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2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷
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这是一份2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．101.6×104 B．10.16×105 C．1.016×106 D．0.1016×107
4．（3分）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CD∥AB，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2•a3＝a5
7．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点C对应点的坐标是（ ）
A．（2，） B．（﹣2，﹣）
C．（﹣4，﹣3） D．（2，）或（﹣2，﹣）
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，延长CB交B'C于点D，若∠BAB'＝40°，则∠C'DC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞5x+1的解集是 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
13．（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为 m．
14．（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），则k的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，点F在边BC上，∠DEF＝90°，DF的延长线与射线AB相交于点G，设AE＝1，则BG的长为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．
18．（9分）计算：÷﹣1．
19．（9分）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD．
20．（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
20
0.4
及格
不及格
5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（2）被测试女生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图要测量古塔AB的高度，在塔前平地上点C、D处观测塔尖A，仰角分别为37°和45°，C、D之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（10分）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶时间t（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 km/h；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD＝BD，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点P．
（1）求证：AB∥DP；
（2）若BC＝3，DP＝2，求⊙O的半径．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E从点B出发，沿边BC→CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE，以AD，DE为邻边作▱ADEF．设点E的运动时间为t（秒），▱ADEF与△ABC重合部分面积为S．
（1）当点F在AC边上时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（11分）如图，在△ABC中，AD为角平分线，点E在边AC上，∠ABE＝∠C，AD、BE交于F，FG∥AC交BC于G．
（1）求证：BD＝BF；
（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当AF＝AE，且cos∠AEF＝k时，求CD：FG的值．（用含有k的式子表示）．
26．（12分）已知函数y＝x2﹣mx+m，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移1个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G．
（1）当m＝2时，
①直接写出图象G对应的函数表达式；
②点Q（k，3）在图象G上，求k的值；
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，若﹣2≤y0≤0，直接写出m的取值范围；
（3）若点M在函数y＝x2﹣mx+m的图象上，且横坐标为m﹣1，作点M关于直线x＝﹣1的对称点N，当点M不在直线x＝﹣1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣4，﹣4）、C（3，﹣4）、D（3，1），若图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，求m的取值范围．
2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
【分析】根据有理数的大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴最小的数为﹣2．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
3．（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．101.6×104 B．10.16×105 C．1.016×106 D．0.1016×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1016000＝1.016×106．
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CD∥AB，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据平行线的性质求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠ACD＝60°，
故选：B．
5．（3分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣4，2），
故选：C．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、（a3）2＝a5，故此选项错误；
