断△ACD是否直角三角形？并说明理由； （3）求四边形ABCD的面积．
18．（8分）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20． （1）求证：BD＝DE； （2）求DM的长．
19．（10分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．
（1）求CD的长；（2）求四边形ABCD的面积．
21．（12分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD． （1）求证：MC＝MD； （2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
22.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
23．平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）若式子有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x＞4 B．x＜4 C．x≥4 D．x≤4
【分析】二次根式中的被开方数是非负数．依据二次根式有意义的条件，即可得到x的取值范围．
【解答】解：∵式子有意义，
∴x﹣4＞0，
解得x＞4，
即x的取值范围为x＞4，
故选：A．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．×＝ B．（）2＝4 C．＝2 D．÷＝2
【分析】根据二次根式的乘除等相关运算逐一判断即可．
【解答】解：A，×＝＝，故A选项正确；
B，＝×＝2，故B选项不正确；
C，＝＝4，故C选项不正确；
D，÷＝＝，故D选项不正确．
故选：A．
3．（4分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．7，24，25 B．，4，5 C．，1， D．40，50，60
【分析】先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
【解答】解：A．∵72+242＝252，
∴以7、24、25为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵42+52＝（）2，
∴以4、5、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵12+（）2＝（）2，
∴以、1、为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵402+502≠602，
∴以40、50、60为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
4．（4分）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．两组对边分别相等的四边形是矩形
D．四个角都相等的四边形是矩形
【分析】利用矩形的判定方法分别对每个命题进行判断即可确定答案．
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故原命题错误，不符合题意；
D、四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意，
故选：D．
5．（4分）如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车在隧道内的长度y与火车进入隧道的时间x之间的关系用图象描述大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先分析题意，把各个时间段内y与x之间的关系分析清楚，本题是分段函数，分为三段．
【解答】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，火车完全进入后一段时间内y不变，当火车开始出来时y逐渐变小，故反映到图象上应选B．
故选：B．
6．（4分）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简|a﹣1|﹣的结果是（ ）
A．3﹣2a B．﹣1 C．1 D．2a﹣3
【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a﹣1）和（a﹣2）的符号，再根据非负数的性质进行化简．
【解答】解：由图知：1＜a＜2，
∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，
原式＝a﹣1﹣[﹣（a﹣2）]＝a﹣1+（a﹣2）＝2a﹣3．
故选：D．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，角平分线CD交AB于点D，则点D到AC的距离是（ ）
A． B．2 C． D．3
【分析】作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，根据勾股定理可求AC，根据角平分线的性质可得DE＝DF，再根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，
在Rt△ACB中，AC＝＝＝4，
∵CD是角平分线，
∴DE＝DF，
∴AC•DE+BC•DF＝AC•BC，即×4DE+×3DE＝×4×3，
解得DE＝．
故点D到AC的距离是．
故选：A．
8．（4分）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（ ）
A．5 B．6 C．10 D．6
【分析】由矩形的性质得到∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，求得OC＝OD，设DE＝x，OE＝2x，得到OD＝OC＝3x，AC＝6x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OC＝OD，
∵EO＝2DE，
∴设DE＝x，OE＝2x，
∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，
∵CE⊥BD，
∴∠DEC＝∠OEC＝90°，
在Rt△OCE中，
∵OE2+CE2＝OC2，
∴（2x）2+52＝（3x）2，
∵x＞0，
∴DE＝，AC＝6，
∴CD＝＝＝，
∴AD＝＝＝5，
故选：A．
9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4．E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，证得△AEM≌GDM，得到AM＝MG，AE＝DG＝AB，根据三角形中位线定理得到MN＝FG，由勾股定理求出FG即可得到MN．
【解答】解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝BC＝4，AB∥CD，∠C＝90°，
∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，
∵M为DE的中点，
∴ME＝MD，
在△AEM和GDM中，
，
∴△AEM≌△GDM（AAS），
∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，
∴CG＝CD＝2，
∵点N为AF的中点，
∴MN＝FG，
∵F为BC的中点，
∴CF＝BC＝2，
∴FG＝＝2，
∴MN＝，
故选：C．
10．（2021春•沭阳县期中）如图，在▱ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，下列结论：①CF平分∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＜2S△CEF．其中一定成立的是（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的性质．菁优网版权所有
