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2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷
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这是一份2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
2．（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据统计，2021年春节假日期间，大连市共接待海内外游客603700万人次，按2019年可比口径恢复29.72%，实现旅游综合收入4.84亿．将数603700用科学记数法表示应为（ ）
A．0.6037×106 B．6.037×105 C．6.037×103 D．60.37×104
4．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
5．（5分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
6．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．x3•x5＝x8 B．（x2）3＝x6 C．x10÷x9＝x D．x4+x3＝x7
7．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
9．（3分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞2x+2的解集是 ．
12．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 ．
13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为 米．（结果精确到1米，参考数据：）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（4，﹣4），并且AO：BO＝1：2，点D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E．点P为线段AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．设AP＝x，BQ＝y，则y关于x的函数解析式为 ．（注意：不需要写自变量的取值范围）
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分、20题12分，共39分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
20．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生调查每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）这次调查的课外阅读总时间的中位数位于 等级；
（4）如果全校学生都参加调查，请你根据抽样调查的结果，估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有多少人？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．疫情防控期间，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元．求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
22．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
23．甲、乙两车从A地出发前往B地．两车离开A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 km，乙车的平均速度是 km/h；
（2）求图中a的值；
（3）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠C＝45°，CD＝3，BD＝6，点P从点C出发沿CB方向以每秒一个单位长度的速度运动，当点P到达点B时停止运动，PQ⊥BC交边CA或AB于点Q，以PQ为一边向左侧作矩形PQMN，其中QM＝2PQ，点P的运动时间为t，矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，回答下列问题：
（1）当点M落在边AB上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
25．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、AE交于点F，∠ADC＝∠BEC．
（1）写出与∠EBC相等的角： ；
（2）若AD＝BF，求的值；
（3）如图2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．
26．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．
（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为 ；
（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为 ；
（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．
①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；
②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．
2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】找出实数中最小的数即可．
【解答】解：在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是﹣2，
故选：A．
2．（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看有两层，底层的左边是一个正方形，上层是三个正方形．
故选：B．
3．（3分）据统计，2021年春节假日期间，大连市共接待海内外游客603700万人次，按2019年可比口径恢复29.72%，实现旅游综合收入4.84亿．将数603700用科学记数法表示应为（ ）
A．0.6037×106 B．6.037×105 C．6.037×103 D．60.37×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：603700＝6.037×105．
故选：B．
