2021年吉林省长春市二道区中考一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年吉林省长春市二道区中考一模数学试题（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年吉林省长春市二道区中考一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（　　）
A． B．1.3 C． D．0.6
2．2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天文一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
3．某校九年级（1）班在“迎中考百日誓师”活动中打算制做一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字．如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（　　）

A．舍 B．我 C．其 D．谁
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔40 海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（ ）

A．40海里 B．海里 C．海里 D．海里
7．如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线上顺次截取，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E，③连结、、，则下列说法错误的是（　　）

A．为等边三角形 B．的面积为
C． D．
8．如图，在平面直角坐标系，等腰直角的顶点A、B均在函数的图象上，点C在y轴正半轴上，，若点A的横坐标为，点B的纵坐标为1，则k的值为（　　）

A．1 B．2 C．4 D．6

二、填空题
9．分解因式：______
10．如果关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，写出一个满足条件的a=__．
11．关于的方程有实数根，则的取值范围为_______________________．
12．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为、，若，，则的大小为_______度．

13．如图，在△ABC中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D，以点B为圆心，长为半径画圆弧，交边于点E，若，则图中阴影部分图形的面积和为_____．（结果保留π）

14．若点在抛物线，则的最大值为______．

三、解答题
15．计算：．
16．2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．

（1）“小明抽到80分邮票”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）
（2）小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．
17．某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数．
18．图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点P为内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．

（1）在图①中的边上确定一点O，使的长最短．
（2）在②中的边上确定一点M，边上确定一点N，连结、，使的周长最短，最短周长为_______．
19．如图，四边形中，，，E是对角线上一点，且．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则的长为______．
20．2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为：；；；；，并绘制了如下频数分布直方图．
20家奶茶店售卖饮品杯数频数分布直方图

其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．
（1）该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是_______（用序号写出即可）
①记录结果；②得出结论；③展开调查；④选择调查方法
（2）被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为_______．
（3）该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯陪一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？
21．在抗击“新冠肺炎”疫情期间，需要印刷一批宣传单．某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷．两台机器还需印刷总量(份)与印刷时间(分钟)的函数关系如图所示．

甲机器维修的时间是 分钟，甲乙两台机器一分钟共印宣传单 份；
求线段的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
若甲机器没有发生故障，可提前多少分钟印刷完这批宣传单．
22．（问题提出）小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在中，点D为边的中点．以点D为圆心，为直径作圆，的平分线交此圆于点P，点P在的内部，连结．
求证：的面积等于面积的一半．

（问题解决）小慧的做法是连结并延长，交CB于点Q，利用形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成（问题提出）中的证明．
（问题拓展）如图②，在四边形中，平分．，若．，则面积的最大值为______．
23．如图，在中，，，，点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段的中点，点H在下方，，，设点P运动的时间为t（秒）．

（1）当点P在边上运动时，
①线段的长为_______．用含t的代数式表示）
②若与重叠部分为轴对称图形，求t的值．
（2）当点H落在边上时，求的长．
（3）取边的中点E，边的中点F，连结，当时，直接写出t的值．
24．在平面直角坐标系中，已知抛物线，点、均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．
（1）分别用含的代数式表示m、n的值；
（2）设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h．
①当时，求h的值；
②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．
（3）图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线的距离的2倍，直接写出a的取值范围．


参考答案
1．C
【分析】
离原点最近，即求这四个点对应的实数绝对值的最小值即可．
【详解】
解：
又
离原点最近的是，
故选：C．
【点睛】
本题考查有理数的大小比较、有理数与数轴的对应关系、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
2．A
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：400千米=400000米=4×105米．
故选：A．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【详解】
【分析】把展开图折回立方体，便可知.
【详解】把展开图折回立方体，可知“我”字对面是“谁”字.
故选D
【点睛】本题考核知识点：展开图. 解题关键点：把展开图折回正方体.
4．C
【分析】
分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
【详解】
A、 原计算错误，不符合题意；
B、原计算错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、原计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．D
【分析】
由⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，可得正多边形的中心角为 从而可得答案．
【详解】
解：如图，由题意得：

