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2021年辽宁省大连市甘井子区中考一模（双基测试）数学试题（word版 含答案）
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这是一份2021年辽宁省大连市甘井子区中考一模（双基测试）数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省大连市甘井子区中考一模（双基测试）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年，我国国内生产总值首次突破万亿，接近万亿，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．平面直角坐标系中，点P（4，2）关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形各点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
9．抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．不等式的解集是__________．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k=_____．
13．九年级某班名同学的实心球投掷成绩如下表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
这名同学实心球投掷的平均成绩为__________m．
14．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与在函数（）的图象上，轴，垂足为，，点的坐标为，则的值为__________．
16．如图，正方形中，，点在边上，点在边上，，的延长线与射线相交于点，设，则的长为__________．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．已知：中，，点分别为边的中点，求证：．
20．某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
及格
不及格
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 人， 成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（2）被测试女生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（3）若该校九年级共有名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
21．如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）
22．甲、乙两车先后从城出发前往城，乙到达城后立即以原速度返回城，在整个行程中，甲、乙两车离开城的距离（单位：km）与甲车的行驶时间（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 ；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
23．如图，四边形内接于，是的直径，，过点作的切线交延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
24．如图，中，，，，点是的中点，点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，以，为邻边作．设点的运动时间为（秒），与重合部分面积为．
（1）当点在边上时，求的值；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
25．如图，在中，为角平分线，点在边上，，、交于，交于．
（1）求证：；
（2）在图中找到一条与相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当，且时，求的值（用含有的式子表示）．
26．已知函数，将其图象不在轴左侧的部分向下平移个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象．
（1）当时，
①直接写出图象对应的函数表达式；
②点在图象上，求的值；
（2）设图象最低点的纵坐标为，若，直接写出的取值范围；
（3）若点在函数的图象上，且横坐标为，作点关于直线的对称点，当点不在直线上时，以点、为顶点构造矩形，使点、落在轴上，当图象在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而成小时，直接写出的取值范围；
（4）矩形的顶点坐标分别为、、、，若图象与矩形的边有两个公共点，求的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据有理数的大小比较方法解答即可．
【详解】
解：∵-2＜＜0＜1，
∴最小的数为-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．B
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：1016000=1.016×106．
故选：C．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】
根据三角形内角和和平行线的性质即可求出结果．
【详解】
∵，
∵
∴
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题主要考察了三角形内角和，平行线性质等知识点，属于基础题型．
5．C
【分析】
利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
【详解】
解：点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标为（-4，2），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
6．D
【详解】
试题分析：A．，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项正确；
故选D．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．
7．C
【分析】
用数字2的个数除以数字的总个数即可．
【详解】
解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，
∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8．D
【分析】
把C点的横纵坐标都乘以或得到它的对应点的坐标．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的，且C（4，3），
∴点C对应点的坐标为或；
即或
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9．C
【分析】
利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．B
【分析】
由旋转的性质得到∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，进而推出∠CAC′=40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC=∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，