D、a2•a3＝a5，故此选项正确．
故选：D．
7．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用数字2的个数除以数字的总个数即可．
【解答】解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，
∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是＝，
故选：C．
8．（3分）如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点C对应点的坐标是（ ）
A．（2，） B．（﹣2，﹣）
C．（﹣4，﹣3） D．（2，）或（﹣2，﹣）
【分析】把C点的横纵坐标都乘以或﹣得到它的对应点的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的，
而C（4，3），
∴点C对应点的坐标为（×4，×3）或（﹣×4，﹣×3），
即（2，）或（﹣2，﹣）．
故选：D．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，延长CB交B'C于点D，若∠BAB'＝40°，则∠C'DC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，
∵∠BAB'＝40°，
∴∠CAC′＝40°，
∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，
∠C′DC＝∠CAC′＝40°，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞5x+1的解集是 x＜﹣1 ．
【分析】先移项、再合并同类项，系数为1即可求解．
【解答】解：3x﹣1＞5x+1，
3x﹣5x＞1+1，
﹣2x＞2
x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ 9 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝62﹣4×1×k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝62﹣4×1×k＝0，
解得：k＝9，
故答案为：9．
13．（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为 8.9 m．
【分析】根据加权平均数的计算公式直接进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
＝8.9（m），
答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m．
故答案为：8.9．
14．（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 或x2＝x（3﹣x） ．
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．
【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3﹣x）m，
由题意得：，
即x2＝x（3﹣x），
故答案为：或x2＝x（3﹣x）．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），则k的值为 2 ．
【分析】根据30°角的直角三角形的性质求得BC＝2，OC＝，易证得△ABC是等边三角形，即可得到A（，2），代入y＝（x＞0）即可求得k的值．
【解答】解：∵∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），
∴OB＝1，
∴BC＝2，
∴OC＝＝，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴∠ACB＝60°
∵菱形ABCD中，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2，
∴A（，2），
∵顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝＝2，
故答案为2．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，点F在边BC上，∠DEF＝90°，DF的延长线与射线AB相交于点G，设AE＝1，则BG的长为 ．
【分析】先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在Rt△DEF中，由勾股定理得出DF2＝CD2+EF2，求出BF、CF，然后由三角形相似求出BG即可．
【解答】解：设BF＝x，则CF＝4﹣x，
∵ABCD为正方形，
∴DA＝AB＝4，
在Rt△ADE中，
DE2＝DA2+AE2＝42+12＝17，
在Rt△EFB中，
EF2＝EB2+BF2＝（4﹣1）2+x2＝9+x2，
在Rt△CDF中，
DF2＝CD2+EF2＝42+（4﹣x）2＝x2﹣8x+32，
在Rt△DEF中，
DF2＝CD2+EF2，
即x2﹣8x+32＝17+9+x2，
解得：x＝，
∴BF＝，CF＝，
∵∠BFG＝∠CFD，∠DCF＝∠GBF＝90°，
∴△FBG∽△FCD，
∴，
即＝，
∴BG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．
【分析】先根据完全平方公式计算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝3+2+1﹣2+
＝4+．
18．（9分）计算：÷﹣1．
【分析】先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分，进一步通分、计算减法即可．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝﹣
＝．
19．（9分）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD．
【分析】由∠ABC＝∠ACB可得AB＝AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD＝AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．
∴AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD．
20．（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
20
0.4
及格
不及格
5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 20 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 20 %；
（2）被测试女生的总人数为 50 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 10 %；