【专题】多边形与平行四边形；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF＝FD，
在▱ABCD中，AD＝2AB，
∴AF＝FD＝CD，
∴∠DFC＝∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCB，
∴∠DCF＝∠BCF，
∴CF平分∠BCD，故①正确；
②如图，延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A＝∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF＝FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
∴∠AEC＝∠ECD＝90°，
∵FM＝EF，
∴CF＝EF，故②正确；
③∵EF＝FM，
∴S△EFC＝S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
∴其中一定成立的是①②③．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）已知a，b都是实数，b＝+，则ab的值为 4 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：由题意可得，
，
解得：a＝，
则b＝﹣2，
故ab的值为（）﹣2＝4．
故答案为：4．
12．（5分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，若AB＝4cm，BC＝8cm，则线段AF的长为 5cm ．
【分析】设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，利用矩形纸片ABCD中，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，由勾股定理得出方程，求AF即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，AD＝BC＝8cm，∠C＝90°，
∵将矩形纸片ABCD沿EF对折，使得点C与点A重合，
∴DF＝GF，AG＝CD＝4cm，∠G＝∠C＝90°，
设AF＝xcm，则DF＝（8﹣x）cm，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AF2＝AG2+GF2，
∴x2＝42+（8﹣x） 2，
解得：x＝5，
即线段AF的长为5cm，
故答案为：5cm．
13．（5分）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为 8 ．
【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解答】解：由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．
14．（5分）如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC．连接AM、AN、MN，MN交AC于点P．则点P到直线CD的距离的最大值为 ．
【分析】AM垂直于BC时，等边三角形边长最小，AP最小，PC最长．过P作PE垂直于CD于E点求解．
【解答】解：∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC为等边三角形，∠ACB＝∠ACD＝60°，
在△ABM和△ACN中，
，
∴△AMN为等边三角形，
当AM垂直于BC时，等边三角形边长最小，此时CP最长，满足条件，作PE⊥CD于点E．
∵BM＝MC＝3，∠CMP＝30°，∠CPM＝90°，
∴PC＝MC＝，
在Rt△PCE中，
∵∠CPE＝30°，PC＝，
∴EC＝PC＝，
∴PE＝，
故答案为：．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）计算题：
（1）（4﹣6+3）÷2+（﹣）﹣1；
（2）（﹣3）0﹣+|1﹣|+．
【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂，再计算括号内二次根式的加减法，继而计算除法，从而得出答案；
（2）先计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号、分母有理化，再进一步计算加减即可．
【解答】解：（1）原式＝（4﹣2+6）÷2﹣3
＝8÷2﹣3
＝4﹣3
＝1；
（2）原式＝1﹣3+﹣1+﹣
＝﹣2．
16．（8分）阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．
（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解答】解：（1）①＝＝+3；
②＝＝；
（2）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）
＝（﹣）（+）
＝n．
17．（8分）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段AD∥BC且使AD＝BC，连接CD，则四边形ABCD是 平行 四边形．
（2）判断△ACD是否直角三角形？并说明理由；
（3）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）按要求画图即可，根据平行四边形的判定可证得四边形ABCD是平行四边形；
（2）由勾股定理的逆定理即可证得△ACD是否直角三角形；
（3）根据补型法，四边形ABCD的面积等于矩形的面积减去4个三角形的面积即可得到结果．
【解答】解：（1）如图．
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：平行；
（2）△ACD是直角三角形，
理由如下：∵AC2＝42+22＝20，CD2＝22+12＝5，AD2＝32+42＝25，
∴AC2+CD2＝AD2＝25，
∴△ACD是直角三角形；
（3）四边形ABCD的面积＝6×4﹣×2×1﹣×2×1＝×4×3﹣×4×3＝10．
18．（8分）在△ABC中，点M是边BC的中点，AD平分∠BAC，BD⊥AD，BD的延长线交AC于点E，AB＝12，AC＝20．
（1）求证：BD＝DE；
（2）求DM的长．
【分析】（1）根据条件可证明△ADB≌△ADE，从而可得BD＝DE；
（2）由（1）可知：EC＝AC﹣AB＝8，然后根据中位线即可求出DM．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAE．
∵AD⊥BD，
∴∠ADB＝∠ADE＝90°．
在△ADB与△ADE中，
∴△ADB≌△ADE，
∴BD＝DE．
（2）∵△ADB≌△ADE，
∴AE＝AB＝12，
∴EC＝AC﹣AE＝8．
∵M是BC的中点，BD＝DE，
∴DM＝EC＝4．
19．（10分）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．
求证：四边形BEDF是菱形．
【分析】可以用两种方法证明：根据四边形ABCD是菱形，可得AB＝BC＝CD＝DA，∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，可以证明△CDF≌△CBF，△DAE≌△BCF，△DCF≌△BAE，进而证明平行四边形BEDF是菱形；或者通过证明四条边相等可得四边形BEDF是菱形．
【解答】证明：方法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，
∴∠DCF＝∠BCF，
∵CF＝CF，