4．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【分析】先由平行线的性质得出∠ACB＝∠1＝70°，根据等角对等边即可得出∠BAC＝∠ACB＝70°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
5．（5分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故选：A．
6．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．x3•x5＝x8 B．（x2）3＝x6 C．x10÷x9＝x D．x4+x3＝x7
【分析】分别计算各选项，即可得出正确答案．
【解答】解：A．根据同底数幂的乘法，正确，不符合题意；
B．根据幂的乘方，正确，不符合题意；
C．根据同底数幂的除法，正确，不符合题意；
D．不是同类项，不能合并，错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用概率公式可求解．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是＝，
故选：A．
8．（3分）如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO，求出AO和BO，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
即AB＝BC＝DC＝AD＝5，
∴菱形ABCD的周长是AB+BC+DC+AD＝5+5+5+5＝20，
故选：B．
9．（3分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
【分析】由旋转的性质可求AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACC'＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝45°，
∴∠B'C'C＝135°，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞2x+2的解集是 x＞3 ．
【分析】依次移项、合并同类项即可．
【解答】解：移项，得：3x﹣2x＞2+1，
合并同类项，得：x＞3，
故答案为：x＞3．
12．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为甲．
13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为 （x+1）2＝x2+25 ．
【分析】根据勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，（x+1）2＝x2+25，
故答案为：（x+1）2＝x2+25．
14．（3分）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为 95 米．（结果精确到1米，参考数据：）
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝60米，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴CD＝20（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝45°，AD＝60米，
∴tan∠DAB＝＝1，
∴BD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝（60+20）≈95（米），
即这栋楼的高度BC是95米．
故答案为：95．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（4，﹣4），并且AO：BO＝1：2，点D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为 8 ．
【分析】根据C点坐标表示出BO、BC的长，再利用AO：BO＝1：2表示出D点的坐标即可求出k的值．
【解答】解：∵点C坐标为（4，﹣4），
∴BO＝BC＝4，
又∵AO：BO＝1：2，
∴AO＝2，
而四边形ABCD为矩形，
∴点D坐标为（4，2），
将D（4，2）代入函数y＝中得：
k＝4×2＝8，
故答案为：8．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E．点P为线段AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．设AP＝x，BQ＝y，则y关于x的函数解析式为 ．（注意：不需要写自变量的取值范围）
【分析】首先根据∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，证△EDB∽△ACB，求出ED＝，EB＝，再根据△ADP∽△EDQ，得＝，解得：EQ＝x，进而得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵点D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝5，
∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△EDB∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：ED＝，EB＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEQ+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DEQ，
又∵PD⊥QD，
∴∠PDQ＝90°，
∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，
∴∠EDQ＝∠ADP，
∴△ADP∽△EDQ
∴＝，
即 ＝＝，
解得：EQ＝x，
∴y＝BQ＝BE﹣EQ＝﹣x+．
故答案为：﹣x+．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分、20题12分，共39分）
17．计算：．
【分析】利用平方差公式，立方根和算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣2+（﹣3）+4
＝2．
18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
20．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生调查每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）这次调查的课外阅读总时间的中位数位于 C 等级；