（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所占的百分比；
（3）用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20；
成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%，
故答案为：20，20；
（2）被测试女生总数是20÷0.4＝50（人），
成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为×100%＝10%；
故答案为：50，10；
（3）及格人数有50×20%＝10（人），
优秀人数有：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
240×＝72（人），
答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图要测量古塔AB的高度，在塔前平地上点C、D处观测塔尖A，仰角分别为37°和45°，C、D之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】先根据题意得出∠BDA、∠BCA的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB＝BD，利用锐角三角函数的定义可得出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：∠BDA＝45°，∠BCA＝37°，DC＝21，
在Rt△ABD中，
∵∠BDA＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
设AB＝x，则BD＝x，BC＝x+21，
在Rt△BCA中，
tan∠BCA＝，∠ACB＝37°，
∴0.75≈，
解得x＝63，
答：该古塔的高度约为63米．
22．（10分）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶时间t（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 60 km/h；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
【分析】（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶600千米，从而可求得甲车的速度；
（2）现根据图像求出乙车到B城的函数关系式和时间，求出乙车返回A城的函数关系式，再由两车相遇时函数值相同求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵甲车出发5小时行驶了300km，
∴甲车速度为300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）设甲车的函数关系式为：y＝kx（k≠0），
将（5，300）代入得：5k＝300，
解得：k＝60，
∴y＝60k（0≤x≤5），
将x＝2.5代入得：y＝60×2.5＝150，
设乙车到B城的函数关系式为：
y1＝k1x+b1（k1≠0），
将（1，0），（2.5，150）代入得：
，
解得：，
∴y1＝100x﹣100，
将y1＝300代入得：100x﹣100＝300，
解得：x＝4，
∴乙车从A城到B城用了4﹣1＝3（h），
∴乙车从B城回到A城的时间为1+3+3＝7（h），
设乙车返回A城的函数关系式为：
y2＝k2x+b2（k2≠0），
将（4，300），（7，0）代入得：
，
解得：，
∴y2＝﹣100x+700（4＜x＜7），
甲、乙两车再次相遇时，
60x＝﹣100x+700，
解得：x＝，
故甲车出发h时，与乙车再次相遇．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD＝BD，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点P．
（1）求证：AB∥DP；
（2）若BC＝3，DP＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）作直径DE交AB于F，如图，由AD＝BD得到＝，则根据垂径定理得到DE垂直平分AB，再根据切线的性质得到DE⊥DP，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ABC＝90°，易得四边形BPDF为矩形，所以BF＝DP＝2，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：作直径DE交AB于F，如图，
∵AD＝BD，
∴＝，
∴DE垂直平分AB，
∵DP为切线，
∴DE⊥DP，
∴AB∥DP；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
而∠DFB＝∠FDP＝90°，
∴四边形BPDF为矩形，
∴BF＝DP＝2，
∵AF＝BF＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴⊙O的半径为．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E从点B出发，沿边BC→CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE，以AD，DE为邻边作▱ADEF．设点E的运动时间为t（秒），▱ADEF与△ABC重合部分面积为S．
（1）当点F在AC边上时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）通过相似即可解决问题；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式，分类讨论．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，
∴BD＝BA，
∵四边形ADEF是平行四边形，
所以AF∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴BE＝＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2．
（2）当0＜t≤2时，过点E作EH⊥AB于点H，
在△BEH中，BE＝2t，sinB＝，
∴EH＝BE＝，
S＝AD×EH＝5×＝6t，
当2＜t≤4时，
在Rt△CEG中，CE＝8.2t，tanB＝，
∴CG＝CE
S△CEG＝CE×CG＝＝，
S△BDE＝BD×EH＝＝3t，
∴S＝，
当4＜t≤7时，
AE＝14﹣2t，
在Rt△AEH中，sinA＝，
∴EH＝，S＝＝﹣4t+28，
综上所述：S＝，
25．（11分）如图，在△ABC中，AD为角平分线，点E在边AC上，∠ABE＝∠C，AD、BE交于F，FG∥AC交BC于G．
（1）求证：BD＝BF；
