2021年吉林省长春市九台区中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年吉林省长春市九台区中考一模数学试题（word版 含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（ ）
A．aB．bC．cD．d
2．图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．不等式组的解集为（ ）
A．B．C．D．
4．在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们要测量某公园人工湖亭子A与它正东方向的亭子B之间的距离．现测得亭子A位于点P北偏西30°方向，亭子B位于点P北偏东α方向，测得点P与亭子A之间的距离为200米．则亭子A与亭子B之间的距离为（ ）
A．100+100•sinα米B．100+100•tanα米
C．100+米D．100+米
5．如图，A、B、C、D是⊙O上的四点，BD为⊙O的直径，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADB的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
6．如图，在中，．用直尺和圆规在边上确定一点，使点到点、点的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，线段AC的端点A在y轴正半轴上，AC∥x轴，点C在第一象限，函数y＝（x＞0）的图象交边AC于点B．D为x轴上一点，连结CD、BD．若BC＝2AB，则△BCD的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．0.5
二、填空题
8．长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为（ ）A．21.5×105 B．2.15×105 C．2.15×106 D．0.215×107
9．某种商品n千克的售价是m元，则这种商品8千克的售价是_____元．
10．分解因式：＝____________．
11．一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为__．
12．正六边形的每一个外角是___________度
13．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于_____．（结果保留根号及π）．
14．如图，直线与二次函数的图象交于点B、点C，二次函数图象的顶点为A，当是等腰直角三角形时，则______．
三、解答题
15．先化简，再求值：，其中．
16．在一次购物中，小明和小亮都想从微信、支付宝、银行卡三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
17．如图，在的正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图．
（1）在图1中画一个面积为6的三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中画一个面积为6的三角形，使它的三边长都是无理数；
（3）在图3中画一个面积为6的中心对称图形，但不是轴对称图形．
18．星期天，小明整理书架，书架上原有150本书，均匀摆放在每一层，他又搬来了30本书，合理安排空间后，每层摆放的书比原来增加了50%，这样摆完后还腾出了一层的空间，问书架原来每层摆多少本书？
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，对角线AC、BD交于点O，BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若DC＝2，AC＝4，求OE的长．
20．4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读的情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
收集数据 从学校随机抽取20名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min):
30 60 81 50 40 110 130 146 90 100
60 81 120 140 70 81 10 20 100 81
整理数据 按如下分段整理样本数据并补全表格：
分析数据 补全下列表格中的统计量：
得出结论
(1)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级为 ；
(2)如果该校现有学生400人，估计等级为“”的学生有多少名？
(3)假设平均阅读一本课外书的时间为160分钟，请你选择一种统计量估计该校学生每人一年 (按52周计算)平均阅读多少本课外书？
21．有一科技小组进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A、B、C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A、B两点同时同向出发，历时7min同时到达C点，甲机器人前3分钟以am/min的速度行走，乙机器人始终以60m/min的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（m）与他们的行走时间x（min）之间的函数图象，请结合图象，回答下列问题：
（1）A、B两点之间的距离是 m，A、C两点之间的距离是 m，a＝ m/min．
（2）求线段EF所在直线的函数表达式．
（3）设线段FG∥x轴，直接写出两机器人出发多长时间相距28m．
22．（教材呈现）下面是华师版八年级下册教材第89页的部分内容．
如图，G，H是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，且AG=CH，E，F分别是边AB和CD的中点
求证：四边形EHFG是平行四边形
证明：连接EF交AC于点O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD
又∵E，F分别是AB，CD的中点
∴AE=CF
又∵AB∥CD
∴∠EAO=∠FCO
又∵∠AOE=∠COF
∴△AOE≌△COF
请补全上述问题的证明过程．
（探究）如图①，在△ABC中，E，O分别是边AB、AC的中点，D、F分别是线段AO、CO的中点，连结DE、EF，将△DEF绕点O旋转180°得到△DGF，若四边形DEFG的面积为8，则△ABC的面积为 ．