（4）如果全校学生都参加调查，请你根据抽样调查的结果，估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B等级”的人数13人，占调查人数的26%，可求出调查人数；进而求出“C等级”人数补全条形统计图；
（2）求出“D等级”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）求出“C等级”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）13÷26%＝50（人），50﹣4﹣13﹣15＝18（人），
故答案为：40，补全条形统计图如下：
（2）360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）将这50人的读书时间从小到大排列处在中间位置的两个数都是C等级，因此中位数“C等级”，
故答案为：C；
（4）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
1500×＝540（人），
答：估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有540人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．疫情防控期间，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元．求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
【分析】设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要7元，一个毽子需要4元．
22．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得出结论即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，，
∴BC＝10，，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∵AC＝8，，
∴．，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
23．甲、乙两车从A地出发前往B地．两车离开A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 350 km，乙车的平均速度是 100 km/h；
（2）求图中a的值；
（3）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
【分析】（1）由函数图象的数据可得A、B两地之间的距离，由速度＝路程÷时间就可以求得乙的速度；
（2）由函数图象的数据求出两车相遇的时间就可以求出路程a的值；
（3）由追击问题的数量关系建立方程就可以求出两车相距20km时t的值，分四种情形讨论求解；
【解答】解：（1）由函数图象得：A、B两地之间的距离是350km，
乙车的平均速度为：350÷（4.5﹣1）＝100km/h；
故答案为：350，100；
（2）解：设甲的函数解析式为y＝k1x，
由题意得350＝5k1，
解得：k1＝70，
∴y＝70x，
设乙的函数解析式为y＝k2x+b
∴，
解得：，
∴y＝100x﹣100，
联立方程组，
解得，
∴a＝；
（3）由题意，①当乙还没出发时，70x＝20，解得：；
②当甲在乙前时：y甲﹣y乙＝20即70x﹣（100x﹣100）＝20，解得：；
③当乙未到在甲前时：y乙﹣y甲＝20，即（100x﹣100）﹣70x＝20，解得：x＝4，
④当乙到达后时：350﹣y甲＝20，解得：．
答：甲出发h，h，4h，h时两车相距20km．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠C＝45°，CD＝3，BD＝6，点P从点C出发沿CB方向以每秒一个单位长度的速度运动，当点P到达点B时停止运动，PQ⊥BC交边CA或AB于点Q，以PQ为一边向左侧作矩形PQMN，其中QM＝2PQ，点P的运动时间为t，矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，回答下列问题：
（1）当点M落在边AB上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）由MQ∥BC，推出＝，由此构建方程即可解决问题．
（2）分三种情形①如图2﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN．②如图2﹣2中，当＜t＜3时，重叠部分是五边形PQEFN．③如图2﹣3中，当3≤t＜9时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，CD＝3，
∴AD＝CD＝3，AC＝3，
∵MQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝．
（2）①如图2﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN，S＝2t2．
②如图2﹣2中，当＜t＜3时，重叠部分是五边形PQEFN，
S＝S矩形PQMN﹣S△EFM＝2t2﹣××（5t﹣9）＝﹣t2+t﹣．
③如图2﹣3中，当3≤t＜9时，重叠部分是△PQB，S＝×（9﹣t）×＝t2﹣t+．
综上所述，S＝．
25．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、AE交于点F，∠ADC＝∠BEC．
（1）写出与∠EBC相等的角： ∠DAC ；
（2）若AD＝BF，求的值；
（3）如图2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．
【分析】（1）通过三角形内角和为180°．等量代换即可得．
（2）过D点作DM∥BE交AC于M，证△BFD≌△ADM，可得BD＝AM，根据相似三角形的判定得△ADC∽△DMC，根据相似三角形的性质得出结果．
（3）DM∥BE，点D为BC中点，得EM＝MC，在直角三角形BEC中，由勾股定理可得结果．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠BEC．
∴∠EBC＝180°﹣∠C﹣∠BEC．
∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC，
即∠EBC＝∠DAC，
故答案为∠DAC；
（2）过D点作DM∥BE交AC于M，如图1，
∴∠BFD＝∠ADM，
在△ADM和△BFD中，
，
∴△BFD≌△ADM（ASA），
∴BD＝AM，
∵DM∥BE，
∴∠DMC＝∠BEC，
又∵∠ADC＝∠BEC，
∴∠DMC＝∠ADC，
又∵∠DCA＝∠MCD，
∴△ADC∽△DMC，
∴＝＝，即DC2＝CM•AC，
设BD＝CD＝a，CM＝b，
则a2＝b（b+a），a2﹣ab﹣b2＝0，解得a＝b，