（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当AF＝AE，且cos∠AEF＝k时，求CD：FG的值．（用含有k的式子表示）．
【分析】（1）根据AD平分∠BAC，以及三角形外角的性质求出∠ABF＝∠C即可；
（2）过点F作FM∥BC交AC于点M，根据全等三角形的性质得到CG＝FM＝BD，根据平行四边形的判定和性质得到CG＝FM＝BD，进而得到BG＝CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，通过三角形相似的判定和性质得出CD：FG的值．
【解答】（1）证明：∵AD为角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠BFD为△BAF的外角，
∴∠BFD＝∠BAF+∠ABF，
∵∠BDF为△ADC的外角，
∴∠BDF＝∠DAC+∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF；
（2）BG＝CD，
证明：过点F作FM∥BC交AC于点M，
∴∠FMA＝∠C＝∠ABE，
在△BAF和△MAF中，
，
∴△BAF≌△MAF（AAS），
∴BF＝FM＝BD，
∵FG∥AC，FM∥BC，
∴四边形CGFM为平行四边形，
∴CG＝FM＝BD，
∴BD+DG＝GD+CG，
∴BG＝CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，
∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∠AEF＝∠C+∠EBC，∠ABE＝∠C，
∴∠BAD＝∠EBC＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBC＝∠DAC+∠C＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠AFE＝∠BFD＝∠BDF＝∠ABD，
∴cos∠AFE＝cos∠ABD，
∵AN⊥BD，
∴BN＝ND＝BD，
∴＝2cos∠AFE＝2k，
∵∠CBE＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CBE～△CAD，
∴，
∴，
∵FG∥AC，
∴△BFG∽△BEC，
∴，
∵BG＝CD，
∴．
26．（12分）已知函数y＝x2﹣mx+m，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移1个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G．
（1）当m＝2时，
①直接写出图象G对应的函数表达式；
②点Q（k，3）在图象G上，求k的值；
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，若﹣2≤y0≤0，直接写出m的取值范围；
（3）若点M在函数y＝x2﹣mx+m的图象上，且横坐标为m﹣1，作点M关于直线x＝﹣1的对称点N，当点M不在直线x＝﹣1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣4，﹣4）、C（3，﹣4）、D（3，1），若图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）①由图象G的定义可求解；
②由图象G的定义判断点Q的位置，分k＞0或k＜0；
（2）设y1＝x2﹣mx+m﹣1（x≥0），y2＝x2﹣mx+m（x＜0），则，分两种情况讨论：当x＝＞0时，图象最低点的纵坐标，当x＝＜0，图象最低点的纵坐标+m＝﹣；
（3）由图象G的定义画出图象，抓住关键点进行分析讨论；
（4）抓住关键点：①当点B（﹣4，﹣4）落在y2上时，如图5，m＝﹣4，②当y轴左半边的图象顶点（落在BC上，如图6，，③当（0，m）落在AD上时，如图7，m＝1．
【解答】解：（1）①当m＝2时，则；
②∵点Q（k，3）在图象G上，
∴当k＜0时，k2﹣2k+2＝3，
解得k1＝1﹣，k2＝1+（舍去），
当k≥0时，k2﹣2k+1＝3，
解得k1＝1﹣（舍去），k2＝1+，
∴k的值为1﹣或1+；
（2）设y1＝x2﹣mx+m﹣1（x≥0），y2＝x2﹣mx+m（x＜0），
则，
∴当x＝＞0时，图象最低点的纵坐标，
解得，（舍去），
当x＝0时，函数G取得最小值时，y0＝m﹣1＝﹣2，
解得：m＝﹣1，
∵，
∴当x＝＜0，图象最低点的纵坐标+m＝﹣，
∵对于任意实数m，总有﹣＜成立，
∴图象最低点一定在y上，
∴综上所述，m的取值范围为﹣1≤m≤2+2；
（3）当x＝m﹣1时，y＝（m﹣1）2﹣m（m﹣1）+m＝1，
∴M（m﹣1，1），N（﹣m﹣1，1），Q（m﹣1，0），P（﹣m﹣1，0），
当m﹣1＝﹣1，即m＝0时，点M落在直线x＝﹣1上，不合题意，
①当m＞0时，当m﹣1＞0即m＞1时，如图1，2，
图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
②当m＜0时，如图3，4，
当点P（﹣m﹣1，0）落在（x≥0）上时，m1＝0（舍去），m2＝﹣2，
∴当﹣2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
综上所述，当m＞1或﹣2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
（4）当点B（﹣4，﹣4）落在y2上时，如图5，m＝﹣4，
∴当m＜﹣4时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当y轴左半边的图象顶点（落在BC上，如图6，，
解得：m＝2+2（舍去）或2﹣2，
当（0，m）落在AD上时，如图7，m＝1，
∴2﹣2＜m＜1时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当（0，m﹣1）落在AD上时，如图8，m﹣1＝1，得m＝2，
当点C（3，﹣4）落在y1上时，m＝6，恰好为顶点，
∴当m≥2时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴综上所述，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，m的取值范围为m＜﹣4或2﹣2＜m＜1或m≥2．
2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．101.6×104 B．10.16×105 C．1.016×106 D．0.1016×107
4．（3分）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CD∥AB，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．（3分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2•a3＝a5
7．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点C对应点的坐标是（ ）
A．（2，） B．（﹣2，﹣）
