2021年吉林省长春市朝阳区九年级下学期一模数学试题（word版 含答案）

这是一份2021年吉林省长春市朝阳区九年级下学期一模数学试题（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021年吉林省长春市朝阳区九年级下学期一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．比大1的数是（ ）
A． B． C． D．2
2．空气中某种微粒的直径是0.00000297米，数据0.00000297用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是

A． B． C． D．
4．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为α，同时测得，则树的高度为（ ）

A． B． C． D．
6．如图，是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且在异侧，连接、、．若，则的大小是（ ）

A．15° B．25° C．35° D．50°
7．如图，C是直线外一点，按下列步骤完成作图：（ ）
（1）以点C为圆心，作能与直线相交于D、E点的圆弧．
（2）分别以点D和点E为圆心，长为半径作圆弧，两弧交于点F，连结、．
（3）作直线交于点G．
根据以上作图过程及所作图形，有如下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．③④ D．①④
8．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形的顶点A、B、C的坐标分别为(3，0)、(0，1)、(3，3)．点P在折线上，连结，交函数的图象于点Q．若，则k的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
9．分解因式：___________.
10．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则ba＝_____．
11．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是______（写出一个即可）
12．如图，是正五边形的对角线．若过点A作直线，则的大小是_____度．

13．如图，在扇形中，点B、C将三等分，连结、，⊙O的切线交的延长线于点E，过点B、C分别作于点，于点F．若，，则图中阴影部分图形的面积和为_____．（结果保留π）

14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是_____．


三、解答题
15．先化简，再求值：，其中，．
16．如图，三张不透明的卡片，正面图案分别是三张牛年生肖邮票，依次记为A、B、C，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀．小明从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小明两次抽到图案上都是两头牛的生肖邮票的概率．

17．某学校需要购进甲、乙两种电脑，经调查，每台甲种电脑的价格比每台乙种电脑的价格少0.2万元，且用12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同．求每台甲种电脑价格．
18．图①、图②、图③都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点和点O都在格点上．在图①、图②、图③中，分别以为边画一个四边形，使点O到四边形的某两个顶点的距离相等，且所画图形的顶点都在格点上在给定的网格中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画一个四边形，使该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（2）在图②中画一个面积为16的四边形，使该四边形只是中心对称图形，且点O在所画四边形的内部．
（3）在图③中画一个四边形，使，且点O在所画四边形的边上．


19．某校为了解九年级360名学生周末在家体育锻炼的情况，在该校九年级随机抽取了18名男生和18名女生，对他们周末在家的锻炼时间进行了调查，并收集得到了如下数据（单位：分钟）
（收集整理数据）
男生：28，30，32，39，46，57，58，66，68，69，70，70，80，88，95，99，100，105
女生：29，35，36，48，55，56，62，69，69，72，73，78，88，88，90，98，99，109
（分析数据）两组数据的平均数、中位数、众数如下表：
统计量
数值
组别
平均数（单位：分钟）
中位数（单位：分钟）
众数（单位：分钟）
男生
66.7
68.5
a
女生
69.7
b
69.88
根据以上信息解答下列问题：
（1）a=_____，b=_____．
（2）如果该校男、女生人数相同，估计该校九年级周末在家锻炼的时间在90分钟以上（不包含90分钟）同学的人数．
（3）王老师看了表格数据后认为九年级的女生周末锻炼做得比男生好，请你结合统计数据，写出两条支持王老师观点的理由．
20．如图，是的对角线，且，、分别是边、的中线．

（1）求证：四边形是菱形．
（2）若，，则点E、F之间的距离为_____．
21．一艘轮船在航行中遇到暗礁船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，修船过程中进水和排水速度不变，修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，y与x之间的函数图象如图所示．


（1）修船过程中排水速度为_________，a的值为__________．
（2）求修船完工后y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出x的值．
22．（教材呈现）如图是华师版八年级上册数学教材第79页的部分内容．