∴＝，
∴；
（3）∵DM∥BE，点D为BC中点，
∴EM＝MC
∵∠BCA＝90°，
∴BE2＝BC2+CE2＝（2a）2+（2b）2，
由（2）知，
得，
∴
∵m＝2a．
26．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．
（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为 （2，﹣3） ；
（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为 （，0） ；
（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．
①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；
②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．
【分析】（1）设变换后的坐标为（x，y），根据定义可知（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，即可求出答案；
（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），则y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，根据定义即可得答案；
（3）①设C2上点的坐标为（x，y），可得C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），进而可得C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），C2：y2＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，顶点为（2t﹣2，1），根据题意可得A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），由S△ABC＝1，列方程求解即可；
②结合图象可得：当时，h＝＝2t2﹣14t+23，当时，h＝12﹣4t，当时，h＝t2﹣8t+16．
【解答】解：（1）设变换后的坐标为（x，y），
∵（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，
∴，
解得：，
∴变换后的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）；
（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），
∴y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，
∴，
∴，
解得：t＝，
∴T（，0）；
故答案为：（，0）；
（3）∵①设C2上点的坐标为（x，y），
∴C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），
将点（2t﹣x，﹣y）代入C1：y1＝x2﹣4x+3中，得：（2t﹣x）2﹣4（2t﹣x）+3＝﹣y，
∴y2＝﹣x2+（4t﹣4）x﹣4t2+8t﹣3＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，
∴C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），
C2的顶点为（2t﹣2，1），
令C1中x＝t﹣1，则yA＝（t﹣1）2﹣4（t﹣1）+3＝t2﹣6t+8，
令C2中x＝t，则yB＝＝﹣[t﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+4t﹣3，
令C2中x＝t+1，则yC＝＝﹣[t+1﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+6t﹣8，
∴A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），
如图1，过点B作BD⊥x轴，
∴D（t，0），
由上式知A与C对称，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝（xC﹣xA）|yB|＝|t2﹣4t+3|，
当S△ABC＝1，
解得，（大于2.5舍），t3＝2
∴，或t＝2，
②由t2﹣6t+8＝﹣t2+4t﹣3解得，（舍）
∴如图2，当时，
h＝（t﹣1﹣2）2﹣1﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝2t2﹣14t+23，
∴当时，
h＝[﹣（t﹣2t+2）2+1]﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝12﹣4t，
∴当时，函数F2上的点对应的值最大为1，
F2上当x＝t+2时对应的值最小为1﹣（t﹣4）2，
∴h＝1﹣1+（t﹣4）2＝t2﹣8t+16，
h＝．
2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
2．（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）据统计，2021年春节假日期间，大连市共接待海内外游客603700万人次，按2019年可比口径恢复29.72%，实现旅游综合收入4.84亿．将数603700用科学记数法表示应为（ ）
A．0.6037×106 B．6.037×105 C．6.037×103 D．60.37×104
4．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
5．（5分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
6．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．x3•x5＝x8 B．（x2）3＝x6 C．x10÷x9＝x D．x4+x3＝x7
7．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
9．（3分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞2x+2的解集是 ．
12．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 ．
13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为 ．
