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2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷
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这是一份2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）
1．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
3．（3分）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（ ）
A．AB B．CD C．DE D．CF
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜5 D．3＜x＜5
5．（3分）分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．
6．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC
8．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）
9．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ．
10．（3分）若二次根式有意义，则实数a的取值范围是 ．
11．（3分）若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为 ．
12．（3分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为 cm2．
13．（3分）如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为 米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（ ）
三、解答题＜本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．
16．（6分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．
17．（6分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝ ．
19．（7分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝ ；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝ ．
20．（7分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入 亿元，净利润 亿元．
（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．
（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长 亿元，并说明理由．
21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）该游泳池清洗需要 小时．
（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．
22．（9分）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．
证明：作邻边AB上的中线CD，则
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为 ．
【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为 cm．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．
（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）
1．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
3．（3分）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（ ）
A．AB B．CD C．DE D．CF
【分析】将原图复原找出对应边．
【解答】解：三角形对应的面为DCFE，
a对应的边为DE．
故选：C．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜5 D．3＜x＜5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣6＞0，得：x＞3，
解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5，
故选：B．
5．（3分）分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：＝﹣．
故选：B．
6．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
故选：C．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】证明∠BEC＝∠BCE，可得结论．
【解答】解：由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
故选：C．
8．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
【分析】先求出点A的横坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：把y＝m代入y＝中得x＝，
∴点A坐标为（，m），
∴△OAB的面积为BO•xA＝，
∴1≤≤3，
解得≤m≤．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）
9．（3分）分解因式：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
10．（3分）若二次根式有意义，则实数a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2﹣a≥0，
解得，a≤2，
故答案为：a≤2．
11．（3分）若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为 45° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
【解答】解：设正多边形是n边形，则
（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故答案为：45°．
12．（3分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为 π cm2．
【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝150°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝π（cm2）．
故答案为π．
13．（3分）如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为 300 米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，
在Rt△ABE中，tanB＝，
∴BE＝＝x，
在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，
∴CE＝＝x，
∵BC＝BE﹣CE，
∴x﹣x＝100，
解得：x＝300．
答：小岛A到公路BD的距离为300米．
故答案为：300．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（ ）
【分析】先根据图象开口朝向确定a的符号，由图象与y轴交点确定c的符号，由对称轴为直线x＝1确定b的符号与b与a的比值，x＝1时函数值y最大．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
把x＝1代入解析式得y＝a+b+c＞0，
∴a+c＞b，②错误．
∵图象对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，
∴③错误．
由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，
∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，
∴④正确．
故答案为：①④．
三、解答题＜本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2﹣9a﹣a2+9
＝﹣9a+9，
当a＝1﹣，时，原式＝﹣9×（1﹣）+9＝9．
16．（6分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴甲比乙先出场的概率为＝．
17．（6分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
【分析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x﹣10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是（x﹣10）千米/时，
依题意得：
解得x＝90
经检验：x＝90是原方程的解
x﹣10＝80
答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝ ．
【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
（2）过C作CF⊥AB于F，由勾股定理求出AD，再由三角形的面积公式求出CF，根据三角函数的定义即可求出sin∠BAC．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠MAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠MAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠MAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AE∥DC，AE＝DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形；
（2）证明：∵四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∵DE＝10．BC＝12，
∴BD＝6，AB＝AC＝10，
∴AD＝＝＝8，
过C作CF⊥AB于F，
∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CF，
∴CF＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
19．（7分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝ 6 ；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝ ．
【分析】（1）根据要求作出图形，利用分割法求出面积．
（2）根据要求画出图形，利用分割法求出面积．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD＝×2×3+×2×3＝6．
故答案为：6．
(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE＝×2×3+×1×3＝．
故答案为：．
20．（7分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入 795.5 亿元，净利润 64.4 亿元．
（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．
（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 2017 年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长 15 亿元，并说明理由．
【分析】（1）由统计图中信息即可得到结论；
（2）用2018年伊利集团营业收入乘以“奶粉及奶制品“业务的营业收入所占的百分比即可得到结论；
（3）根据统计图中的信息即可得到结论．
【解答】解：（1）由统计图可得，2018年伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元；
故答案为：795.5，64.4；
（2）795.5×（1﹣83.2%﹣6.3%﹣0.3%）≈81.1（亿），
答：2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入约为81.1亿；
（3）在2013﹣2018这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是2017年；
2019年伊利集团的净利润将比上一年增长15亿元，理由是因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元；
故答案为：2017，15，因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元．
21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）该游泳池清洗需要 1.2 小时．
（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣1.5＝1.2（小时），
故答案为：1.2；
（2）设排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题，得，解得，
∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；
（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h），
∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m3/h），
∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4（h），
∴对外开放的时间为：7+2.7+2.4+＝12：36＞12：30，
∴游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳．
22．（9分）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．
证明：作邻边AB上的中线CD，则
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为 AB＝4DE ．
【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为 + cm．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论；
（2）取BC的中点，连接DF，应用（1）的结论可得BC＝AB，再证明四边形CEDF是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案；
（3）过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，应用（1）的结论可得出AD，再运用解直角三角形或勾股定理求出BD，BC，AG，最后应用梯形中位线定理即可求出EF．
【解答】解：（1）如图①，作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠A═30°，
∴∠B＝90°﹣∠A═90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝AB．
（2）如图②，取BC的中点，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，
∵DE∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴DE＝CF＝BC，
∴DE＝BC，
即BC＝4DE．
故答案为：BC＝4DE.
（3）如图③，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，
∵∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4（cm），
∴BD＝AB•sin∠A＝8sin60°＝4（cm），
∴BC＝BD•cos∠CBD＝4cos45°＝2（cm），
∵∠ADC＝90°﹣∠CBD＝45°，
∴∠ADG＝180°﹣∠ADB﹣∠BDC＝45°，
∵∠G＝90°，
∴AG＝AD•sin∠ADG＝4sin45°＝2（cm），