∴△CDF≌△CBF（SAS），
∴DF＝BF，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵AE＝CF，DA＝BC，
∴△DAE≌△BCF（SAS），
∴DE＝BF，
同理可证：△DCF≌△BAE（SAS），
∴DF＝BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵DF＝BF，
∴平行四边形BEDF是菱形．
方法二：∵ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，
∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，
所以就能得到四个三角形全等，
所以四条边相等，
所以四边形BEDF为菱形．
方法三：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，
又∵AE＝CF，
∴OE＝OF，
∴四边形BEDF是菱形．
20．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝60°，AB＝5，AD＝2．
（1）求CD的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【分析】（1）延长BA、CD交于点H，先由含30°角的直角三角形的性质得HA＝2AD＝4，CH＝2BC，再由勾股定理求出DH＝2，BC＝3，则CH＝2BC＝6，即可得出答案；
（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）延长BA、CD交于点H，如图所示：
∵∠B＝∠ADC＝90°，∠C＝60°，
∴∠ADH＝90°，∠H＝30°，
∴HA＝2AD＝4，CH＝2BC，
∴DH＝＝＝2，BH＝HA+AB＝4+5＝9，
∵BH＝＝＝BC＝9，
∴BC＝3，
∴CH＝2BC＝6，
∴CD＝CH﹣HD＝6﹣2＝4；
（2）四边形ABCD的面积＝△BCH的面积﹣△ADH的面积＝×3×9﹣×2×2＝．
21．（12分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，连接MC，MD．
（1）求证：MC＝MD；
（2）若△MCD是等边三角形，求∠AOB的度数．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证得结论；
（2）由AM＝MC，DM＝BM得出∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，根据三角形外角的性质得出2∠BAC+2∠ABD＝120°，从而求得∠BAO+∠ABO＝60°，根据三角形内角和定理即可求得∠AOB＝120°．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，M为边AB的中点，
∴MC＝AB，MD＝AB，
∴MC＝MD；
（2）解：∵MC＝MD＝AB＝AM＝BM，
∴∠BAC＝∠ACM，∠ABD＝∠BDM，
∴∠BMC＝2∠BAC，∠AMD＝2∠ABD，
∵△MCD是等边三角形，
∴∠DMC＝60°，
∴∠BMC+∠AMD＝120°，
∴2∠BAC+2∠ABD＝120°，
∴∠BAO+∠ABO＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣60°＝120°．
22.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分别是线段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．
（1）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；
（2）求证：PC⊥CF．
【考点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；
（2）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形的性质解答即可．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①当CP＝CD时，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②当PD＝PC时，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③当DP＝DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD•DC＝AC•DQ，
∴DQ＝，
∴CQ＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形时，AP＝4或5或；
（2）如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，
∵四边形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠ADC＝∠PDF＝90°，
∴∠ADP+∠PDC＝∠PDC+∠CDF，
∴∠ADP＝∠CDF，
∵∠BCD＝90°，OE＝OD，
∴OC＝ED，
在矩形PEFD中，PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴PC⊥CF．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题关键是分三种情况讨论计算．
平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．
（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF＝PB＝3，则P点坐标可求出．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．证明AC＝CM即可解决问题．
（3）如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，证明△OPN是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（0，8），
∴OA＝8，
∵AF⊥OP于M，
∴∠OMF＝90°，
∴∠MOF+∠OFM＝90°，
∵∠OFM+∠OAF＝90°，
∴∠MOF＝∠OAF．
∵OA＝OB，∠AOF＝∠OBP，
∴△OAF≌△BOP（ASA），
∴OF＝PB＝3，
∴P（8，3）．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．
∵PC＝PB，AN＝ON，OA＝BC，
∴PC＝ON，PC∥ON，
∴四边形OPCN是平行四边形，
∴CN∥OP，
∵NA＝NO，
∴AH＝MH，
∵AF⊥OP，
∴CN⊥AM，
∴AC＝CM，
∵AC＝2PC，
∴CM＝2PC．
（3）结论：OP＝NP．
理由：如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，
∵∠NGB＝∠NHB＝∠GBH＝90°，
∴四边形BGNH是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∵N在正方形AOBC的对角线上，
∴∠NBG＝∠NBH，
∵NG⊥BC，NH⊥OB，
∴NH＝NG，
∵EF⊥OP，M为OP的中点，
∴ON＝PN，
∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL），
∴∠ONH＝∠PNG，
∴∠ONP＝∠HNG＝90°，
∴△ONP是等腰直角三角形，
∴OP＝NP．
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