14．（3分）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为 米．（结果精确到1米，参考数据：）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（4，﹣4），并且AO：BO＝1：2，点D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为 ．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E．点P为线段AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．设AP＝x，BQ＝y，则y关于x的函数解析式为 ．（注意：不需要写自变量的取值范围）
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分、20题12分，共39分）
17．计算：．
18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
20．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生调查每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 °；
（3）这次调查的课外阅读总时间的中位数位于 等级；
（4）如果全校学生都参加调查，请你根据抽样调查的结果，估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有多少人？
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．疫情防控期间，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元．求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
22．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
23．甲、乙两车从A地出发前往B地．两车离开A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 km，乙车的平均速度是 km/h；
（2）求图中a的值；
（3）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠C＝45°，CD＝3，BD＝6，点P从点C出发沿CB方向以每秒一个单位长度的速度运动，当点P到达点B时停止运动，PQ⊥BC交边CA或AB于点Q，以PQ为一边向左侧作矩形PQMN，其中QM＝2PQ，点P的运动时间为t，矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，回答下列问题：
（1）当点M落在边AB上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
25．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、AE交于点F，∠ADC＝∠BEC．
（1）写出与∠EBC相等的角： ；
（2）若AD＝BF，求的值；
（3）如图2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．
26．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．
（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为 ；
（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为 ；
（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．
①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；
②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．
2021年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）
1．（3分）在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣1
【分析】找出实数中最小的数即可．
【解答】解：在实数﹣2，2，0，﹣1中，最小的数是﹣2，
故选：A．
2．（3分）如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看有两层，底层的左边是一个正方形，上层是三个正方形．
故选：B．
3．（3分）据统计，2021年春节假日期间，大连市共接待海内外游客603700万人次，按2019年可比口径恢复29.72%，实现旅游综合收入4.84亿．将数603700用科学记数法表示应为（ ）
A．0.6037×106 B．6.037×105 C．6.037×103 D．60.37×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：603700＝6.037×105．
故选：B．
4．（3分）如图，直线m∥n，点A在直线m上，点B、C在直线n上，AB＝CB，∠1＝70°，则∠BAC等于（ ）
A．40° B．55° C．70° D．110°
【分析】先由平行线的性质得出∠ACB＝∠1＝70°，根据等角对等边即可得出∠BAC＝∠ACB＝70°．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠ACB＝∠1＝70°，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝70°，
故选：C．
5．（5分）在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（ ）
A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解答】解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，
∴点A的坐标是：（4，1）．
故选：A．
6．（3分）下列运算错误的是（ ）
A．x3•x5＝x8 B．（x2）3＝x6 C．x10÷x9＝x D．x4+x3＝x7
【分析】分别计算各选项，即可得出正确答案．
【解答】解：A．根据同底数幂的乘法，正确，不符合题意；
B．根据幂的乘方，正确，不符合题意；
C．根据同底数幂的除法，正确，不符合题意；
D．不是同类项，不能合并，错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）一个不透明的袋子中装有9个小球，其中6个红球、3个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用概率公式可求解．
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球有9种等可能的结果，其中摸出的小球是红球有6种，
