2021年辽宁省鞍山市千山区中考数学一模试题（word版 含答案）

这是一份2021年辽宁省鞍山市千山区中考数学一模试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年辽宁省鞍山市千山区中考数学一模试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列四个实数中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全一致的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．三视图
3．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（　　）

A．25° B．30° C．50° D．55°
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．“天文单位”是天文学中测量距离的基本单位，1天文单位约等于149600000千米，149600000这个数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上一点，从点发绕侧面一周，再回到点A的最短的路线长是（ ）

A．6 B． C．3 D．3
7．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点.若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，在矩形中，，，平分，与对角线相交于点，是线段的中点，则下列结论中：①；②；③；④，正确的有（ ）个


A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
9．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是__________边形．
10．分解因式：__________．
11．使式子有意义，则x的取值范围是：__________________________．
12．若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7，则b的值为_____．
13．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为__．

14．若一次函数的图象经过点，则_________．
15．如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝_____．

16．如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝在x轴上相交于点P（﹣1，0）．直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，一照此规律运动，动点依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…则当动点C到达B6处时，点B6的坐标为_____．


三、解答题
17．先化简，再求值：，其中
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF，连接CE、CF．求证：CE＝CF．

19．某校为了解学生课外阅读时间情况，随机抽取了名学生，根据平均每天课外阅读时间的长短，将他们分为四个组别，并绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．
频数分布表
组别
时间/（小时）
频数/人数
A

2n
B

20
C


D

5

请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）求与的值，并补全扇形统计图；
（2）直接写出所抽取的名学生平均每天课外阅读时间的中位数落在的组别；
（3）该校现有1500名学生，请你估计该校有多少名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
20．2020春开学为防控冠状病毒，学生进校园必须戴口罩，测体温，江阴初级中学开通了三条人工测体温的通道，每周一分别由王老师、张老师、李老师三位老师给进校园的学生测体温(每个通道一位老师)，周一有小卫和小孙两学生进校园，在3个人工测体温通道中，可随机选择其中的一个通过．
(1) 求小孙进校园时，由王老师测体温的概率；
(2)求两学生进校园时，都是王老师测体温的概率．
21．如图①，图②分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点、在线段上，点在上，支杆，，，．
请根据以上信息，解决下列问题；
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留到）．
参考数据：，，．

22．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（4，n）．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值．


24． 某网店销售一种产品．这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/件市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示：
（1）当12≤x≤18时，求y与x之间的函数关系式；
（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式并求出每件销售价为多少元时．每天的销售利润最大？最大利润是多少？

25．在四边形 ABCD 中，BD 平分∠ABC．
（1）如图 1，若∠BAD=∠BDC，求证：BD2=AB•BC；
（2）如图 2，∠A>90°，∠BAD+∠BDC=180°，
①若∠ABC=90°，AB=，BC=8，求BD的长；
②若 BC=3CD=3a，BD=9， 则 AB 的长为 ． (用含 a 的代数式表示)．

26．抛物线交轴于，两点（在的左边），交轴于，直线经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，为直线上方的抛物线上一点轴交于点，过点作于点．设，求的最大值及此时点坐标；
（3）如图，点在轴负半轴上，点绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物线上点处，且，求点坐标．



参考答案
1．B
【分析】
由于正数大于负数，再利用两个负数比较大小，绝对值大的反而小，可求出最小值．
【详解】
由于正数大于负数，可以排除C，D，再因为 ，再根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查实数大小的比较，掌握两个负数大小的比较方法是解题的关键．
2．C
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行判断即可．
【详解】
解：从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，2，1，乙从左往右2列小正方形的个数为：2，1，1，不符合题意；
从左面可看到甲从左往右2列小正方形的个数为：1，2，1，乙从左往右2列小正方形的个数为：1，2，1，符合题意；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：2，1，2，乙从左往右2列小正方形的个数为：2，2，1，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义，分别找到两个几何体的三视图进行比较是关键．
3．C
【详解】
试题解析：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
4．A
【分析】
利用二次根式的运算法则对A、C进行判断；根据二次根式的性质对B、D进行判断．
【详解】
A、，该选项正确；
B、，该选项错误；
C、，该选项错误；
D、，该选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．灵活运用二次根式的性质是解题的关键．
5．D
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】
解：149 600 000这个数用科学记数法表示为1.496×108．
故选：D．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6．C
【详解】
分析：圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．
解：
：
∵如图扇形的弧长是2π，根据弧长公式得到2π=，
∴n=120°即扇形的圆心角是120°，
∴弧所对的弦长AA′=2×3sin60°=，
故应选C．
点评：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
7．C
【分析】
先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°，再根据平行线的性质可知∠2=∠AED=70°．
【详解】
设直线与的交点为．
∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴.
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．
8．C
【分析】
过点E作，证明，可得到①，根据平行证出，根据比例可得到②，根据勾股定理求出EC，再由正弦的意义可得出④，根据已知线段的长度，可求出△NOF与△NBE的相似比是，分别计算△NOF和△OFC的面积相加即可；
【详解】
如图，过点E作，