（1）请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程．
（拓展）如图②，是等腰直角三角形，，，是边的中线．将绕着点A顺时针旋转角度得到，连结，如图③．
（2）设边与边相交于点E，若E为边的中点，则的长为__________．
（3）连结，在整个旋转过程中，面积的最大值为__________．

23．如图，在中，，，．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线向终点B运动，当点P不与顶点重合时，作，交边于点Q，以、为边作．设点P的运动时间为t秒．

（1）求的长
（2）当点P在边上时，求点Q到边的距离（用含t的代数式表示）
（3）当的某条对角线与的直角边垂直时，求的面积
（4）以点P为直角顶点作等腰直角三角形，使点E与点C在同侧，设的中点为F，的对称中心为点O，连结．当时，直接写出t的值
24．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数（，且a为常数）的图象记为G．
（1）当点O在图象G上时，求a的值．
（2）当图象G的对称轴与直线之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线与对称轴不重合），求a的取值范围．
（3）当图象G的部分的图象的最低点到x轴的距离是部分图象的最低点到x轴的距离的2倍时，求a的值．
（4）以点为对称中心，以为边长作正方形，使该正方形的边与坐标轴平行或垂直．若图象G与该正方形的某条边只有两个交点，且两个交点之间的距离为，直接写出a的值．


参考答案
1．B
【分析】
用-3加上1，求出比-3大1的数是多少即可．
【详解】
解：∵-3+1=-2．
∴比-3大1的数是-2．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了有理数的加法，要熟练掌握,解答此题的关键是要明确：(1)求比一个数大几的数是多少，用加法解答；(2)异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大数绝对值，减绝对值．
2．D
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：0.00000297=2.97×10-6．
故选：D．
【点睛】
本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．D
【分析】
根据圆柱体的截面图形可得．
【详解】
解：将这杯水斜着放可得到A选项的形状，
将水杯倒着放可得到B选项的形状，
将水杯正着放可得到C选项的形状，
不能得到三角形的形状，
故选D．
【点睛】
本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．
4．C
【分析】
先分别求出两个不等式的解集，再找出公共部分即可．
【详解】
解：
∵解不等式①得：x≥2，
解不等式②得：x＜3，
不等式组的解集为2≤x＜3．
故答案为：C．
【点睛】
此题考查了不等式组的解集,要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小找不到．
5．D
【分析】
通过解直角三角形ABC即可得出AB的长度.
【详解】
解：在中，，，
，
，
m.
故答案为：D.
【点睛】
本题考查利用锐角三角函数解直角三角形的实际应用，熟练掌握和区分三角函数是本题的解题关键.
6．B
【分析】
先根据邻补角的性质求出∠AOC，再根据圆周角的性质即可求出的大小．
【详解】
∵
∴∠AOC=180°-
∴=∠AOC=25°
故选B．
【点睛】
此题主要考查圆内角度求解，解题的关键是熟知圆周角定理的运用．
7．B
【分析】
连接CD和CE，证明出，为等边三角形，依次进行判定即可．
【详解】
连接CD和CE，
如图所示：

∵，
，
，
∴，
∴，
故③正确，
由题可知，，
故为等边三角形，，
故②错误，④正确，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故①正确，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了全等三角形及三角形的性质，正确读懂题意是解题的关键．
8．A
【分析】
分①当点P在线段OB上时，②当点P在线段OA上时两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】
解：①当点P在线段OB上时，过C作CH⊥轴于H，过Q作QN∥轴交CH于N，交CB于M，

∵QN∥PH，CQ=2PQ，
∴，，
∵C (3，3)，
∴，
∴，则，
设直线CB的解析式为：，
∵B (0，1)、C (3，3)，
∴，解得：，
∴直线CB的解析式为：，
当时，，
∴M (1，)，Q (1，)，
∴MQ=，
∵BP=，
∵，
∴，
解得：；
②当点P在线段OA上时，过Q作QE⊥于E，