∵EF⊥CD，BC⊥CD，AG⊥CD，
∴AG∥EF∥BC，
∵点E为AB的中点，
∴EF＝（AG+BC）＝×（2+2）＝（+）cm；
故答案为：+．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．
（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．
【分析】（1）先通过勾股定理求出AB，再用含t代数式PB，由tanB＝＝求解．
（2）点P未出发与点Q落在BC边上时满足题意．
（3）图中直角三角形均相似，数形结合，分类讨论各个三角形全等的情况．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝5cm，
∵AP＝3t，
∴BP＝5﹣3t，
∵tanB＝＝，
∴PQ＝PB＝（5﹣3t）．
（2）如图，t＝0时，MN交BC于点L，
正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形NLCA满足题意，
如图，当点Q与点C重合时，
∵cosA＝＝＝，
∴AP＝AC，即3t＝×3，
解得t＝，
∴≤t＜满足题意．
综上所述，t＝0或≤t＜．
（3）①△APK≌△QCK时，K为AC中点，
即AK＝AP＝×3t＝×3，
解得t＝，
②当△APK≌△LNB时，PK＝NB，
∴AP+PN+NB＝AB，即AP+PQ+AP＝AB，
∴3t+（5﹣3t）+×3t＝5，
解得t＝，
③当△QCK≌△LNB时，BN＝CK，
∵BN＝AB﹣PN﹣AP，CK＝AC﹣AK，
∴AB﹣PN﹣AP＝AC﹣AK，
即5﹣（5﹣3t）﹣3t＝3﹣5t，
解得t＝，
④当△APQ≌△LMQ时，Q与C重合，t＝．
综上所述，t＝或t＝或t＝或t＝．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．
（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．
（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．
②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．
【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：
m＝+a﹣a，
∴m＝．
（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），
当﹣a2﹣a＝时，
解得a＝﹣，
当﹣a2﹣a＝﹣时，
解得a＝或a＝．
∴a＝﹣或a＝或a＝．
（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，
∴点P坐标为（﹣1，1+a），
当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，
解得a＞，
∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，
∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，
∵a＞a﹣，
∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，
∴a＞．
当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，
解得a＜0，
∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，
∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，
当抛物线经过点M时，a＝，
解得a＝﹣，
∴﹣＜a＜0满足题意．
综上所述，﹣＜a＜0或a＞．
②由①得Q的横坐标为a﹣，
∴Q的坐标为（a﹣，1），
当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：
1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，
解得a＝或a＝（舍），
抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），
当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点坐标为（a﹣，﹣a2﹣a+），
﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）．
当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，
∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，
当1﹣（1+a）＝时，a＝﹣．
当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，
当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．
综上所述，a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．
2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）
1．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
3．（3分）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（ ）
A．AB B．CD C．DE D．CF
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜5 D．3＜x＜5
5．（3分）分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．
6．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC
8．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）
9．（3分）分解因式：a2﹣4＝ ．
10．（3分）若二次根式有意义，则实数a的取值范围是 ．
11．（3分）若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为 ．
12．（3分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为 cm2．
13．（3分）如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为 米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（ ）
三、解答题＜本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．
16．（6分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．
17．（6分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝ ．
19．（7分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝ ；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝ ．
20．（7分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入 亿元，净利润 亿元．
（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．
（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长 亿元，并说明理由．
21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）该游泳池清洗需要 小时．
（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．
22．（9分）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．
证明：作邻边AB上的中线CD，则
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为 ．