∴摸出的小球是红球的概率是＝，
故选：A．
8．（3分）如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）
A．5 B．20 C．24 D．32
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO，求出AO和BO，根据勾股定理求出AB即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝DC＝AD，AO＝CO，DO＝BO，
∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，BO＝3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，
即AB＝BC＝DC＝AD＝5，
∴菱形ABCD的周长是AB+BC+DC+AD＝5+5+5+5＝20，
故选：B．
9．（3分）小明准备画一个二次函数的图象，他首先列表（如下表），但在填写函数值时，不小心把其中一个蘸上了墨水（表中），那么这个被蘸上了墨水的函数值是（ ）
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
3
4
3
0
…
A．﹣1 B．3 C．4 D．0
【分析】由图表可知，x＝0和2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵x＝0、x＝2时的函数值都是3相等，
∴此函数图象的对称轴为直线x＝＝1．
∴这个被蘸上了墨水的函数值是0，
故选：D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，将Rt△ABC绕点A旋转，如果C的对应点C'恰好落在射线CD上，点B落在点B'处，则∠B'C'C的度数是（ ）
A．45° B．120° C．135° D．150°
【分析】由旋转的性质可求AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，由等腰三角形的性质可得∠AC'C＝∠ACC'＝45°，即可求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是△ABC的角平分线，
∴∠ACC'＝45°，
∵将Rt△ABC绕点A旋转，
∴AC＝AC'，∠ACB＝∠AC'B'＝90°，
∴∠AC'C＝∠ACC'＝45°，
∴∠B'C'C＝135°，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）不等式3x﹣1＞2x+2的解集是 x＞3 ．
【分析】依次移项、合并同类项即可．
【解答】解：移项，得：3x﹣2x＞2+1，
合并同类项，得：x＞3，
故答案为：x＞3．
12．（3分）某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙、丁4名同学3次数学成绩的平均分都是129分，方差分别是，，，，则这4名同学3次数学成绩最稳定的是 甲 ．
【分析】根据方差的意义求解可得．
【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝4.6，s丙2＝6.3，s丁2＝7.3，且平均数相等，
∴s甲2＜s乙2＜s丙2＜s丁2，
∴这4名同学3次数学成绩最稳定的是甲，
故答案为甲．
13．（3分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．设这个水池深x尺，则根据题意，可列方程为 （x+1）2＝x2+25 ．
【分析】根据勾股定理列出方程即可．
【解答】解：设水池里水的深度是x尺，
由题意得，（x+1）2＝x2+25，
故答案为：（x+1）2＝x2+25．
14．（3分）热气球的探测器显示，从热气球A处看大楼BC顶部C的仰角为30°，看大楼底部B的俯角为45°，热气球与该楼的水平距离AD为60米，则大楼BC的高度为 95 米．（结果精确到1米，参考数据：）
【分析】在直角三角形ADB中和直角三角形ACD中，根据锐角三角函数中的正切可以分别求得BD和CD的长，从而可以求得BC的长，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，AD＝60米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
∴在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝60米，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴CD＝20（米），
在Rt△ADB中，∠DAB＝45°，AD＝60米，
∴tan∠DAB＝＝1，
∴BD＝60（米），
∴BC＝BD+CD＝（60+20）≈95（米），
即这栋楼的高度BC是95米．
故答案为：95．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB在y轴上，点C坐标为（4，﹣4），并且AO：BO＝1：2，点D在函数（x＞0）的图象上，则k的值为 8 ．
【分析】根据C点坐标表示出BO、BC的长，再利用AO：BO＝1：2表示出D点的坐标即可求出k的值．
【解答】解：∵点C坐标为（4，﹣4），
∴BO＝BC＝4，
又∵AO：BO＝1：2，
∴AO＝2，
而四边形ABCD为矩形，
∴点D坐标为（4，2），
将D（4，2）代入函数y＝中得：
k＝4×2＝8，
故答案为：8．
16．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E．点P为线段AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD．设AP＝x，BQ＝y，则y关于x的函数解析式为 ．（注意：不需要写自变量的取值范围）
【分析】首先根据∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，证△EDB∽△ACB，求出ED＝，EB＝，再根据△ADP∽△EDQ，得＝，解得：EQ＝x，进而得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵点D为斜边AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝5，
∵∠EDB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△EDB∽△ACB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得：ED＝，EB＝，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
∴∠DEQ+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DEQ，
又∵PD⊥QD，