（拓展）如图②，GH是正方形ABCD对角线AC上的两点，且AG＝CH，GH＝AB，E、F分别是AB和CD的中点．若正方形ABCD的面积为16，则四边形EHFG的面积为 ．
23．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，连结BD．点P从点A出发，沿折线AB－BD－DC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P不与矩形ABCD的顶点重合时，以AP为对角线作正方形AEPF（点F在直线AP的右侧）．设正方形AEPF的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）．
（1）当点P在线段BD上时，用含t的代数式表示PB的长，并写出t的取值范围；
（2）当AP⊥BD时，求t的值；
（3）求S与t之间的函数关系式．
（4）当直线BF将正方形AEPF分成的两部分图形面积相等时，直接写出t的值．
24．函数y＝（m为常数）
（1）若点（﹣2，3）在函数y上，求m的值．
（2）当点（m，﹣1）在函数y上时，求m的值．
（3）若m＝1，当﹣1≤x≤2时，求函数值y的取值范围．
（4）已知正方形ABCD的中心点为原点O，点A的坐标为（1，1），当函数y与正方形ABCD有3个交点时，直接写出实数m的取值范围．
课外阅读时间(min)
等级
D
C
B
A
人数
3
8
平均数
中位数
众数
80
参考答案
1．A
【分析】
先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最大的即可．
【详解】
解：由数轴可得：|a|＞3，|b|＝1，|c|＝0，1＜|d|＜2，
故这四个数中，绝对值最大的是：a．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了数轴和绝对值的知识，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解答本题的关键．
2．C
【分析】
从上面看几何体，得到俯视图即可．
【详解】
解：如图中的几何体是由一个正方体切去一个小正方体后形成的，它的俯视图是
．
故选：C．
【点睛】
此题考查了简单几何体的三视图，俯视图是从上面看得到的视图．
3．C
【分析】
分别求出两不等式的解集，进而得出它们的公共解集．
【详解】
解：
解①得，
解②得，
所以不等式组的解集为：．
故选：．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解集，规范解不等式，并准确确定解集是解题的关键．
4．B
【分析】
直接利用直角三角形的性质结合锐角三角函数关系得出PC，BC的长，进而得出答案．
【详解】
解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意可得：∠APC＝30°，PA＝200m，∠CPB＝α，
则AC＝AP＝100m，PC＝PA×cs30°＝100米，
故tanα＝＝，
则BC＝100•tanα米，
故AB＝AC+BC＝（100+100•tanα）米．
故选：B．
【点睛】
本题考查锐角三角函数的实际应用，明确各锐角三角函数的定义是关键．
5．A
【详解】
解：∵四边形ABCO是平行四边形，且OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD是⊙O的直径，
∴点B、D、O在同一直线上，
∴∠ADB=∠AOB=30°
故选A．
6．C
【分析】
点P到点A、点B的距离相等知点P在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点P到点A、点B的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
7．B
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义得到S△OBA＝|k|＝1，根据三角形面积公式得到S△OBC＝2S△OBA＝2，从而得到S△BCD的值．
【详解】
解：连接OB、OC，如图，
∵AC∥x轴，
∴S△OBA＝|k|＝1，
∵BC＝2AB，
∴S△OBC＝2S△OBA＝2，
∵OD∥BC，
∴S△BCD＝S△OBC＝2．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了反比例函数的性质．
8．C
【分析】
科学计数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一．根据表达方式即可得出答案．
【详解】
，故选C．
【点睛】
本题主要考查的是利用科学计数法表示较大的数，属于基础题型．明确科学计数法的方法是解决这个问题的关键．
9．
【详解】
【分析】先求出1千克商品的售价，然后用乘以8即可得.
【详解】∵某种商品n千克的售价是m元，
∴1千克此种商品的价格为：元，
∴这种商品8千克的售价是元，
故答案为．
【点睛】本题考查了列代数式，解决本题的关键是先求出1千克此种商品的价格.
10．a (a－4)
【分析】
直接提取公因式a进行因式分解.
【详解】
【点睛】
本题考查了直接提公因式因式分解，因式分解的基本步骤为：提公因式，套公式，检查分解是否彻底.
11．b＞﹣．
【分析】
根据根的判别式得出△=（-）2-4×1×（b+1）＜0，求出不等式的解集即可．
【详解】
解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，
∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0，
解得：b＞﹣，
故答案为b＞﹣．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键．
12．60°．
【详解】
试题分析：∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，
故答案为60．
点睛：本题考查的是多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
13．π+4
【分析】
根据正方形的性质，得扇形所在的圆心角是90°，进而求得扇形的半径,即可解题.
【详解】
解：根据图形中正方形的性质，得
∠AOB=90°，OA=OB=2．
∴扇形OAB的弧长等于π．
∴扇形的周长为π+4
【点睛】
本题考查了扇形周长的计算,熟练掌握扇形中弧长的求法是解题关键.