C．（﹣4，﹣3） D．（2，）或（﹣2，﹣）
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，延长CB交B'C于点D，若∠BAB'＝40°，则∠C'DC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞5x+1的解集是 ．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ ．
13．（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为 m．
14．（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），则k的值为 ．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，点F在边BC上，∠DEF＝90°，DF的延长线与射线AB相交于点G，设AE＝1，则BG的长为 ．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．
18．（9分）计算：÷﹣1．
19．（9分）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD．
20．（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
20
0.4
及格
不及格
5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（2）被测试女生的总人数为 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 %；
（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图要测量古塔AB的高度，在塔前平地上点C、D处观测塔尖A，仰角分别为37°和45°，C、D之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22．（10分）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶时间t（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 km/h；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD＝BD，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点P．
（1）求证：AB∥DP；
（2）若BC＝3，DP＝2，求⊙O的半径．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E从点B出发，沿边BC→CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE，以AD，DE为邻边作▱ADEF．设点E的运动时间为t（秒），▱ADEF与△ABC重合部分面积为S．
（1）当点F在AC边上时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
25．（11分）如图，在△ABC中，AD为角平分线，点E在边AC上，∠ABE＝∠C，AD、BE交于F，FG∥AC交BC于G．
（1）求证：BD＝BF；
（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当AF＝AE，且cos∠AEF＝k时，求CD：FG的值．（用含有k的式子表示）．
26．（12分）已知函数y＝x2﹣mx+m，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移1个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G．
（1）当m＝2时，
①直接写出图象G对应的函数表达式；
②点Q（k，3）在图象G上，求k的值；
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，若﹣2≤y0≤0，直接写出m的取值范围；
（3）若点M在函数y＝x2﹣mx+m的图象上，且横坐标为m﹣1，作点M关于直线x＝﹣1的对称点N，当点M不在直线x＝﹣1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣4，﹣4）、C（3，﹣4）、D（3，1），若图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，求m的取值范围．
2021年辽宁省大连市甘井子区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）
1．（3分）下列四个数中，最小的是（ ）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．1
【分析】根据有理数的大小比较方法解答即可．
【解答】解：∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴最小的数为﹣2．
故选：A．
2．（3分）如图是由5个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上边看共有两层，底层右边是一个小正方形，上层是三个小正方形．
故选：B．
3．（3分）2020年，我国国内生产总值首次突破100万亿，接近1016000万亿，数1016000用科学记数法表示为（ ）
A．101.6×104 B．10.16×105 C．1.016×106 D．0.1016×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1016000＝1.016×106．
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中，∠B＝50°，∠ACB＝70°，CD∥AB，则∠ACD的度数是（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【分析】首先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再根据平行线的性质求出∠ACD的度数．
【解答】解：∵∠B＝50°，∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A，
∴∠ACD＝60°，
故选：B．
5．（3分）平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（4，2） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣4，﹣2）
【分析】利用关于y轴对称点的坐标特点可得答案．
【解答】解：点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣4，2），
故选：C．