∵∠BAB'=40°，
∴∠CAC′=40°，
∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC，
∠C′DC=∠CAC′=40°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
11．
【分析】
先移项、再合并同类项，系数为1即可求解．
【详解】
解：3x-1＞5x+1，
移项得：3x-5x＞1+1，
合并同类项得：-2x＞2，
解得：x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12．9．
【详解】
试题分析：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=36﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为9．
考点：根的判别式．
13．
【分析】
根据加权平均数的计算公式直接进行计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
，
答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m．
故答案为：8.9．
【点睛】
本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
14．或
【分析】
设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，然后根据题意列出方程即可．
【详解】
解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，
由题意得：，
即，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．
15．
【分析】
根据30°角的直角三角形的性质求得BC=2，OC=，易证得△ABC是等边三角形，即可得到A（，2），代入y=（x＞0）即可求得k的值．
【详解】
解：∵∠BCO=30°，点B的坐标为（0，1），
∴OB=1，
∴BC=2，
∴，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴∠ACB=60°，
∵菱形ABCD中，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=2，
∴A（，2），
∵顶点A在函数y=（x＞0）的图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标是解题的关键．
16．
【分析】
设BF=x，则CF=4-x，先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在Rt△DEF中，由勾股定理得出DF2=CD2+EF2，求出BF、CF，然后由三角形相似求出BG即可．
【详解】
解：设BF=x，则CF=4-x，
∵ABCD为正方形，
∴DA=AB=4，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2=42+12=17，
在Rt△EFB中，EF2=EB2+BF2=（4-1）2+x2=9+x2，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=42+（4-x）2=x2-8x+32，
在Rt△DEF中，DF2=DE2+EF2，
即x2-8x+32=17+9+x2，
∴，
，
∵∠BFG=∠CFD，∠DCF=∠GBF=90°，
∴△FBG∽△FCD，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，以及勾股定理的应用，关键是找到相似三角形求出对应边的比．
17．
【分析】
先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
18．
【分析】
根据分式的运算法则，先计算除法再计算减法即可
【详解】
解：
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
19．见解析
【分析】
由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
【详解】
又∵D,E是中点
∵
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．
20．（1），；（2），；（3）72人
【分析】
（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所占的百分比；
（3）用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20；
成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%，
故答案为：20，20；
（2）被测试女生总数是20÷0.4=50（人），
成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为×100%=10%；
故答案为：50，10；
（3）及格人数有50×20%=10（人），
优秀人数有：50-20-10-5=15（人），
240×=72（人），
答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人．
【点睛】
本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．63米
【分析】
设，可得，，在中，由即可求解．
【详解】
解：如图，，，．
在中，
，．
．
设，则，
在中，，
，
解得．
答：古塔的高度约为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．
22．（1）；（2）小时
【分析】
（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶300千米，从而可求得甲车的速度；
（2）现根据图像求出乙车到B城的函数关系式和时间，求出乙车返回A城的函数关系式，再由两车相遇时函数值相同求出x的值即可．
【详解】
解：（1）∵甲车出发5小时行驶了300km，
∴甲车速度为300÷5=60（km/h），
故答案为：60；
（2）设甲车的函数关系式为：y=kx（k≠0），
将（5，300）代入得：5k=300，
解得：k=60，
∴y=60k（0≤x≤5），
将x=2.5代入得：y=60×2.5=150，
设乙车到B城的函数关系式为：
y1=k1x+b1（k1≠0），
将（1，0），（2.5，150）代入得：
，
解得：，
∴y1=100x-100，
将y1=300代入得：100x-100=300，
解得：x=4，
∴乙车从A城到B城用了4-1=3（h），
∴乙车从B城回到A城的时间为1+3+3=7（h），
设乙车返回A城的函数关系式为：
y2=k2x+b2（k2≠0），
将（4，300），（7，0）代入得：
，
解得：，
∴y2=-100x+700（4＜x＜7），
甲、乙两车再次相遇时，
60x=-100x+700，
解得：x=，
故甲车出发h时，与乙车再次相遇．
．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数的应用，需要同学们熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的方法，解答本题主要应用了分类讨论的数学思想．