【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为 cm．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．
（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
2021年吉林省长春市南关区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，本大题共只小题，共24分）
1．（3分）实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足﹣a＜b＜a，则b的值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】根据点b在数轴上的位置可求．
【解答】解：将﹣a，b在数轴上表示出来如下：
∵﹣a＜b＜a．
∴b在﹣a和a之间．
选项中只有﹣1符合条件．
故选：C．
2．（3分）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌卫星发射中心发射升空，6月30日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道．将36000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.36×105 B．3.6×105 C．3.6×104 D．36×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：36000＝3.6×104，
故选：C．
3．（3分）将一个小正方体按图中所示方式展开．则在展开图中表示棱a的线段是（ ）
A．AB B．CD C．DE D．CF
【分析】将原图复原找出对应边．
【解答】解：三角形对应的面为DCFE，
a对应的边为DE．
故选：C．
4．（3分）不等式组的解集为（ ）
A．x＞3 B．x＞5 C．x＜5 D．3＜x＜5
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣6＞0，得：x＞3，
解不等式4﹣x＜﹣1，得：x＞5，
则不等式组的解集为x＞5，
故选：B．
5．（3分）分式可变形为（ ）
A． B．﹣ C． D．
【分析】利用分式的基本性质变形即可．
【解答】解：＝﹣．
故选：B．
6．（3分）解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x+4＝5，
∴（x+2）2＝5，
故选：C．
7．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．根据尺规作图痕迹，下列结论一定正确的是（ ）
A．BC＝EC B．BE＝EC C．BC＝BE D．AE＝EC
【分析】证明∠BEC＝∠BCE，可得结论．
【解答】解：由作图可知，CD⊥AB，CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE，∠BCE＝∠ECD+∠DCB，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BC＝BE，
故选：C．
8．（3分）如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在y轴正半轴，OB＝1．设点A的纵坐标为m，△OAB的面积为S，当1≤S≤3时，m的取值范围是（ ）
A．1≤m≤3 B．≤m≤ C．2≤m≤6 D．≤m≤3
【分析】先求出点A的横坐标，再根据三角形面积公式求解．
【解答】解：把y＝m代入y＝中得x＝，
∴点A坐标为（，m），
∴△OAB的面积为BO•xA＝，
∴1≤≤3，
解得≤m≤．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，本大题共6小题，共18分）
9．（3分）分解因式：a2﹣4＝ （a+2）（a﹣2） ．
【分析】有两项，都能写成完全平方数的形式，并且符号相反，可用平方差公式展开．
【解答】解：a2﹣4＝（a+2）（a﹣2）．
10．（3分）若二次根式有意义，则实数a的取值范围是 a≤2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，2﹣a≥0，
解得，a≤2，
故答案为：a≤2．
11．（3分）若一个正多边形的内角和为1080°，则这个多边形一个外角的大小为 45° ．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算求得边数，然后根据多边形的外角和即可得到结论．
【解答】解：设正多边形是n边形，则
（n﹣2）•180°＝1080°，
解得n＝8．
360°÷8＝45°，
故答案为：45°．
12．（3分）扇子在我国已经有三、四千年的历史，中国扇文化有丰富的文化底蕴．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC夹角为150°．AB的长为30cm，扇面BD的长为20cm，则扇面的面积为 π cm2．
【分析】根据扇形的面积公式，利用扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE进行计算．
【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝20cm，
∴AD＝10cm，
∵∠BAC＝150°，
∴扇面的面积＝S扇形BAC﹣S扇形DAE
＝﹣
＝π（cm2）．
故答案为π．
13．（3分）如图，工程师为了测量小岛A到公路BD的距离，先在点B处测∠ABD＝37°，再沿BD方向前进100米到达点C，测得∠ACD＝45°，则小岛A到公路BD的距离约为 300 米．（参考数据：sin37°＝0.6．cos37＝0.8，tan37°＝0.75）
【分析】过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，再利用锐角三角函数关系得出BE＝x，CE＝x，根据BC＝BE﹣CE，得到关于x的方程，即可得出答案．
【解答】解：如图，过A作AE⊥CD垂足为E，设AE＝x米，
在Rt△ABE中，tanB＝，
∴BE＝＝x，
在Rt△ABE中，tan∠ACD＝，
∴CE＝＝x，
∵BC＝BE﹣CE，
∴x﹣x＝100，
解得：x＝300．
答：小岛A到公路BD的距离为300米．
故答案为：300．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象如图所示，下面四个结论，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正确的是（ ）
【分析】先根据图象开口朝向确定a的符号，由图象与y轴交点确定c的符号，由对称轴为直线x＝1确定b的符号与b与a的比值，x＝1时函数值y最大．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴a，b异号，b＞0，
∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，①正确．
把x＝1代入解析式得y＝a+b+c＞0，
∴a+c＞b，②错误．
∵图象对称轴为直线x＝＝1，
∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，
∴③错误．
由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c，
∵x＝1时函数值y＝a+b+c为最大值，
∴④正确．
故答案为：①④．
三、解答题＜本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3），其中a＝1﹣．
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后求出答案即可．
【解答】解：a（a﹣9）﹣（a+3）（a﹣3）
＝a2﹣9a﹣a2+9
＝﹣9a+9，
当a＝1﹣，时，原式＝﹣9×（1﹣）+9＝9．
16．（6分）甲、乙、丙三位同学在“环保知识竞赛”问答环节中，采用抽签的方式决定出场顺序．请你用画树状图的方法，求甲比乙先出场的概率．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲比乙先出场的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】画出树状图得：
∵共有6种等可能的结果，甲比乙先出场的有3种情况，
∴甲比乙先出场的概率为＝．
17．（6分）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城．已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城．求两车的速度．