∵A (3，0)、C (3，3)，
∴⊥轴，，
∴QE∥PA，CQ=2PQ，
△CQE△CPA，
∴，
∴CE=2，PA=QE，
∴AE=1，E (3，1)，
QE=，
PA=()，
∵，
∴，
解得：；
综上，k的取值范围是：；
故选：A．
【点睛】
本题考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9．
【分析】
直接提取公因式a即可．
【详解】
解：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式．
10．9
【分析】
根据已知a＜＜b,结合a、b是两个连续的整数可得a、b的值,即可求解.
【详解】
解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，
∴a＝2，b＝3，
∴ba＝32＝9．
故答案为9．
【点睛】
此题考查的是如何根据无理数的范围确定两个有理数的值,题中根据的取值范围,可以很容易得到其相邻两个整数,再结合已知条件即可确定a、b的值,
11．3
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，
∴△=(-4)2﹣4×1×k=16﹣4k＞0，
解得k＜4，
取k=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了根的判别式，能根据根的判别式的内容得出关于k的不等式是解此题的关键．
12．36
【分析】
先根据多边形内角和公式求出每一个内角的度数，再根据三角形内角和定理求出∠ABE＝36°，然后根据平行线的性质可得答案．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝（5−2）×180°÷5＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°−108°）÷2＝36°，
∵l∥BE，
∴∠1＝∠ABE＝36°，
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了正多边形的性质、平行线的性质；熟练掌握正五边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
13．
【分析】
根据图中阴影部分不是连续的，可分别进行计算，计算时用大图形面积减去空白部分面积即可，最后将各个阴影部分面积相加即可得出答案.
【详解】
解：如图，设中阴影部分面积设为S1，扇形BOC中阴影部分面积设为S2，扇形AOB中阴影部分面积设为S3

与相切，
，
又、C为的三等分点，，
,
为等腰三角形，
,
,

,
又,

,
,
,
，
故答案为：.
【点睛】
本题考查与扇形有关的阴影部分面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是本题解题关键，在做题时先找出围成阴影的弧所在扇形的圆心，然后利用多个图形间和差的关系得出阴影部分面积的计算方法.
14．3
【分析】
根据题意得出当P与A点重合时，取得最小值-2，即A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，求得该抛物线的解析式，同理得出当P与B点重合时，取得最大值，利用二次函数与x轴的交点问题，即可求解．
【详解】
解：如图，
当P与A点重合时，取得最小值-2，

此时，设抛物线的解析式为，
根据题意知A(-1，-1)是该抛物线的顶点，且经过点(-2，0)，
∴，
解得：，
∴此时抛物线的解析式为，
当P与B点重合时，取得最大值，如图：

根据题意知B (2，-1)是该抛物线的顶点，
∴此时抛物线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的最值，正确得出抛物线解析式是解题关键．
15．，-4
【分析】
根据乘法公式进行化简，再代入a，b的值即可求解．
【详解】
原式=
=．
当，时，原式=．
【点睛】
此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知乘法公式的运用．
16．树状图见解析，．
【分析】
根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票的情况，然后根据概率公式即可得出答案．
【详解】
根据题意，树状图如下：

共有9种等可能的情况数，
P（小明两次抽到图案都是两只牛的生肖邮票）．
【点睛】
本题考查的是用树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
17．0.3万元
【分析】
设甲种电脑价格为x万元，则乙为x+0.2万元，再根据“12万元购买的甲种电脑的数量与用20万元购买的乙种电脑的数量相同”，列出方程，求解即可．
【详解】
解：设每台甲种电脑的价格为x万元，
由题意，得，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
答：每台甲种电脑的价格为0.3万元．
【点睛】
本题主要考查了分式方程解决实际问题知识，找到等量关系列方程是解决问题的关键．
18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意，画一个正方形，即可；
（2）根据题意，画一个平行四边形，即可；
（3）画一个四边形，使一个内角等于90°，且且点O在所画四边形的边上，即可．
【详解】
（1）如图①．