23．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作直径DE交AB于F，如图，由AD=BD得到，则根据垂径定理得到DE垂直平分AB，再根据切线的性质得到DE⊥DP，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ABC=90°，易得四边形BPDF为矩形，所以BF=DP=2，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【详解】
解：（1）证明：作直径DE交AB于F，如图，
∵AD=BD，
∴ ，
∴DE垂直平分AB，
∵DP为切线，
∴DE⊥DP，
∴AB∥DP；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
而∠DFB=∠FDP=90°，
∴四边形BPDF为矩形，
∴BF=DP=2，
∵AF=BF=2，
∴AB=4，
在Rt△ABC中，
，
∴⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
24．（1）；（2）
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形 ，得到 ，进而得，列出比例式得到方程，解方程即可；
（2）分三种情况，当时、当时、当时，过点作于点，利用三角函数得到EH的长度，再三角形的面积公式解题即可．
【详解】
（1）点是的中点
四边形是平行四边形 ，
，
（2）当时，过点作于点，
在中，，，
当时
在中，，，，
当时
，在中，，
综上所述，．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，三角函数等知识点，分情况计算是第二问的解题关键．
25．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据AD平分∠BAC，以及三角形外角的性质求出∠BFD=∠BDF即可；
（2）过点F作FM∥BC交AC于点M，根据全等三角形的性质得到BF=FM=BD，根据平行四边形的判定和性质得到CG=FM=BD，进而得到BG=CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，通过三角形相似的判定和性质得出CD：FG的值．
【详解】
（1）证明：∵AD为角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠BFD为△BAF的外角，
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF，
∵∠BDF为△ADC的外角，
∴∠BDF=∠DAC+∠C，
∵∠ABF=∠C，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF；
（2）BG=CD，
证明：过点F作FM∥BC交AC于点M，
∴∠FMA=∠C=∠ABE，
在△BAF和△MAF中，
，
∴△BAF≌△MAF（AAS），
∴BF=FM=BD，
∵FG∥AC，FM∥BC，
∴四边形CGFM为平行四边形，
∴CG=FM=BD，
∴BD+DG=GD+CG，
∴BG=CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，
∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∠AEF=∠C+∠EBC，∠ABE=∠C，
∴∠BAD=∠EBC=∠CAD，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBC=∠DAC+∠C=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠AFE=∠BFD=∠BDF=∠ABD，
∴cos∠AFE= cos∠AEF=cos∠ABD=k，
∵AN⊥BD，
∴BN=ND=BD，
∴，
∵∠CBE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CBE～△CAD，
∴，
过B作BH∥AD交CA延长线于点H，
∵为角平分线，且BH∥AD，
∴∠BAD=∠CAD=∠ABH=∠H，，
∴AB= AH，
∴，
∵FG∥AC，
∴△BFG∽△BEC，
∴，
∵BG=CD，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数，关键是对知识的理解和运用．
26．（1）①；②或；（2）；（3）或；（4）或或
【分析】
（1）①由图象G的定义可求解；
②由图象G的定义判断点Q的位置，分k＞0或k＜0；
（2）设y1=x2-mx+m-1（x≥0），y2=x2-mx+m（x＜0），则，分两种情况讨论：当时，图象最低点的纵坐标，当，图象最低点的纵坐标；
（3）由图象G的定义画出图象，抓住关键点进行分析讨论；
（4）抓住关键点：①当点B（-4，-4）落在y2上时，如图5，m=-4，②当y轴左半边的图象顶点落在BC上，如图6，，③当（0，m）落在AD上时，如图7，m=1．
【详解】
解：（1）①当m=2时，则；
②∵点Q（k，3）在图象G上，
∴当k＜0时，k2-2k+2=3，
解得，（舍去），
当k≥0时，k2-2k+1=3，
解得（舍去），，
∴k的值为或；
（2）设y1=x2-mx+m-1（x≥0），y2=x2-mx+m（x＜0），
则，
∴当时，图象最低点的纵坐标，
解得，（舍去），
当x=0时，函数G取得最小值时，y0=m-1=-2，
解得：m=-1，
∵，
∴当，图象最低点的纵坐标，
∵对于任意实数m，总有成立，
∴图象最低点一定在y1=x2−mx+m−1(x≥0)上，
综上所述，m的取值范围为；
（3）当x=m-1时，y=(m-1)2-m(m-1)+m=1，
∴M（m-1，1），N（-m-1，1），Q（m-1，0），P（-m-1，0），
当m-1=-1，即m=0时，点M落在直线x=-1上，不合题意，
①当m＞0时，当m-1＞0即m＞1时，如图1，2，
图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
②当m＜0时，如图3，4，
当点P（-m-1，0）落在y1＝x2−mx+m−1（x≥0）上时，m1=0（舍去），m2=-2，
∴当-2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
综上所述，当m＞1或-2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
（4）当点B（-4，-4）落在y2上时，如图5，m=-4，
∴当m＜-4时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当y轴左半边的图象顶点落在BC上，如图6，，
解得：（舍去）或；
当（0，m）落在AD上时，如图7，m=1，
∴时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当（0，m-1）落在AD上时，如图8，m-1=1，得m=2，
当点C（3，-4）落在y1上时，m=6，恰好为顶点，
∴当m≥2时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴综上所述，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，m的取值范围为或或．
【点睛】
本题考查了新定义的阅读理解，分段函数的应用，解题重点是运用数形结合思想，对关键点进行分析．