【分析】设甲的速度是x千米/时，那么乙的速度是（x﹣10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是（x﹣10）千米/时，
依题意得：
解得x＝90
经检验：x＝90是原方程的解
x﹣10＝80
答：甲的速度是90千米/时，乙的速度是80千米/时．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC．AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
（1）求证：四边形ADCE是矩形．
（2）若DE＝10，BC＝12，则sin∠BAC＝ ．
【分析】（1）首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．
（2）过C作CF⊥AB于F，由勾股定理求出AD，再由三角形的面积公式求出CF，根据三角函数的定义即可求出sin∠BAC．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠MAE＝∠EAC，
∵∠B+∠ACB＝∠MAE+∠EAC，
∴∠B＝∠ACB＝∠MAE＝∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AE∥BD，AE＝BD，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∴AE∥DC，AE＝DC，
故四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCE是矩形．
即四边形ADCE是矩形；
（2）证明：∵四边形ADCE是矩形，
∴AC＝DE，
∵AD⊥BC，AB＝AC，
∴BD＝DC，
∵DE＝10．BC＝12，
∴BD＝6，AB＝AC＝10，
∴AD＝＝＝8，
过C作CF⊥AB于F，
∵S△ABC＝BC•AD＝AB•CF，
∴CF＝＝＝，
∴sin∠BAC＝＝＝，
故答案为：．
19．（7分）图①、图②均为4×4的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD＝ 6 ；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE＝ ．
【分析】（1）根据要求作出图形，利用分割法求出面积．
（2）根据要求画出图形，利用分割法求出面积．
【解答】解：（1）如图，四边形ABCD即为所求作，S四边形ABCD＝×2×3+×2×3＝6．
故答案为：6．
(2)如图，四边形ABCE即为所求作，S四边形ABCE＝×2×3+×1×3＝．
故答案为：．
20．（7分）伊利集团是中国规模最大、产品线最全的乳制品企业．综合实践小组的同学从网上搜集到如下一些伊利集团近几年的营业状况的资料，其中图1是2013﹣2018年伊利集团营业收入及净利润情况统计图，图2是2018年伊利集团各品类业务营业收入比例情况统计图（数据来源：公司财报、中商产业研究院）．
综合实践小组的同学结合统计图提出了如下问题，请你解答：
（1）2018年，伊利集团营收及净利再次刷新行业记录，稳居亚洲乳业第一，这一年，伊利集团实现营业收入 795.5 亿元，净利润 64.4 亿元．
（2）求2018年伊利集团“奶粉及奶制品”业务的营业收入（结果精确到0.1亿元）．
（3）在2013﹣2018这6年中，伊利集团的净利比上一年增长额最多的是 2017 年；估计2019年伊利集团的净利润将比上一年增长 15 亿元，并说明理由．
【分析】（1）由统计图中信息即可得到结论；
（2）用2018年伊利集团营业收入乘以“奶粉及奶制品“业务的营业收入所占的百分比即可得到结论；
（3）根据统计图中的信息即可得到结论．
【解答】解：（1）由统计图可得，2018年伊利集团实现营业收入795.5亿元，净利润64.4亿元；
故答案为：795.5，64.4；
（2）795.5×（1﹣83.2%﹣6.3%﹣0.3%）≈81.1（亿），
答：2018年伊利集团“奶粉及奶制品“业务的营业收入约为81.1亿；
（3）在2013﹣2018这6年中；伊利集团净利润比上一年增长额最多的是2017年；
2019年伊利集团的净利润将比上一年增长15亿元，理由是因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元；
故答案为：2017，15，因为2013年到2015数据发生突变，故参照2015年到2018年的数据进行估算可知，伊利集团近三年的净利润的增长额分别为13.5亿，16亿，13.9亿，据此估计2019年伊利集团净利润的增长额为15亿元．
21．（8分）根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水一清洗一灌水”的过程．某游泳馆从早上7：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是灌水速度的1.6倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间上x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）该游泳池清洗需要 1.2 小时．
（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）若该游泳馆在换水结束30分钟后才能对外开放，判断游泳爱好者小致能否在中午12：30进入该游泳馆游泳，并说明理由．
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以解答本题；
（2）根据题意核函数图象中的数据可以求得排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）根据题意可以求得下午几点开放，然后与12：30比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣1.5＝1.2（小时），
故答案为：1.2；
（2）设排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，
由题，得，解得，
∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；
（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h），
∴灌水的速度为：800÷1.6＝500（m3/h），
∴灌水用的时间为：1200÷500＝2.4（h），
∴对外开放的时间为：7+2.7+2.4+＝12：36＞12：30，
∴游泳爱好者小致不能在中午12：30进入该游泳馆游泳．
22．（9分）【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A═30°．求证：BC＝AB．
证明：作邻边AB上的中线CD，则
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，D是AB的中点．过点D作DE∥BC交AC于点E．则线段AB与DE的数量关系为 AB＝4DE ．
【拓展提升】一副三角板按图②所示摆放，得到△ABD和△BCD．其中∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°．点E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F．若AB＝8cm．则EF的长为 + cm．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，可得CD＝BD＝AD，再证明△BCD是等边三角形，即可证明结论；
（2）取BC的中点，连接DF，应用（1）的结论可得BC＝AB，再证明四边形CEDF是平行四边形，应用平行四边形性质即可得到答案；
（3）过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，应用（1）的结论可得出AD，再运用解直角三角形或勾股定理求出BD，BC，AG，最后应用梯形中位线定理即可求出EF．
【解答】解：（1）如图①，作斜边AB上的中线CD，则CD＝BD＝AD，
∵∠ACB＝90°，∠A═30°，
∴∠B＝90°﹣∠A═90°﹣30°＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BC＝CD＝AB．
（2）如图②，取BC的中点，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB，
∵D，F分别是AB，BC的中点，
∴DF∥AC，
∵DE∥BC，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴DE＝CF＝BC，
∴DE＝BC，
即BC＝4DE．
故答案为：BC＝4DE.