是等边三角形，

正多边形的边数：
故选：
【点睛】
本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握正多边形的半径与中心角的含义是解题的关键．
6．D
【详解】
∵一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向，
∴∠BAP=37°，
∵AP=40海里，
∴BP=AP•sin37°=40sin37°海里；
故选D．
7．B
【分析】
根据等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质分别求出正确答案，即可判断．
【详解】
根据作图步骤，知：BC=BE=CE=a，
∴△BCE是等边三角形，
∴∠EBC=∠BEC=60，
∵AB=BE=a，
∴∠A=∠AEB=∠EBC=30，
∴，
∴∠AEC=∠AEB +∠BEC=90=3∠A，
故选项A、C、D正确，均不符合题意；
过E作EF⊥BC于F，

∴，
∴，故选项B错误，符合题意；
故选：B
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定和性质、特殊角的三角形函数值、三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．D
【分析】
过点A、B作分别垂直于轴交于点，证明，根据全等三角形对应边相等得到，设，根据解题即可．
【详解】
过点A、B作分别垂直于轴交于点，







设





故选：D．
【点睛】
本题考查反比例函数的图像与性质，涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9．．
【详解】
提取公因式法和应用公式法因式分解．
【分析】．
10．-1
【分析】
利用不等式的基本性质判断即可确定出a的值．
【详解】
∵关于x的不等式ax＞2的解集为x＜，
∴a＜0，
则一个满足条件a=-1，
故答案为-1
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．
11．
【分析】
根据平方的意义得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴a-1≥0，
解得a≥1，
故答案为a≥1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a的一元一次不等式是解题的关键．
12．60
【分析】
由折叠的性质可得∠3=∠1=30°，从而求得∠4=120°，再根据平行线的性质定理求出∠ACD=∠4=120°，最后再根据平行线性质定理求出∠2=60°．
【详解】
解：如图，延长FA，由折叠的性质，可得∠3=∠1=30°，

∴∠4=180°-30°-30°=120°，
∵CD∥BE，BE∥AF，
∴∠ACD=∠4=120°，
又∵AC∥BD，
∴∠2=180°-∠ACD=180°-120°=60°．
故答案为：60．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
13．π
【分析】
由直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解得AC的长，继而解得BD的长，最后根据扇形面积公式解题即可．
【详解】
解：在△ABC中，，，






，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形的面积公式，涉及含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．
【分析】
先求得，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】
∵点P(a，b)在抛物线，
∴，
∴

，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．
【详解】
【分析】根据各项涉及知识点，先逐项化简，再进行加减运算,即合并同类项.
【详解】

．
【点睛】本题考核知识点：特殊三角函数值，二次根式，和实数的混合运算. 熟记这些知识点的相关运算法则即可.
16．（1）不可能；（2）P．
【分析】
（1）根据题意结合不可能事件定义解题；
（2）列表法得出所有等可能结果，再求得两个盒子里恰好是150分邮票和50分部票的概率．
【详解】
解：（1）因为三个盒子中都没有80分的邮票，故“小明抽到80分邮票”是不可能事件，
故答案为：不可能；
（2）列表如下：
第一个
结果
第二个
A
B
C
A



B



C



∴两个盒子里恰好是150分邮票和50分部票的概率P．
【点睛】
本题考查不可能事件、列表法或画树状图求概率等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
17．该游乐园原来平均每分钟接待游客20人．
【分析】
设游乐园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，根据接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【详解】
设该游乐园原来平均每分钟接待游客x人．
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该游乐园原来平均每分钟接待游客20人．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
18．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）如图，连接PE与AC交于点Q，由网格性质易得PE⊥AC，则PQ最短；
（2）如图，分别连接PF，PG，由网格性质易得P、F关于AB对称，P、G关于BC对称，连接这两个对称点，与AB、BC的交点即为所求的点M、点N，然后根据勾股定理即可求得此时的周长．
【详解】
解：（1）∵AC为1×2的矩形对角线，
∴以点P为顶点作2×1的矩形，便可找到格点E，连接PE，交AC于点Q，
∴如图所示，点Q即为所求．