（2）如图②．
（3）答案不唯一，如图③、图④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和特殊平行四边形的性质以及中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握平行四边形是中心对称图形，正方形和菱形是轴对称图形和中心对称图形，是解题的关键．
19．（1）70，70.5；（2）70人；（3）因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好；因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好
【分析】
（1）根据中位数与众数的定义即可求解；
（2）根据样本中周末在家锻炼的时间在90分钟以上同学的人数的占比即可估计求解；
（3）根据平均数与中位数的实际含义言之有理即可求解．
【详解】
（1）男生锻炼时间中70出现的次数最多，故众数为70；
女生中第9位、第10位的锻炼时间分别为69，72
∴中位数为
故答案为：70；70.5；
（2）由题意，得（人）．
答：初三年级锻炼时间在90分钟以上的同学有70人．
（3）理由一：因为，所以女生锻炼时间的平均时间更长，因此女生周末做得更好．
理由二：因为，所以锻炼时间排序后在中间位置的女生比男生更好，因此女生周末做得更好．
【点睛】
此题主要考查统计调查的应用，解题的关键是熟知中位数、平均数及众数的定义与性质．
20．（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质及中点的性质，可得DF与BE既平行又相等，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形DEFB是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线的性质可得平行四边形的一组邻边相等，从而得要证的结论；
（2）由BD⊥BC，AB=9，得BD=AB×sinA=6，从而由勾股定理可得AD=，根据中点性质可证四边形ADFE是平行四边形，故有EF=AD，从而得结论．
【详解】
（1）∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，．
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∵，
∴．
∴为直角三角形．
∴．
∴四边形DEBF是菱形．
（2）如图，∵E、F分别为边、的中点，
∴，．
∵四边形是平行四边形，
∴，∥ ．
∴，．
∴四边形为平行四边形．
∴．
∵BD⊥BC，
∴AD⊥BD．
在Rt△ABD中，，AB=9，
∴．
∴由勾股定理得：，
∴．

【点睛】
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形、直角三角形斜边上中线的性质等知识，求EF的长关键是证明四边形ADFE是平行四边形，转化为求AD的长．
21．（1）1，24；（2），；（3）或
【分析】
（1）先求出修船的时间、进水速度再求出排水速度，故可得到水排尽的时间；
（2）设修船完工后y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法即可求解；
（3）利用待定系数法求出当时，y与x之间的函数关系式，再代入y=22即可求解．
【详解】
（1）由图可得修船的时间为：13-5=8分钟
修船过程中进水速度为：20÷5=4（），
∴排水速度为：4-（44-20）÷（13-5）=1（），
船修好后将水排尽所需的时间为：44÷4=11分钟
∴a=13+11=24，
故答案为；1；24；
（2）设修船完工后y与x之间的函数关系式为．
由题意，把（13，44）、（24，0）代入得，
解得，
∴修船完工后y与x之间的函数关系式为．
∴自变量的取值范围为．
（3）设当时，y与x之间的函数关系式为．
由题意，把（13，44）、（5，20）代入得，
解得，
∴当时，y与x之间的函数关系式为．
∴当船内积水量是船内最高积水量的时，=22
解得
当，y与x之间的函数关系式为
令=22
解得
∴当船内积水量是船内最高积水量的时，或．
【点睛】
此题主要考查一次函数的实际应用，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
22．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】
（1）根据全等三角形的判定及性质即可证得结论；
（2）连接AE并延长，交BC＇于点M，利用直角三角形的性质可求出AB，并由等腰三角形及旋转性质可推出是等腰三角形，则得出，则可由勾股定理求出的长；
（3）分别从，，三种情况进行讨论，由轴对称的性质及三角形面积公式求值后，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：作的平分线，
∴．
∵，，
∴．
∴．
解：（2）连接AE并延长，交BC＇于点M，