6．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6 B．a6÷a2＝a3 C．（a3）2＝a5 D．a2•a3＝a5
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
C、（a3）2＝a5，故此选项错误；
D、a2•a3＝a5，故此选项正确．
故选：D．
7．（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“2”“2”“3”“3”“3”，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】用数字2的个数除以数字的总个数即可．
【解答】解：∵共有6个数字，其中数字2有2个，
∴掷小正方体后，向上一面的数字，出现“2”的概率是＝，
故选：C．
8．（3分）如图，矩形AOBC各点的坐标分别为A（0，3），O（0，0），B（4，0），C（4，3），以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的，则点C对应点的坐标是（ ）
A．（2，） B．（﹣2，﹣）
C．（﹣4，﹣3） D．（2，）或（﹣2，﹣）
【分析】把C点的横纵坐标都乘以或﹣得到它的对应点的坐标．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，将矩形AOBC缩小为原来的，
而C（4，3），
∴点C对应点的坐标为（×4，×3）或（﹣×4，﹣×3），
即（2，）或（﹣2，﹣）．
故选：D．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当﹣3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
10．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，延长CB交B'C于点D，若∠BAB'＝40°，则∠C'DC的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【分析】由旋转的性质得到∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，进而推出∠CAC′＝40°，根据三角形内角和定理证得∠C′DC＝∠CAC′，即可求得∠C'DC的度数．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴△ABC≌△AB'C'，
∴∠BAC＝∠B′AC′，∠C＝∠C′，
∵∠BAB'＝40°，
∴∠CAC′＝40°，
∵∠C'DC＝180°﹣∠DEC′﹣∠C′，∠CAC′＝180°﹣C﹣∠AEC，∠DEC′＝∠AEC，
∠C′DC＝∠CAC′＝40°，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞5x+1的解集是 x＜﹣1 ．
【分析】先移项、再合并同类项，系数为1即可求解．
【解答】解：3x﹣1＞5x+1，
3x﹣5x＞1+1，
﹣2x＞2
x＜﹣1．
故答案为x＜﹣1．
12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，则k＝ 9 ．
【分析】根据判别式的意义得到△＝62﹣4×1×k＝0，然后解一次方程即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2+6x+k＝0有两个相等的实数根，
∴△＝62﹣4×1×k＝0，
解得：k＝9，
故答案为：9．
13．（3分）九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如表所示．
实心球成绩（单位：m）
人数
11
2
9
3
8
5
这10名同学实心球投掷的平均成绩为 8.9 m．
【分析】根据加权平均数的计算公式直接进行计算即可．
【解答】解：根据题意得：
＝8.9（m），
答：这10名同学实心球投掷的平均成绩为8.9m．
故答案为：8.9．
14．（3分）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为 或x2＝x（3﹣x） ．
【分析】设雕像的下部高为x m，则上部长为（2﹣x）m，然后根据题意列出方程即可．
【解答】解：设雕像的下部高为x m，则上部长为（3﹣x）m，
由题意得：，
即x2＝x（3﹣x），
故答案为：或x2＝x（3﹣x）．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A与D在函数y＝（x＞0）的图象上，AC⊥x轴，垂足为C，∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），则k的值为 2 ．
【分析】根据30°角的直角三角形的性质求得BC＝2，OC＝，易证得△ABC是等边三角形，即可得到A（，2），代入y＝（x＞0）即可求得k的值．
【解答】解：∵∠BCO＝30°，点B的坐标为（0，1），
∴OB＝1，
∴BC＝2，
∴OC＝＝，
∵AC⊥x轴，垂足为C，
∴∠ACB＝60°
∵菱形ABCD中，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝2，
∴A（，2），
∵顶点A在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝＝2，
故答案为2．
16．（3分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，点F在边BC上，∠DEF＝90°，DF的延长线与射线AB相交于点G，设AE＝1，则BG的长为 ．
【分析】先在三个直角三角形中，由勾股定理求出DE2、EF2、DF2，再在Rt△DEF中，由勾股定理得出DF2＝CD2+EF2，求出BF、CF，然后由三角形相似求出BG即可．
【解答】解：设BF＝x，则CF＝4﹣x，
∵ABCD为正方形，
∴DA＝AB＝4，
在Rt△ADE中，
DE2＝DA2+AE2＝42+12＝17，
在Rt△EFB中，
EF2＝EB2+BF2＝（4﹣1）2+x2＝9+x2，
在Rt△CDF中，
DF2＝CD2+EF2＝42+（4﹣x）2＝x2﹣8x+32，
在Rt△DEF中，
DF2＝CD2+EF2，
即x2﹣8x+32＝17+9+x2，
解得：x＝，
∴BF＝，CF＝，
∵∠BFG＝∠CFD，∠DCF＝∠GBF＝90°，
∴△FBG∽△FCD，
∴，
即＝，
∴BG＝．
故答案为：．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）
17．（9分）计算：（+1）2﹣+2．
【分析】先根据完全平方公式计算，然后化简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝3+2+1﹣2+
＝4+．
18．（9分）计算：÷﹣1．
【分析】先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分，进一步通分、计算减法即可．
【解答】解：原式＝•﹣1
＝﹣
＝．