（2）如图，分别连接PF，PG，由网格性质易得P、F关于AB对称，连接FG，交AB、BC于点M、N，连接PM、PN，

∵点P、点F关于AB对称，点M在AB上，
∴PM＝FM，
同理可得：PN＝GN，
∴的周长＝PM＋MN＋PN＝FM＋MN＋GN＝FG，
∵两点之间线段最短，
∴此时的周长是最短的，
∵在Rt中，，
∴的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了格点正方形中的作图以及轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质是解决本题的关键．
19．（1）见解析；（2）．
【分析】
（1）首先证得△ADE≌△CDE，由全等三角形的性质可得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC可得∠ADE＝∠CBD，易得∠CDB＝∠CBD，可得BC＝CD，易得AD＝BC，利用平行线的判定定理可得四边形ABCD为平行四边形，由AD＝CD可得四边形ABCD是菱形；
（2）作EF⊥CD于F，由等腰三角形的性质及勾股定理求得相关线段的长度即可．
【详解】
（1）证明：∵，，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，过点E作EF⊥CD于点F，

∵，
∴，
∵，
∴，
在Rt△DEF中，，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了菱形的判定及解直角三角形的应用，熟练掌握菱形的判定方法及利用锐角三角形函数求线段的长度是解题的关键．
20．（1）④③①②；（2）；（3）该校所在区域500家奶茶店4月5日当天共减少使用塑料吸管约72750克．
【分析】
（1）根据进行数据的调查收集的步骤即可作答；
（2）根据中位数的意义得出答案；
（3）根据题意，计算出样本20家奶茶店售卖饮品杯数的百分比，然后乘以总家数以及每根吸管的塑料用量，即可解答本题．
【详解】
解：（1）进行数据的调查收集，一般可分为以下4个步骤：④选择调查方法；③展开调查；①记录结果；②得出结论．
故答案为：④③①②；
（2）将20家奶茶店售卖饮品杯数从小到大排列后处在第10、11位数，
其中A组2家，B组5家，C组7家，第10、11位数恰好在C组的第3、4个数，
C组数据从小到大排列为：253，265，278，292，312，341，345．
因此中位数是，
故答案为：；
（3）依题意得：（克）．
所以该校所在区域500家奶茶店4月5日当天共减少使用塑料吸管约72750克．
【点睛】
本题考查了调查收集数据的过程与方法，中位数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（1）10，400；（2）；（3）5分钟
【分析】
（1）通过观察图象可以看出AB是甲机器维修的的时间，即可得出答案；从开始到A点，就是甲乙两个机器共同工作的图象示意图，时间共用30分钟，印刷了12000份，列出关系式即可；
（2）求出m的值，利用待定系数法，代入A、B两点的坐标即可求出AB段的关系式；利用图象容易得出自变量的取值范围；
（3）根据总量是20000，甲乙两台机器一分钟印刷的数量之和是400，求出需要的理论时间，然后用实际用的时间减去理论时间即可．
【详解】
解:；
由图象可知：Ａ点出现了转折，意味着有事件的发生，即为甲出现了故障，B点又是一个转折，根据题意得出：此时甲修好和乙共同开始工作，
∴甲机器维修的时间是40-30=10分钟；
由图象可知：前30分钟甲乙两机器是共同工作的，共印刷了20000-8000=12000份，
∴甲乙两台机器一分钟共印宣传单12000÷30=400份；
故答案为：10,400；
．
．
设直线的解析式为



由图象可知：自变量的取值范围是：；
答：线段的函数解析式为，自变量的取值范围是；
由图象可知：共有20000份宣传单，
由可知：甲乙两台机器一分钟共印宣传单400份，
∴若甲机器没有发生故障，甲乙共同印刷用的时间：20000÷400=50分钟，
由图象可知：实际用了55分钟，
∴若甲机器没有发生故障，可提前55-50=5分钟印刷完这批宣传单；
答：若甲机器没有发生故障，可提前5分钟印刷完这批宣传单．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式、数形结合、读懂图象是解决问题的关键．
22．【问题解决】见解析；【问题拓展】6．
【分析】
问题解决：如图，连结并延长，交边于点Q．证明，可得．点P为的中点．从而可得的面积等于面积的一半．
问题拓展：如图，以为直径作，延长交的延长线于 由（1）同理可得： 可得当时，可得最大，则最大，从而可得答案．
【详解】
解：问题解决：如图，连结并延长，交边于点Q．

∵为⊙O的直径，
∴．
∴．
∵平分，
∴
∵，
∴．
∴．
∵．
∴点P为的中点．
∴，
∴．
∴的面积等于面积的一半．
问题拓展：最大面积为6．理由如下：
如图，以为直径作，由，则在上，延长交的延长线于
由（1）同理可得：