2021年辽宁省大连市甘井子区中考一模（双基测试）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是由个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．2020年，我国国内生产总值首次突破万亿，接近万亿，数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，中，，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．平面直角坐标系中，点P（4，2）关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，矩形各点的坐标分别为，，，，以原点为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点对应点的坐标是（ ）
A． B． C． D．或
9．抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．不等式的解集是__________．
12．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k=_____．
13．九年级某班名同学的实心球投掷成绩如下表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
这名同学实心球投掷的平均成绩为__________m．
14．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为m，根据题意，可列方程为__________．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与在函数（）的图象上，轴，垂足为，，点的坐标为，则的值为__________．
16．如图，正方形中，，点在边上，点在边上，，的延长线与射线相交于点，设，则的长为__________．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．已知：中，，点分别为边的中点，求证：．
20．某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
及格
不及格
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 人， 成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（2）被测试女生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（3）若该校九年级共有名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
21．如图要测量古塔的高度，在塔前平地上点、处观测塔尖，仰角分别为和，、之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据：，，）
22．甲、乙两车先后从城出发前往城，乙到达城后立即以原速度返回城，在整个行程中，甲、乙两车离开城的距离（单位：km）与甲车的行驶时间（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 ；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
23．如图，四边形内接于，是的直径，，过点作的切线交延长线于点．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径．
24．如图，中，，，，点是的中点，点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接，以，为邻边作．设点的运动时间为（秒），与重合部分面积为．
（1）当点在边上时，求的值；
（2）求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．
25．如图，在中，为角平分线，点在边上，，、交于，交于．
（1）求证：；
（2）在图中找到一条与相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当，且时，求的值（用含有的式子表示）．
26．已知函数，将其图象不在轴左侧的部分向下平移个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象．
（1）当时，
①直接写出图象对应的函数表达式；
②点在图象上，求的值；
（2）设图象最低点的纵坐标为，若，直接写出的取值范围；
（3）若点在函数的图象上，且横坐标为，作点关于直线的对称点，当点不在直线上时，以点、为顶点构造矩形，使点、落在轴上，当图象在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而成小时，直接写出的取值范围；
（4）矩形的顶点坐标分别为、、、，若图象与矩形的边有两个公共点，求的取值范围．
参考答案
1．A
【分析】
根据有理数的大小比较方法解答即可．
【详解】
解：∵-2＜＜0＜1，
∴最小的数为-2．
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
2．B
【分析】
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】
解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
【点睛】
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
3．C
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：1016000=1.016×106．
故选：C．
【点睛】
本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．B
【分析】
根据三角形内角和和平行线的性质即可求出结果．
【详解】
∵，
∵
∴
∵
∴
故选B．
【点睛】
本题主要考察了三角形内角和，平行线性质等知识点，属于基础题型．
5．C
【分析】
利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
【详解】
解：点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标为（-4，2），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
6．D
【详解】
试题分析：A．，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项错误；
D．，故此选项正确；
故选D．
考点：1．同底数幂的除法；2．合并同类项；3．同底数幂的乘法；4．幂的乘方与积的乘方．
7．C
【分析】
用数字2的个数除以数字的总个数即可．
【详解】
解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，
∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
8．D
【分析】
把C点的横纵坐标都乘以或得到它的对应点的坐标．
【详解】
解：∵以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的，且C（4，3），
∴点C对应点的坐标为或；
即或
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
9．C
【分析】
利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．B
【分析】