∵CE是的角平分线，，，
∴BE=EG，
∴GC=BC=4，
又∵，，
∴AC=5，
∴AG=1，
在Rt△AGE中，
，
得，，
∵O、F分别是AC、EC的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，故④错误；
∵，
∴，
∴，
∴△NOF与△NBE的相似比是，
，
∵
∴，
同理可得：，
∴，故③正确；
故答案选：C．
【点睛】
本题考查矩形性质的同时，结合考查了角的正弦，相似三角形、中位线定理和勾股定理的知识点，熟练掌握每一个知识点应用非常重要．
9．八
【分析】
设这个多边形的边数为n，根据内角和公式和外角和公式，列出等式求解即可．
【详解】
解：设多边形为n边形，
依题意得：（n-2）×180°=3×360°，
解之得：n=8，
答：多边形为八边形.
故答案为：八．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和，是基础知识要熟练掌握．
10．
【分析】
原式提取公因式b，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】
解：
=
=．
故答案为：．
【点睛】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11．x≥且x≠1
【详解】
试题解析：式子有意义，
则：
解得：且
故答案为且
点睛：二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零.
分式有意义的条件：分母不为零.
12．﹣3
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系可得： 再代入解方程即可得到答案．
【详解】
解：由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7，
∴b＝﹣3，
故答案是：﹣3．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握利用根与系数的关系列方程是解题的关键．
13．2．
【分析】
依据三角形中位线定理，即可得到MN=2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE（AAS），即可得到CD=MN=2．
【详解】
∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
∴MNBC＝2，MN∥BC，
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查了三角形中位线定理以及全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
14．8
【分析】
将点代入一次函数的解析式中即可求出m的值．
【详解】
解：由题意知，将点代入一次函数的解析式中，
即：，
解得：．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可．
15．2
【分析】
作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答即可．
【详解】
作EH⊥OA于H．
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，∴EH=EC=1，∠AOB=30°．
∵EF∥OB，∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，∴OF=EF=2．
故答案为2．

【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的性质、平行线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．（63，32）
【分析】
先根据直线l1求出A点坐标，由于动点C先沿平行于x轴的方向运动，则 点的纵坐标为1，设B1，代入直线l2， 即可求出 点的坐标为 ；由于动点C改为垂直于x轴的方向运动则 点的橫坐标为 1, 设 ，代入直线l1，即可求出 点的坐标为，以此类推即可找出规律求出答案．
【详解】
直线l1为
当 时,
A点坐标为 , 则 点的纵坐标为 1 , 设B1
, 解得
点的坐标为 ; 则 点的橫坐标为 1, 设

点的坐标为 , 则 点的纵坐标为 2, 设
, 解得
点的坐标为 , 即
同理，可得B ， 即
的坐标为
点 的坐标为 , 即 32)
故答案为 (63, 32)．
【点睛】
本题是一次函数动点题，理解清楚题目意思，先根据题意列出前几条，再观察规律是解题关键．
17．，
【分析】
先根据分式的各个运算法则化简，然后根据立方根的定义和45°的正切值求出x，最后代入求值即可．
【详解】
解：原式


将代入，得
原式
【点睛】
此题考查的是分式的化简求值题、求立方根和特殊角的锐角三角函数值，掌握分式的各个运算法则、立方根的定义和45°的正切值是解决此题的关键．
18．见解析
【分析】
根据等腰三角形三线合一和角的加减法即可得出∠BAD＝∠CAF＝∠CAE，再根据旋转边相等和公共边即可证出来．
【详解】
证明：
∵AB＝AC，∠BAC＝α，AD是BC边上的中线
∴∠BAD＝∠CAD＝α
∵将线段AE绕着点A逆时针旋转α度得到线段AF
∴AE＝AF，∠EAF＝∠BAC＝α
∴∠BAD＝∠CAF＝∠CAE
在△ACE和△ACF中

∴△ACE≌△ACF（SAS）
∴CE＝CF
【点睛】
本题考察了等腰三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，求出角相等是解题关键．
19．（1）50；5；图见解析 （2）B （3）600名
【分析】
（1）根据D组的人数和所占的百分比即可求得m，然后根据四组的人数和等于m即可求得n；
（2）直接根据中位数的概念即可确定；
（3）先求得时间不少于1小时的学生所占的百分比，再乘以1500即可得到结果．
【详解】
解：（1）
，解得，
A：；C：

（2）∵总共抽取了50名学生
∴中位数是第25和26名学生阅读时间的平均数
∴根据频数分布表可以得出：中位数落在B组．
（3）（名）
答：估计该校有600名学生平均每天课外阅读时间不少于1小时．
【点睛】
统计图的应用是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握．
20．(1) ；(2)
【分析】
（1）根据概率公式计算即可；
（2）先画出树状图求出所有等情況数，再找出符合条件的情況数，最后用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）由于共有三个老师测体温，则小孙由王老师测体温的概率是：；
故答案为；
（2）设王老师、张老师、李老师分别用A、B，C表示，画树状图如下：