当时，最大，则最大，


即的面积的最大值为：
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，三角形的中线的性质，三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
23．（1）①；②；（2）的长为或；（3）或．
【分析】
（1）①表示出CP的长，即可得到线段PQ的长；
②若与重叠部分为轴对称图形，则△PQD△EQD，求得QE=AQ，根据PQ=QE，列方程求解即可；
（2）分点P在边AC上和在边BC上两种情况讨论，利用三角函数以及相似三角形的判定和性质求解即可；
（3）分点P在边AC上和在边BC上两种情况讨论，同理求解即可．
【详解】
（1）①由题意得：AP=2t，
∴CP=AC- AP=4-2t，
∴PQ=CP=，
故答案为：；
②如图，设PH与AB相交于D，QH与AB相交于E，

∵∠HQP=∠ABC，∠ACB=∠HPQ=90°，
∴∠A=∠H，
∵∠ADP =∠HDE，
∴∠A+∠ADP =∠H+∠HDE，
∴∠HED=∠APD=90°，即∠QED=90°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4， BC=3，
∴AB=，
∴，
在Rt△AQE中，AQ=AP+PQ，
∴，
∴QE=AQ，
若与重叠部分为轴对称图形，则△PQD△EQD，
∴PQ=QE，
∴，
解得：；
（2）由（1）知∠ACB=90°，AC=4， BC=3，AB=，
∴，，
当点P在边AC上，即时，若点H落在边上，如图：

在Rt△PQH中，∠HQP=∠ABC，PQ，
，
∴QH=，
在Rt△AQH中，AQ=AP+PQ，
∴，
∴QH=AQ，
∴，
解得：，
∴AH=，
∴BH=5- AH=；
当点P在边BC上，即时，若点H落在边上，如图：

∵∠HQP=∠ABC，∠HPQ=90°，
∴PQ=PB，
同理，PQ==PB，而PB=AC+AB-2t，
∴，
解得：，
∴PB，
∵∠HPQ=90°，∠ACB=90°，
∴HP∥AC，
∴，即，
∴BH=；
综上，的长为或；
（3）当点P在边AC上时，延长QH交AB于N，过F作FM⊥AB于M，如图：

∵EF∥AB，且FM⊥AB，由（1）知QN⊥AB，
∴四边形EFMN是矩形，
∴EN=FM，
∵E是边QH的中点，F是边BC的中点，
∴，
同理求得：QN=AQ，QH=，，
∴QE=QH=，
∴EN=QN-QE=，
∴，
解得：；
当点P在边BC上时，
∵EF∥AB，
∴∠QFE=∠ABC，
∵∠HQP=∠ABC，
∴∠HQP=∠QFE，
∴EF=EQ=EH，
∵∠HPQ=90°，
∴点P与点F重合，如图：

∴，
解得：；
综上，t的值为或．
【点睛】
本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是明确题意，画出图形，找出所求问题需要的条件．
24．（1），；（2）①；②h的最大值为9，最小值为；（3）或或
【分析】
（1）将点、坐标代入解析式即可解答；
（2）①当时，求出函数的最大值和端点AB的函数值，即可解答；
②根据图象G从左至右逐渐上升求出a的取值范围，再由，再根据一次函数的性质求出h的最大值和最小值．
（3）根据图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线的距离的2倍，可知图象G上的这三个点纵坐标为或，由此根据AB两点相对于或的位置列出不等式组进行求解即可求出a的取值范围．
【详解】
解：（1）当时，
．
当时，
．
（2）①当时，．
，，
所以、、顶点．
所以﹒
②当时，图象G从左至右逐渐上升，即图像在对称轴右侧，
∴．解得
当时，图象G从左至右逐渐上升，即图像在对称轴左侧，∴﹒
解得﹒
所以且．
而．
当时，．
当时，．
所以h的最大值为9，最小值为．
（3）或或．
过程如下：∵图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线的距离的2倍，
∴当所求点在直线上方或下方时，所求点的纵坐标，
当所求点在x轴和直线之间时，所求点的纵坐标，
∵时，，
∴所求三个点中必有两点纵坐标，第三个点纵坐标，
I.当时，，则，
即，解得；
II.当时，若时，则，
即，解得；
III.当时，若时，则，
即，解得；
综上所述：图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线的距离的2倍，a的取值范围为：或或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了一次和二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、不等式（组）的应用，确定图象上点的位置关系和分类求解是本题解题的关键．