∴∠PDQ＝90°，
∴∠EDQ+∠PDE＝∠ADP+∠PDE＝90°，
∴∠EDQ＝∠ADP，
∴△ADP∽△EDQ
∴＝，
即 ＝＝，
解得：EQ＝x，
∴y＝BQ＝BE﹣EQ＝﹣x+．
故答案为：﹣x+．
三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分、20题12分，共39分）
17．计算：．
【分析】利用平方差公式，立方根和算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣2+（﹣3）+4
＝2．
18．先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝[﹣]÷
＝•
＝，
当x＝时，
原式＝＝．
19．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，AF与DE交于点G，求证：GE＝GF．
【分析】求出BF＝CE，根据SAS推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF＝∠GFE，
∴EG＝FG．
20．为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，学校从全校1500名学生中随机抽取部分学生调查每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为x小时，将它分为4个等级：A（0≤x＜2），B（2≤x＜4），C（4≤x＜6），D（x≥6），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了 50 名学生；并补全条形统计图．
（2）在扇形统计图中，等级D所对应的扇形的圆心角为 108 °；
（3）这次调查的课外阅读总时间的中位数位于 C 等级；
（4）如果全校学生都参加调查，请你根据抽样调查的结果，估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得，“B等级”的人数13人，占调查人数的26%，可求出调查人数；进而求出“C等级”人数补全条形统计图；
（2）求出“D等级”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数；
（3）根据中位数的意义进行判断即可；
（4）求出“C等级”所占的百分比即可．
【解答】解：（1）13÷26%＝50（人），50﹣4﹣13﹣15＝18（人），
故答案为：40，补全条形统计图如下：
（2）360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）将这50人的读书时间从小到大排列处在中间位置的两个数都是C等级，因此中位数“C等级”，
故答案为：C；
（4）C等级人数为50﹣（4+13+15）＝18（名），
1500×＝540（人），
答：估计全校学生每周课外阅读的总时间是C等级的有540人．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．疫情防控期间，某学校为了增强学生体质，鼓励学生在不聚集的情况下加强体育锻炼，决定让各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元．求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元．
【分析】设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，根据“购买2根跳绳和5个毽子共需34元；购买4根跳绳和3个毽子共需40元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设购买一根跳绳需要x元，一个毽子需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一根跳绳需要7元，一个毽子需要4元．
22．如图，以AB为直径作⊙O，过点A作⊙O的切线AC，连接BC，交⊙O于点D，点E是BC边的中点，连接AE．
（1）求证：∠AEB＝2∠C；
（2）若AC＝8，，求DE的长．
【分析】（1）根据切线的性质得出∠BAC＝90°，由直角三角形的性质得出结论即可；
（2）连接AD，根据三角函数解答即可．
【解答】（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°．
∵点E是BC边的中点，
∴AE＝EC．
∴∠C＝∠EAC，
∵∠AEB＝∠C+∠EAC，
∴∠AEB＝2∠C．
（2）解：在Rt△ABC中，AC＝8，，
∴BC＝10，，
连接AD．
∵AB为直径作⊙O，
∴∠ADB＝90°．
∴∠B+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，
∴∠B＝∠DAC，
∵AC＝8，，
∴．，
∵点E是BC边的中点，
∴BE＝5．
∴．
23．甲、乙两车从A地出发前往B地．两车离开A地的距离y（km）与时间x（h）的关系如图所示．
（1）A、B两地之间的距离为 350 km，乙车的平均速度是 100 km/h；
（2）求图中a的值；
（3）求甲车出发多长时间，两车相距20km．
【分析】（1）由函数图象的数据可得A、B两地之间的距离，由速度＝路程÷时间就可以求得乙的速度；
（2）由函数图象的数据求出两车相遇的时间就可以求出路程a的值；
（3）由追击问题的数量关系建立方程就可以求出两车相距20km时t的值，分四种情形讨论求解；
【解答】解：（1）由函数图象得：A、B两地之间的距离是350km，
乙车的平均速度为：350÷（4.5﹣1）＝100km/h；
故答案为：350，100；
（2）解：设甲的函数解析式为y＝k1x，
由题意得350＝5k1，
解得：k1＝70，
∴y＝70x，
设乙的函数解析式为y＝k2x+b
∴，
解得：，
∴y＝100x﹣100，
联立方程组，
解得，
∴a＝；
（3）由题意，①当乙还没出发时，70x＝20，解得：；
②当甲在乙前时：y甲﹣y乙＝20即70x﹣（100x﹣100）＝20，解得：；
③当乙未到在甲前时：y乙﹣y甲＝20，即（100x﹣100）﹣70x＝20，解得：x＝4，
④当乙到达后时：350﹣y甲＝20，解得：．
答：甲出发h，h，4h，h时两车相距20km．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，∠C＝45°，CD＝3，BD＝6，点P从点C出发沿CB方向以每秒一个单位长度的速度运动，当点P到达点B时停止运动，PQ⊥BC交边CA或AB于点Q，以PQ为一边向左侧作矩形PQMN，其中QM＝2PQ，点P的运动时间为t，矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，回答下列问题：
（1）当点M落在边AB上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围．