19．（9分）已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D，E分别为边AB、AC的中点，求证：BE＝CD．
【分析】由∠ABC＝∠ACB可得AB＝AC，又点D、E分别是AB、AC的中点．得到AD＝AE，通过△ABE≌△ACD，即可得到结果．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点．
∴AD＝AE，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE＝CD．
20．（12分）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．
成绩等级
频数（人）
频率
优秀
良好
20
0.4
及格
不及格
5
根据以上信息，解答下列问题：
（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为 20 人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 20 %；
（2）被测试女生的总人数为 50 人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 10 %；
（3）若该校九年级共有240名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．
【分析】（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案；
（2）根据良好的人数和所占的百分比求出总人数，再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所占的百分比；
（3）用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为20；
成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为20%，
故答案为：20，20；
（2）被测试女生总数是20÷0.4＝50（人），
成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为×100%＝10%；
故答案为：50，10；
（3）及格人数有50×20%＝10（人），
优秀人数有：50﹣20﹣10﹣5＝15（人），
240×＝72（人），
答：该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有72人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图要测量古塔AB的高度，在塔前平地上点C、D处观测塔尖A，仰角分别为37°和45°，C、D之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】先根据题意得出∠BDA、∠BCA的度数及AC的长，再在Rt△ABD中可得出AB＝BD，利用锐角三角函数的定义可得出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：∠BDA＝45°，∠BCA＝37°，DC＝21，
在Rt△ABD中，
∵∠BDA＝45°，∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴AB＝BD，
设AB＝x，则BD＝x，BC＝x+21，
在Rt△BCA中，
tan∠BCA＝，∠ACB＝37°，
∴0.75≈，
解得x＝63，
答：该古塔的高度约为63米．
22．（10分）甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶时间t（单位：h）的函数图象如图所示．
（1）甲车的速度为 60 km/h；
（2）求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．
【分析】（1）根据函数图象可知甲车5小时行驶600千米，从而可求得甲车的速度；
（2）现根据图像求出乙车到B城的函数关系式和时间，求出乙车返回A城的函数关系式，再由两车相遇时函数值相同求出x的值即可．
【解答】解：（1）∵甲车出发5小时行驶了300km，
∴甲车速度为300÷5＝60（km/h），
故答案为：60；
（2）设甲车的函数关系式为：y＝kx（k≠0），
将（5，300）代入得：5k＝300，
解得：k＝60，
∴y＝60k（0≤x≤5），
将x＝2.5代入得：y＝60×2.5＝150，
设乙车到B城的函数关系式为：
y1＝k1x+b1（k1≠0），
将（1，0），（2.5，150）代入得：
，
解得：，
∴y1＝100x﹣100，
将y1＝300代入得：100x﹣100＝300，
解得：x＝4，
∴乙车从A城到B城用了4﹣1＝3（h），
∴乙车从B城回到A城的时间为1+3+3＝7（h），
设乙车返回A城的函数关系式为：
y2＝k2x+b2（k2≠0），
将（4，300），（7，0）代入得：
，
解得：，
∴y2＝﹣100x+700（4＜x＜7），
甲、乙两车再次相遇时，
60x＝﹣100x+700，
解得：x＝，
故甲车出发h时，与乙车再次相遇．
23．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AD＝BD，过点D作⊙O的切线交BC延长线于点P．
（1）求证：AB∥DP；
（2）若BC＝3，DP＝2，求⊙O的半径．
【分析】（1）作直径DE交AB于F，如图，由AD＝BD得到＝，则根据垂径定理得到DE垂直平分AB，再根据切线的性质得到DE⊥DP，从而得到结论；
（2）利用圆周角定理得到∠ABC＝90°，易得四边形BPDF为矩形，所以BF＝DP＝2，然后利用勾股定理计算出AC，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：作直径DE交AB于F，如图，
∵AD＝BD，
∴＝，
∴DE垂直平分AB，
∵DP为切线，
∴DE⊥DP，
∴AB∥DP；
（2）解：∵AC为直径，
∴∠ABC＝90°，
而∠DFB＝∠FDP＝90°，
∴四边形BPDF为矩形，
∴BF＝DP＝2，
∵AF＝BF＝2，
∴AB＝4，
在Rt△ABC中，AC＝＝5，
∴⊙O的半径为．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，点E从点B出发，沿边BC→CA以每秒2个单位长度的速度向终点A运动，连接DE，以AD，DE为邻边作▱ADEF．设点E的运动时间为t（秒），▱ADEF与△ABC重合部分面积为S．
（1）当点F在AC边上时，求t的值；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．
【分析】（1）通过相似即可解决问题；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及三角形的面积公式，分类讨论．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，
∴BD＝BA，
∵四边形ADEF是平行四边形，