由旋转的性质得到∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，进而推出∠CAC′=40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC=∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【详解】
解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC=∠B′AC′，∠C=∠C′，
∵∠BAB'=40°，
∴∠CAC′=40°，
∵∠C'DC=180°-∠DEC′-∠C′，∠CAC′=180°-C-∠AEC，∠DEC′=∠AEC，
∠C′DC=∠CAC′=40°，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，三角形内角和定理，能灵活运用旋转的性质是解决问题的关键．
11．
【分析】
先移项、再合并同类项，系数为1即可求解．
【详解】
解：3x-1＞5x+1，
移项得：3x-5x＞1+1，
合并同类项得：-2x＞2，
解得：x＜-1．
故答案为：x＜-1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
12．9．
【详解】
试题分析：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴△=36﹣4×1×k=0，解得：k=9，故答案为9．
考点：根的判别式．
13．
【分析】
根据加权平均数的计算公式直接进行计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
，
答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m．
故答案为：8.9．
【点睛】
本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
14．或
【分析】
设雕像的下部高为x m，则上部长为（2-x）m，然后根据题意列出方程即可．
【详解】
解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3-x）m，
由题意得：，
即，
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程．
15．
【分析】
根据30°角的直角三角形的性质求得BC=2，OC=，易证得△ABC是等边三角形，即可得到A（，2），代入y=（x＞0）即可求得k的值．
【详解】
解：∵∠BCO=30°，点B的坐标为（0，1），
∴OB=1，
∴BC=2，
∴，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴∠ACB=60°，
∵菱形ABCD中，AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=2，
∴A（，2），
∵顶点A在函数y=（x＞0）的图象上，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，求得A的坐标是解题的关键．
16．
【分析】
设BF=x，则CF=4-x，先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在Rt△DEF中，由勾股定理得出DF2=CD2+EF2，求出BF、CF，然后由三角形相似求出BG即可．
【详解】
解：设BF=x，则CF=4-x，
∵ABCD为正方形，
∴DA=AB=4，
在Rt△ADE中，DE2=DA2+AE2=42+12=17，
在Rt△EFB中，EF2=EB2+BF2=（4-1）2+x2=9+x2，
在Rt△CDF中，DF2=CD2+CF2=42+（4-x）2=x2-8x+32，
在Rt△DEF中，DF2=DE2+EF2，
即x2-8x+32=17+9+x2，
∴，
，
∵∠BFG=∠CFD，∠DCF=∠GBF=90°，
∴△FBG∽△FCD，
∴，
∴；
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角形相似的判定和性质，正方形的判定和性质，以及勾股定理的应用，关键是找到相似三角形求出对应边的比．
17．
【分析】
先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
18．
【分析】
根据分式的运算法则，先计算除法再计算减法即可
【详解】
解：
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
19．见解析
【分析】
由∠ABC=∠ACB可得AB=AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD=AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
【详解】
又∵D,E是中点
∵
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记定理是解题的关键．
20．（1），；（2），；（3）72人
【分析】
（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所占的百分比；
（3）用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可．
【详解】
解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20；
成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%，
故答案为：20，20；
（2）被测试女生总数是20÷0.4=50（人），
成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为×100%=10%；
故答案为：50，10；
（3）及格人数有50×20%=10（人），
优秀人数有：50-20-10-5=15（人），
240×=72（人），
答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人．
【点睛】
本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．63米
【分析】
设，可得，，在中，由即可求解．
【详解】
解：如图，，，．
在中，
，．
．
设，则，
在中，，
，
解得．
答：古塔的高度约为米．
【点睛】
本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义解题的关键．
22．（1）；（2）小时
【分析】
（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶300千米，从而可求得甲车的速度；
（2）现根据图像求出乙车到B城的函数关系式和时间，求出乙车返回A城的函数关系式，再由两车相遇时函数值相同求出x的值即可．
【详解】
解：（1）∵甲车出发5小时行驶了300km，
∴甲车速度为300÷5=60（km/h），
故答案为：60；
（2）设甲车的函数关系式为：y=kx（k≠0），
将（5，300）代入得：5k=300，
解得：k=60，
∴y=60k（0≤x≤5），
将x=2.5代入得：y=60×2.5=150，
设乙车到B城的函数关系式为：
y1=k1x+b1（k1≠0），
将（1，0），（2.5，150）代入得：
，
解得：，
∴y1=100x-100，
将y1=300代入得：100x-100=300，
解得：x=4，
∴乙车从A城到B城用了4-1=3（h），
∴乙车从B城回到A城的时间为1+3+3=7（h），