14．1
【分析】
作抛物线的对称轴，交BC于D，根据抛物线的性质和等腰直角三角形的性质得出B（n+3，n），代入解析式求得即可．
【详解】
作抛物线的对称轴，交BC于D，
∵直线y=n与二次函数y=（x-2）2-1的图象交于点B、点C，
∴BC∥x轴，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB=90°，AC=BC，
∵直线CD是抛物线的对称轴，
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=45°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
∵抛物线的顶点为（2，-1），
∴AD=n+1，
∴B（n+3，n），
把B的坐标代入y=（x-2）2-1得，n=（n+3-2）2-1，
解得n=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了抛物线的性质，等腰直角三角形的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标是解题的关键．
15．5﹣4a，11
【分析】
综合运用平方差公式和完全平方公式将多项式展开计算，合并同类项，然后赋值，将条件代入化简结果计算即可．
【详解】
解：原式＝1﹣a2＋a2﹣4a＋4，
＝5﹣4a，
当a＝﹣时，
原式＝5﹣4×（﹣），
＝5＋6，
＝11．
【点睛】
本题考查整式乘法的化简求值问题，熟练运用基本的乘法公式进行化简是解题关键．
16．
【分析】
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，
画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为＝．
【点睛】
此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）画一个直角边分别为3和4的直角三角形即可；
（2）画一个直角边分别为和的直角三角形即可；
（3）画一个平行四边形使其面积为6即可．
【详解】
解：（1）如图①；
（2）如图②；
（3）如图③；
；
【点睛】
本题考查了作图——作面积相等的平面图形，勾股定理与网格问题，中心对称图形和轴对称图形的定义，也考查了无理数．解题的关键是正确理解题意，根据题意画出图形.
18．书架原来每层摆30本书
【分析】
设书架原来每层摆x本书，则合理安排空间后每层摆（1＋50%）x本书，根据“摆完后还腾出了一层的空间”，列出分式方程，进而即可求解．
【详解】
解：设书架原来每层摆x本书，则合理安排空间后每层摆（1＋50%）x本书
依题意，得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原分式方程的解，且符合题意．
答：书架原来每层摆30本书．
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）4.
【分析】
（1）由AD∥BC，BD平分∠ABC，可得AD＝AB，结合AD∥BC，可得四边形ABCD是平行四边形，进而，可证明四边形ABCD是菱形，
（2）由四边形ABCD是菱形，可得OC＝AC＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝4，根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”，即可求解.
【详解】
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AD＝AB，
∵AB＝BC，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC＝AC＝2，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD＝＝4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OB＝OD，
∴OE＝BD＝4．
【点睛】
本题主要考查菱形的判定定理及性质定理，题目中的“双平等腰”模型是证明四边形是菱形的关键，掌握直角三角形的性质和勾股定理，是求OE长的关键.
20．（1）填表见解析；（2）160名；（3）平均数；26本.
【详解】
【分析】先确定统计表中的C、A等级的人数，再根据中位数和众数的定义得到样本数据的中位数和众数；
（1）根据统计量，结合统计表进行估计即可；
（2）用“B”等级人数所占的比例乘以全校的学生数即可得；
（3）选择平均数，计算出全年阅读时间，然后再除以阅读一本课外书的时间即可得.
【详解】整理数据 按如下分段整理样本数据并补全表格：
分析数据 补全下列表格中的统计量：
得出结论
（1）观察统计量表格可以估计该校学生每周用于课外阅读时间的情况等级B ，
故答案为B；
（2） 8÷20×400=160 ∴该校等级为“”的学生有160名；
（3） 选统计量：平均数
80×52÷160=26 ，
∴该校学生每人一年平均阅读26本课外书.
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数、统计表、用样本估计总体等知识，熟练掌握各统计量的求解方法是关键.
21．（1）70；490；95；（2）y＝35x﹣70；（3）两机器人出发1.2或2.8或4.6min时相距28m
【分析】
（1）结合图象得到A、B两点之间的距离，甲机器人前2分钟的速度，进而求出A、C两点之间的距离和a的值；
（2）根据题意求出点F的坐标，利用待定系数法求出EF所在直线的函数解析式；
（3）设D（0，70），H（7，0），根据图象可知两机器人相距28m时有三个时刻（0～2，2～3，4～7）分别求出DE所在直线的解析式、GH所在直线的解析式，再令y=28，列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）由图象可知，A、B两点之间的距离是70米，