【分析】（1）由MQ∥BC，推出＝，由此构建方程即可解决问题．
（2）分三种情形①如图2﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN．②如图2﹣2中，当＜t＜3时，重叠部分是五边形PQEFN．③如图2﹣3中，当3≤t＜9时，重叠部分是△PQB，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，CD＝3，
∴AD＝CD＝3，AC＝3，
∵MQ∥BC，
∴＝，
∴＝，
解得t＝．
（2）①如图2﹣1中，当0＜t≤时，重叠部分是矩形PQMN，S＝2t2．
②如图2﹣2中，当＜t＜3时，重叠部分是五边形PQEFN，
S＝S矩形PQMN﹣S△EFM＝2t2﹣××（5t﹣9）＝﹣t2+t﹣．
③如图2﹣3中，当3≤t＜9时，重叠部分是△PQB，S＝×（9﹣t）×＝t2﹣t+．
综上所述，S＝．
25．如图1，在△ABC中，点D为BC中点，点E在AC上，AD、AE交于点F，∠ADC＝∠BEC．
（1）写出与∠EBC相等的角： ∠DAC ；
（2）若AD＝BF，求的值；
（3）如图2，若AD＝BF，∠BCA＝90°，BC＝m，求BE2（用含m的式子表示）．
【分析】（1）通过三角形内角和为180°．等量代换即可得．
（2）过D点作DM∥BE交AC于M，证△BFD≌△ADM，可得BD＝AM，根据相似三角形的判定得△ADC∽△DMC，根据相似三角形的性质得出结果．
（3）DM∥BE，点D为BC中点，得EM＝MC，在直角三角形BEC中，由勾股定理可得结果．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠BEC．
∴∠EBC＝180°﹣∠C﹣∠BEC．
∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC，
即∠EBC＝∠DAC，
故答案为∠DAC；
（2）过D点作DM∥BE交AC于M，如图1，
∴∠BFD＝∠ADM，
在△ADM和△BFD中，
，
∴△BFD≌△ADM（ASA），
∴BD＝AM，
∵DM∥BE，
∴∠DMC＝∠BEC，
又∵∠ADC＝∠BEC，
∴∠DMC＝∠ADC，
又∵∠DCA＝∠MCD，
∴△ADC∽△DMC，
∴＝＝，即DC2＝CM•AC，
设BD＝CD＝a，CM＝b，
则a2＝b（b+a），a2﹣ab﹣b2＝0，解得a＝b，
∴＝，
∴；
（3）∵DM∥BE，点D为BC中点，
∴EM＝MC
∵∠BCA＝90°，
∴BE2＝BC2+CE2＝（2a）2+（2b）2，
由（2）知，
得，
∴
∵m＝2a．
26．定义：点T（t，0）是x轴上一点（t＞0），函数C1的图象与函数C2的图象关于点T（t，0）中心对称，将这一变换称为“T变换”．将函数C1的图象在直线x＝t的左侧部分与函数C2的图象在直线x＝t上及右侧部分组成的新图象记为F，F对应的函数为．
（1）若t＝2，函数C1图象上的点（2，3）经过T变换后的坐标为 （2，﹣3） ；
（2）若函数C1为直线y＝3x+6，C2为直线y＝3x﹣9，则点T的坐标为 （，0） ；
（3）已知C1：y＝x2﹣4x+3，且．
①若图象F上的三个点A（t﹣1，yA），B（t，yB），C（t+1，yC），且△ABC的面积为1，求t的值；
②当t﹣1≤x≤t+2时，图象F上的点的纵坐标的最大值与最小值之差为h，求h关于t的函数关系式．
【分析】（1）设变换后的坐标为（x，y），根据定义可知（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，即可求出答案；
（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），则y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，根据定义即可得答案；
（3）①设C2上点的坐标为（x，y），可得C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），进而可得C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），C2：y2＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，顶点为（2t﹣2，1），根据题意可得A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），由S△ABC＝1，列方程求解即可；
②结合图象可得：当时，h＝＝2t2﹣14t+23，当时，h＝12﹣4t，当时，h＝t2﹣8t+16．
【解答】解：（1）设变换后的坐标为（x，y），
∵（x，y）与（2，3）关于（2，0）对称，
∴，
解得：，
∴变换后的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）；
（2）设C1上点为（x1，y1），C2上点为（x2，y2），
∴y1＝3x1+6，y2＝3x2﹣9，
∴，
∴，
解得：t＝，
∴T（，0）；
故答案为：（，0）；
（3）∵①设C2上点的坐标为（x，y），
∴C1上点的坐标为（2t﹣x，﹣y），
将点（2t﹣x，﹣y）代入C1：y1＝x2﹣4x+3中，得：（2t﹣x）2﹣4（2t﹣x）+3＝﹣y，
∴y2＝﹣x2+（4t﹣4）x﹣4t2+8t﹣3＝﹣[x﹣（2t﹣2）]2+1，
∴C1：y1＝（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），T（t，0），
C2的顶点为（2t﹣2，1），
令C1中x＝t﹣1，则yA＝（t﹣1）2﹣4（t﹣1）+3＝t2﹣6t+8，
令C2中x＝t，则yB＝＝﹣[t﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+4t﹣3，
令C2中x＝t+1，则yC＝＝﹣[t+1﹣（2t﹣2）]2+1＝﹣t2+6t﹣8，
∴A（t﹣1，t2﹣6t+8），B（t，﹣t2+4t﹣3），C（t+1，﹣t2+6t﹣8），
如图1，过点B作BD⊥x轴，
∴D（t，0），
由上式知A与C对称，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝（xC﹣xA）|yB|＝|t2﹣4t+3|，
当S△ABC＝1，
解得，（大于2.5舍），t3＝2
∴，或t＝2，
②由t2﹣6t+8＝﹣t2+4t﹣3解得，（舍）
∴如图2，当时，
h＝（t﹣1﹣2）2﹣1﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝2t2﹣14t+23，
∴当时，
h＝[﹣（t﹣2t+2）2+1]﹣[﹣（t+2﹣2t+2）2+1]＝12﹣4t，
∴当时，函数F2上的点对应的值最大为1，
F2上当x＝t+2时对应的值最小为1﹣（t﹣4）2，
∴h＝1﹣1+（t﹣4）2＝t2﹣8t+16，
h＝．
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