设乙车返回A城的函数关系式为：
y2=k2x+b2（k2≠0），
将（4，300），（7，0）代入得：
，
解得：，
∴y2=-100x+700（4＜x＜7），
甲、乙两车再次相遇时，
60x=-100x+700，
解得：x=，
故甲车出发h时，与乙车再次相遇．
．
【点睛】
本题主要考查的是一次函数的应用，需要同学们熟练掌握利用待定系数法求函数解析式的方法，解答本题主要应用了分类讨论的数学思想．
23．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）作直径DE交AB于F，如图，由AD=BD得到，则根据垂径定理得到DE垂直平分AB，再根据切线的性质得到DE⊥DP，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ABC=90°，易得四边形BPDF为矩形，所以BF=DP=2，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【详解】
解：（1）证明：作直径DE交AB于F，如图，
∵AD=BD，
∴ ，
∴DE垂直平分AB，
∵DP为切线，
∴DE⊥DP，
∴AB∥DP；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
而∠DFB=∠FDP=90°，
∴四边形BPDF为矩形，
∴BF=DP=2，
∵AF=BF=2，
∴AB=4，
在Rt△ABC中，
，
∴⊙O的半径为．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和圆周角定理．
24．（1）；（2）
【分析】
（1）根据四边形是平行四边形 ，得到 ，进而得，列出比例式得到方程，解方程即可；
（2）分三种情况，当时、当时、当时，过点作于点，利用三角函数得到EH的长度，再三角形的面积公式解题即可．
【详解】
（1）点是的中点
四边形是平行四边形 ，
，
（2）当时，过点作于点，
在中，，，
当时
在中，，，，
当时
，在中，，
综上所述，．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定及性质，三角函数等知识点，分情况计算是第二问的解题关键．
25．（1）见解析；（2），证明见解析；（3）
【分析】
（1）根据AD平分∠BAC，以及三角形外角的性质求出∠BFD=∠BDF即可；
（2）过点F作FM∥BC交AC于点M，根据全等三角形的性质得到BF=FM=BD，根据平行四边形的判定和性质得到CG=FM=BD，进而得到BG=CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，通过三角形相似的判定和性质得出CD：FG的值．
【详解】
（1）证明：∵AD为角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠BFD为△BAF的外角，
∴∠BFD=∠BAF+∠ABF，
∵∠BDF为△ADC的外角，
∴∠BDF=∠DAC+∠C，
∵∠ABF=∠C，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BD=BF；
（2）BG=CD，
证明：过点F作FM∥BC交AC于点M，
∴∠FMA=∠C=∠ABE，
在△BAF和△MAF中，
，
∴△BAF≌△MAF（AAS），
∴BF=FM=BD，
∵FG∥AC，FM∥BC，
∴四边形CGFM为平行四边形，
∴CG=FM=BD，
∴BD+DG=GD+CG，
∴BG=CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，
∵AF=AE，
∴∠AFE=∠AEF，
∵∠AFE=∠BAD+∠ABE，∠AEF=∠C+∠EBC，∠ABE=∠C，
∴∠BAD=∠EBC=∠CAD，
∴∠ABD=∠ABE+∠EBC=∠DAC+∠C=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠AFE=∠BFD=∠BDF=∠ABD，
∴cos∠AFE= cos∠AEF=cos∠ABD=k，
∵AN⊥BD，
∴BN=ND=BD，
∴，
∵∠CBE=∠CAD，∠C=∠C，
∴△CBE～△CAD，
∴，
过B作BH∥AD交CA延长线于点H，
∵为角平分线，且BH∥AD，
∴∠BAD=∠CAD=∠ABH=∠H，，
∴AB= AH，
∴，
∵FG∥AC，
∴△BFG∽△BEC，
∴，
∵BG=CD，
∴．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数，关键是对知识的理解和运用．
26．（1）①；②或；（2）；（3）或；（4）或或
【分析】
（1）①由图象G的定义可求解；
②由图象G的定义判断点Q的位置，分k＞0或k＜0；
（2）设y1=x2-mx+m-1（x≥0），y2=x2-mx+m（x＜0），则，分两种情况讨论：当时，图象最低点的纵坐标，当，图象最低点的纵坐标；
（3）由图象G的定义画出图象，抓住关键点进行分析讨论；
（4）抓住关键点：①当点B（-4，-4）落在y2上时，如图5，m=-4，②当y轴左半边的图象顶点落在BC上，如图6，，③当（0，m）落在AD上时，如图7，m=1．
【详解】
解：（1）①当m=2时，则；
②∵点Q（k，3）在图象G上，
∴当k＜0时，k2-2k+2=3，
解得，（舍去），
当k≥0时，k2-2k+1=3，
解得（舍去），，
∴k的值为或；
（2）设y1=x2-mx+m-1（x≥0），y2=x2-mx+m（x＜0），
则，
∴当时，图象最低点的纵坐标，
解得，（舍去），
当x=0时，函数G取得最小值时，y0=m-1=-2，
解得：m=-1，
∵，
∴当，图象最低点的纵坐标，
∵对于任意实数m，总有成立，
∴图象最低点一定在y1=x2−mx+m−1(x≥0)上，
综上所述，m的取值范围为；
（3）当x=m-1时，y=(m-1)2-m(m-1)+m=1，
∴M（m-1，1），N（-m-1，1），Q（m-1，0），P（-m-1，0），
当m-1=-1，即m=0时，点M落在直线x=-1上，不合题意，
①当m＞0时，当m-1＞0即m＞1时，如图1，2，
图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
②当m＜0时，如图3，4，
当点P（-m-1，0）落在y1＝x2−mx+m−1（x≥0）上时，m1=0（舍去），m2=-2，
∴当-2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
综上所述，当m＞1或-2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
（4）当点B（-4，-4）落在y2上时，如图5，m=-4，
∴当m＜-4时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当y轴左半边的图象顶点落在BC上，如图6，，
解得：（舍去）或；
当（0，m）落在AD上时，如图7，m=1，
∴时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当（0，m-1）落在AD上时，如图8，m-1=1，得m=2，
当点C（3，-4）落在y1上时，m=6，恰好为顶点，
∴当m≥2时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴综上所述，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，m的取值范围为或或．
【点睛】
本题考查了新定义的阅读理解，分段函数的应用，解题重点是运用数形结合思想，对关键点进行分析．
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