甲机器人前2分钟的速度为：（70+60×2）÷2＝95（米/分）；
即a＝95；
A、C两点之间的距离是：70+60×7＝490（m）．
故答案为：70；490；95；
（2）设线段EF所在直线的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵1×（95﹣60）＝35，
∴点F的坐标为（3，35），
则，
解得，
则线段EF所在直线的函数解析式为y＝35x﹣70；
（3）如图，设D（0，70），H（7，0）．
∵D（0，70），E（2，0），
∴线段DE所在直线的函数解析式为y＝﹣35x+70，
∵G（4，35），H（7，0），
∴线段GH所在直线的函数解析式为y＝，
设两机器人出发tmin时相距28m，
由题意，可得﹣35x+70＝28，或35x﹣70＝28，或，
解得t＝1.2，或t＝2.8，或t＝4.6．
即两机器人出发1.2或2.8或4.6min时相距28m．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22．教材呈现：见解析；探究：16；拓展：4
【分析】
教材呈现：先根据三角形全等的性质可得，再根据线段的和差可得，然后根据平行四边形的判定即可得证；
探究：先由旋转的性质可得，再根据等底同高可得，从而可得，然后根据三角形中位线定理即可得；
拓展：先根据正方形的性质和面积可得，从而可得，再根据等腰直角三角形和勾股定理可得，然后利用三角形的面积公式可得，最后利用平行四边形的性质即可得．
【详解】
解：教材呈现：补充完整证明过程如下：
∴OE＝OF，OA＝OC，
又∵AG＝CH，
∴OA－AG＝OC－CH，即OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形；
探究：如图，连接OE，BO，
由旋转的性质得：，
点O是AC的中点，点D是AO的中点，点F是CO的中点，
，
由等底同高得：，
，
又点E是AB的中点，点O是AC的中点，
∴S△BEO=S△AEO=4，
∴S△ABO= S△BEO+S△AEO=8，
，
故答案为：16；
拓展：如图，过点E作于点O，
四边形ABCD是面积为16的正方形，
，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∵AC为正方形的对角线，
∴∠EAO=45°，
点E是AB的中点，
，
∵，
∴，
∴AO=EO，
在Rt△AEO中由勾股定理的AO2+EO2=AE2，即2OE2=4
解得，
，
，
，
由教材呈现可知，四边形EHFG是平行四边形，
则四边形EHFG的面积为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、三角形中线性质、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理等知识点，较难的是拓展，通过作辅助线，构造等腰直角三角形是解题关键．
23．（1），；（2）或；（3）；（4）8或
【分析】
（1）先求出BD的值，再用含t的式子表示PB，即可；
（2）当AP⊥BD时，分两种情况讨论：①当点P在BD上时，②当P在DC上时，利用三角函数的定义，列出方程，即可求解；
（3）分3种情况：当时，当时，当时，分别用t表示正方形的面积，即可；
（4）当直线BF将正方形AEPF分成的两部分图形面积相等时，BF过正方形对角线的交点G，画出图形，即可得到答案．
【详解】
解：（1）在Rt△ABD中，．
当点P在线段BD上时，．
t的取值范围为．
（2）当AP⊥BD时，分两种情况讨论：
当点P在BD上时，如图①．
∵，
∴，即．
∴BP＝．
∴．
解得：．

当P在DC上时，如图②．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴，即．
∴DP＝．
∴．
解得：．
（3）当时，如图③．
．
当时，如图④．
过点P作PM⊥AB于M．
，，．
∴，
当时，如图⑤，则，
．
综上所述：；
（４）如图⑥，当直线BF将正方形AEPF分成的两部分图形面积相等时，BF过正方形对角线的交点G时，此时AE=PE，∠AEB=∠PEB，BE=BE，
∴△AEB≌△PEB，
∴BP=BA=4，
∴t=4+4=8；
同理，如图⑦，BP=BA=4，
∴，
∴；
综上所述：或；
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，求二次函数解析式，熟练掌握正方形的性质，画出图形，是解题的关键．
24．（1）；（2）m取值为或；（3）﹣3≤y＜1；（4）﹣1+＜m＜或1＜m≤．
【分析】
（1）把代入中，列方程可解答；
（2）分两种情况：①当m≥1时，把代入中，②当m＜1时，代入中，计算可解答；
（3）先将代入函数y中，画出图象，分别代入，，计算对应的函数y的值，根据图象可得结论；
（4）画出相关函数的图象，根据图象即可求得．
【详解】
解：（1）把代入中得，
，
∴；
（2）分两种情况：
①当m≥1时，把代入中得：
，
，
∴或（舍去）；
②当m＜1时，代入中得：
，
∴或；
综上，m取值为或；
（3）当m＝1时，，如图所示，
当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3，
当x＝2时，y＝2﹣2＝0，
当x＝1时，y＝﹣1+2＝1，
∴当﹣1≤x≤2时，函数值y的取值范围是﹣3≤y＜1；
（4）如图，当的顶点落在线段BC上时，顶点的纵坐标为﹣1，有：，
解得：（舍去），，
如图，当经过点时，有：
，
解得：，
∴；
如图，当函数图象经过点时，有：
，
∴，
如图，当经过点时，有：，
解得：，
∴，
综上，当或时相关函数图象与正方形ABCD的边有3个交点．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，尤其是题目中的函数是分段函数，要能够画出分段函数的图象，结合图象的性质去解决问题．课外阅读时间(min)
等级
D
C
B
A
人数
3
5
8
4
平均数
中位数
众数
80
81
81