所以AF∥DE，
∴△BDE∽△BAC，
∴，
∴BE＝＝4，
∴2t＝4，
∴t＝2．
（2）当0＜t≤2时，过点E作EH⊥AB于点H，
在△BEH中，BE＝2t，sinB＝，
∴EH＝BE＝，
S＝AD×EH＝5×＝6t，
当2＜t≤4时，
在Rt△CEG中，CE＝8.2t，tanB＝，
∴CG＝CE
S△CEG＝CE×CG＝＝，
S△BDE＝BD×EH＝＝3t，
∴S＝，
当4＜t≤7时，
AE＝14﹣2t，
在Rt△AEH中，sinA＝，
∴EH＝，S＝＝﹣4t+28，
综上所述：S＝，
25．（11分）如图，在△ABC中，AD为角平分线，点E在边AC上，∠ABE＝∠C，AD、BE交于F，FG∥AC交BC于G．
（1）求证：BD＝BF；
（2）在图中找到一条与CD相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；
（3）当AF＝AE，且cos∠AEF＝k时，求CD：FG的值．（用含有k的式子表示）．
【分析】（1）根据AD平分∠BAC，以及三角形外角的性质求出∠ABF＝∠C即可；
（2）过点F作FM∥BC交AC于点M，根据全等三角形的性质得到CG＝FM＝BD，根据平行四边形的判定和性质得到CG＝FM＝BD，进而得到BG＝CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，通过三角形相似的判定和性质得出CD：FG的值．
【解答】（1）证明：∵AD为角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠BFD为△BAF的外角，
∴∠BFD＝∠BAF+∠ABF，
∵∠BDF为△ADC的外角，
∴∠BDF＝∠DAC+∠C，
∵∠ABF＝∠C，
∴∠BFD＝∠BDF，
∴BD＝BF；
（2）BG＝CD，
证明：过点F作FM∥BC交AC于点M，
∴∠FMA＝∠C＝∠ABE，
在△BAF和△MAF中，
，
∴△BAF≌△MAF（AAS），
∴BF＝FM＝BD，
∵FG∥AC，FM∥BC，
∴四边形CGFM为平行四边形，
∴CG＝FM＝BD，
∴BD+DG＝GD+CG，
∴BG＝CD；
（3）过点A作AN⊥BD于N，
∵AF＝AE，
∴∠AFE＝∠AEF，
∵∠AFE＝∠BAD+∠ABE，∠AEF＝∠C+∠EBC，∠ABE＝∠C，
∴∠BAD＝∠EBC＝∠CAD，
∴∠ABD＝∠ABE+∠EBC＝∠DAC+∠C＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵∠AFE＝∠BFD＝∠BDF＝∠ABD，
∴cos∠AFE＝cos∠ABD，
∵AN⊥BD，
∴BN＝ND＝BD，
∴＝2cos∠AFE＝2k，
∵∠CBE＝∠CAD，∠C＝∠C，
∴△CBE～△CAD，
∴，
∴，
∵FG∥AC，
∴△BFG∽△BEC，
∴，
∵BG＝CD，
∴．
26．（12分）已知函数y＝x2﹣mx+m，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移1个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G．
（1）当m＝2时，
①直接写出图象G对应的函数表达式；
②点Q（k，3）在图象G上，求k的值；
（2）设图象G最低点的纵坐标为y0，若﹣2≤y0≤0，直接写出m的取值范围；
（3）若点M在函数y＝x2﹣mx+m的图象上，且横坐标为m﹣1，作点M关于直线x＝﹣1的对称点N，当点M不在直线x＝﹣1上时，以点M、N为顶点构造矩形MNPQ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围；
（4）矩形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，1）、B（﹣4，﹣4）、C（3，﹣4）、D（3，1），若图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）①由图象G的定义可求解；
②由图象G的定义判断点Q的位置，分k＞0或k＜0；
（2）设y1＝x2﹣mx+m﹣1（x≥0），y2＝x2﹣mx+m（x＜0），则，分两种情况讨论：当x＝＞0时，图象最低点的纵坐标，当x＝＜0，图象最低点的纵坐标+m＝﹣；
（3）由图象G的定义画出图象，抓住关键点进行分析讨论；
（4）抓住关键点：①当点B（﹣4，﹣4）落在y2上时，如图5，m＝﹣4，②当y轴左半边的图象顶点（落在BC上，如图6，，③当（0，m）落在AD上时，如图7，m＝1．
【解答】解：（1）①当m＝2时，则；
②∵点Q（k，3）在图象G上，
∴当k＜0时，k2﹣2k+2＝3，
解得k1＝1﹣，k2＝1+（舍去），
当k≥0时，k2﹣2k+1＝3，
解得k1＝1﹣（舍去），k2＝1+，
∴k的值为1﹣或1+；
（2）设y1＝x2﹣mx+m﹣1（x≥0），y2＝x2﹣mx+m（x＜0），
则，
∴当x＝＞0时，图象最低点的纵坐标，
解得，（舍去），
当x＝0时，函数G取得最小值时，y0＝m﹣1＝﹣2，
解得：m＝﹣1，
∵，
∴当x＝＜0，图象最低点的纵坐标+m＝﹣，
∵对于任意实数m，总有﹣＜成立，
∴图象最低点一定在y上，
∴综上所述，m的取值范围为﹣1≤m≤2+2；
（3）当x＝m﹣1时，y＝（m﹣1）2﹣m（m﹣1）+m＝1，
∴M（m﹣1，1），N（﹣m﹣1，1），Q（m﹣1，0），P（﹣m﹣1，0），
当m﹣1＝﹣1，即m＝0时，点M落在直线x＝﹣1上，不合题意，
①当m＞0时，当m﹣1＞0即m＞1时，如图1，2，
图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
②当m＜0时，如图3，4，
当点P（﹣m﹣1，0）落在（x≥0）上时，m1＝0（舍去），m2＝﹣2，
∴当﹣2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，
综上所述，当m＞1或﹣2≤m＜0时，图象G在矩形MNPQ内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小；
（4）当点B（﹣4，﹣4）落在y2上时，如图5，m＝﹣4，
∴当m＜﹣4时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当y轴左半边的图象顶点（落在BC上，如图6，，
解得：m＝2+2（舍去）或2﹣2，
当（0，m）落在AD上时，如图7，m＝1，
∴2﹣2＜m＜1时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
当（0，m﹣1）落在AD上时，如图8，m﹣1＝1，得m＝2，
当点C（3，﹣4）落在y1上时，m＝6，恰好为顶点，
∴当m≥2时，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点，
∴综上所述，图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，m的取值范围为m＜﹣4或2﹣2＜m＜1或m≥2．
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