可发现共有9种情况数，其中都是王老师测体温的只有1种情况，则都是王老师测体温的概率是．
故答案为．
【点睛】
本题考查了用树状图法求概率，在画树状图时，做到不重不漏是解答本题的关键．
21．（1）；（2）拉杆端点到水平滑杆的距离为
【分析】
（1）过F作FH⊥DE于H，先利用，计算FH、DH的长度，再解直角三角形即可得到结论；
（2）过A作AG⊥ED交ED的延长线于G，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：（1）过作于．
∴．
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；

（2）如上图，过作交的延长线于，
∵，
∴，


答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键是用数学知识解决实际问题．
22．（1）；；（2）存在，点坐标为、．
【分析】
（1）将点A的坐标代入可得反比例函数的表达式，将点B的坐标代入上式并解得，故点B（4，），然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）分∠APC为直角、∠PAC为直角两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）将代入，得，
反比例函数的解析式为；
将代入，得，
，
将和分别代入得，
解得，
一次函数的解析式为：；
（2）存在．
过点作轴于，交轴于，如图，
，
点的坐标为，
的坐标为；
，
，而，
，
，
，
令，解得：，
∴OC=2，
∴，
，
，
的坐标为，
满足条件的点坐标为或．

【点睛】
本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
23．（1）证明见解析；（2）8.
【分析】
（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是 O的切线；
（2）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8．
【详解】
(1)证明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°，OC⊥CP.
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线．
(2)连接MA，MB，


∵点M是的中点，
∴ =
∴∠ACM=∠BCM
∵∠ACM=∠ABM，
∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMN=∠BMC，
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MN⋅MC
又∵AB是O的直径， =，
∴∠AMB=90°，AM=BM
∵AB=4，
∴BM=
∴MN⋅MC=BM2=8
24．（1）y＝﹣x+42（12≤x≤18）；（2）w＝，当x＝18元时．销售利润最大，最大利润是192元
【分析】
（1）依据题意，根据图象利用待定系数法，即可求得销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式：
（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
【详解】
解：（1）依题意，设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b
将点（12，30）（18，24）代入得
，解得
∴当12≤x≤18时， y与x之间的函数关系式：y＝﹣x+42（12≤x≤18）
（2）依题意，得w＝y•（x﹣10）
则有w＝
当10≤x＜12时，最大利润为w＝60元
当12≤x≤18时， w＝﹣x2+52x﹣420＝﹣（x﹣26）2+256
∵a＝﹣1＜0
∴抛物线开口向下，故当12≤x≤18时，w随x的增大而增大
∴当x＝18时，有最大值得w＝192元
故当x＝18元时．销售利润最大，最大利润是192元，此时销售的件数为24件．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
25．（1）详见解析；（2）①；②
【分析】
（1）先利用角平分线得出，进而得出，即可得出结论；
（2）①先做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，先证明，之后再证明来求到DM，最后连接CM构造等腰直角三角形求出BO和OD，即可得出结论；②同（2）的方法做辅助线，延长BA到点M，使BM=BC，再利用和即可得出结论．
【详解】
解：（1）是∠ABC的平分线，
，
，
，
，
；
（2）①如图，延长BA到点M，使BM=BC，

是∠ABC的平分线，
,
，
(SAS)，
则,BM=BC=8，DM=DC，

,
，
,
即,
解得：DM=DC=，
连接MC与BD交于点O，
∵∠MBC=90°，BC=BM=8，
∴为等腰直角三角形，
∵BO平分∠MBC，
∴BD⊥MC，BO=CO=MO=，
在直角中，
,
；
故答案为：；
②如图，延长BA到点M，使BM=BC，
连接DM，

∵BC=3CD=3a，
，
同（2）①可证，，
，
,
即，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了角平分线的定义和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
26．（1）（2）最大值是，此时（3）
【分析】
（1）由直线经过，两点，先求出点，的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）根据表达式，设出点的坐标和点的坐标，用含的代数式分别表达出线段、，转化成关于t的二次函数，再求出的最大值及点坐标；
（3）根据条件，且，利用三角形的全等去确定满足条件的、点，再根据函数解析式求出坐标即可．
【详解】
解：（1）直线经过，两点，当时，；当，；
，，
点，在抛物线上，
，
，
；
（2）如图，连接，延长交轴于，
轴，
轴，

　　图
设，，
，
，
且，，，
，
，
，
，
，
当时，有最大值是，此时；
（3）如图，过作，交于点，过点作，交的延长线于点，

　　　　　　　　图
则，
，
由旋转得：，
，
，
，
，
，
，
平分
设直线交轴于点，
，
，
，
的解析式为：，
，
解得：，，
，
设，
，
由勾股定理得，，
解得，
．
【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．