∵是边的中线，是等腰直角三角形，
∴，，．
∴．
由旋转性质得：，，
∴．
∴．
∴．
∴为的垂直平分线．
∴．
∵E为BD的中点，
∴．
∴．
设，则，
在中，，
即．
解得．
∴．
故答案为：；
（3）①如图，当时，

由（2）知，整体图形为轴对称图形，
∴，
∴S最大时，C＇离BD边最远．
即A，D，C＇三点共线，
此时，最大值．
②如图，当时，此时图形为轴对称图形，

∴
∴S最大时，C＇离BD边最远．
即A，D，C＇三点共线，
此时，最大值．
当时，情况和上述两图类似，
最大值；
综上所述，在整个旋转过程中，面积的最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题属于三角形的综合问题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理及旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形的解题的关键．
23．（1）20；（2）；（3）36或；（4）或
【分析】
（1）利用勾股定理即可得出答案；
（2）过点Q作于点M，在，利用，设，，由题可得，得，可得，即可得出答案；
（3）分情况讨论：当时，易证得为正方形，结合（2）中结论可得出、、的长度，可得，解方程即可得出答案；当时，易证得为正方形，结合（2）中结论可得出、、的长度，利用，解方程即可得出答案.
（4）根据题意，可得．当时D与E重合，分情况讨论，利用三角函数列方程即可得出答案.
【详解】
（1）在中，，
由勾股定理，得．
∴．
（2）如图①，过点Q作于点M．
在中，，
．
设，则．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．

（3）当时，如图②．
由（2）得，
，
，
，，，
可得为正方形，
，

解得．
．
当时，如图③．
当P运动到边BC上时，，
，
，
，
为平行四边形，
，
，
，
为正方形，
，


，

解得．
．

故答案为：36或.
（4）或．
如图④，当P在线段AC上，当时，可得此时D与E重合，则，
由（3）得，，

在中，

解得：
如图⑤，当P在线段AC上，当时，可得此时D与E重合，则，
由（3）得，，
在中，

解得：
故答案为：或

【点睛】
本题考查三角函数与动点综合题目，做题时注意考虑多种情况分类讨论，利用等角的三角函数值相等，构造直角三角形，通过边之间的关系列方程求解.
24．（1）；（2）当或；（3）或；（4）或
【分析】
（1）把原点O(0，0)代入即可求解；
（2）分和两种情况讨论，根据抛物线的对称轴以及二次函数的性质即可求解；
（3）根据图象G的部分的图象有最低点，知．分别求得图象G的部分和部分的最低点的坐标，再根据题意列方程求解即可；
（4）如解图，与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，分和两种情况讨论，根据一元二次方程的根与系数的关系求解．
【详解】
解：（1）∵点O在图象G上，
∴，即．
解得，．
∴a的值为．
（2）抛物线的对称轴是直线．
当时，抛物线开口向上，
∴当时，直线与直线之间的部分的函数值y随x增大而减小．
当时，抛物线开口向下，
∴当时，直线与直线之间的部分的函数值y随x增大而减小．
∴当或时，直线与直线之间的部分的函数值y随x增大而减小．
（3）∵图象G的部分的图象有最低点，
∴．
图象G的部分的图象有最低点的坐标为．
而部分图象的最低点的坐标为．
①．
解得，（舍去）．
②．
，（舍去）．
③当图象G的部分的图象最低点与部分图象的最低点均在x轴下方，不符合题意．
综上所述，a的值为或．
（4）取正方形四个顶点分别为BCDE，

B、E的纵坐标为，
C、D的纵坐标为，
与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，
当时，B、E纵坐标为可得：
，
整理得：，
设方程的两根为，则，，，
∴，则，
解得：；
当与CD边相交时，C、D边纵坐标为，
，且，
无解；
当时，B、E纵坐标为，
且，
解得：．
当与CD边相交时，C、D纵坐标为，
，且，
无解．
综上：或．
【点睛】
本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质、待定系数法求解析式、解一元二次方程、分类讨论等知识；熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．