（3）如图③，过点A作AG⊥CD交CD的延长线于点G，
∵∠ADB＝∠BCD＝90°，∠A＝60°．∠CBD＝45°，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×8＝4（cm），
∴BD＝AB•sin∠A＝8sin60°＝4（cm），
∴BC＝BD•cos∠CBD＝4cos45°＝2（cm），
∵∠ADC＝90°﹣∠CBD＝45°，
∴∠ADG＝180°﹣∠ADB﹣∠BDC＝45°，
∵∠G＝90°，
∴AG＝AD•sin∠ADG＝4sin45°＝2（cm），
∵EF⊥CD，BC⊥CD，AG⊥CD，
∴AG∥EF∥BC，
∵点E为AB的中点，
∴EF＝（AG+BC）＝×（2+2）＝（+）cm；
故答案为：+．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm．BC＝4cm．点P从点A出发，沿AB以每秒3cm的速度向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交射线BC于点Q，以PQ为一边向上作正方形PQMN，点P不与A、B重合．设点P的运动时间为t（秒）．
（1）求线段PQ的长（用含t的代数式表示）．
（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形时，求t的取值范围．
（3）在不添加辅助线的条件下．当图中有全等三角形时，直接写出t的值．
【分析】（1）先通过勾股定理求出AB，再用含t代数式PB，由tanB＝＝求解．
（2）点P未出发与点Q落在BC边上时满足题意．
（3）图中直角三角形均相似，数形结合，分类讨论各个三角形全等的情况．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AB＝＝5cm，
∵AP＝3t，
∴BP＝5﹣3t，
∵tanB＝＝，
∴PQ＝PB＝（5﹣3t）．
（2）如图，t＝0时，MN交BC于点L，
正方形PQMN与△ABC重叠部分是四边形NLCA满足题意，
如图，当点Q与点C重合时，
∵cosA＝＝＝，
∴AP＝AC，即3t＝×3，
解得t＝，
∴≤t＜满足题意．
综上所述，t＝0或≤t＜．
（3）①△APK≌△QCK时，K为AC中点，
即AK＝AP＝×3t＝×3，
解得t＝，
②当△APK≌△LNB时，PK＝NB，
∴AP+PN+NB＝AB，即AP+PQ+AP＝AB，
∴3t+（5﹣3t）+×3t＝5，
解得t＝，
③当△QCK≌△LNB时，BN＝CK，
∵BN＝AB﹣PN﹣AP，CK＝AC﹣AK，
∴AB﹣PN﹣AP＝AC﹣AK，
即5﹣（5﹣3t）﹣3t＝3﹣5t，
解得t＝，
④当△APQ≌△LMQ时，Q与C重合，t＝．
综上所述，t＝或t＝或t＝或t＝．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2ax﹣a（a为常数）．
（1）当（﹣，m）在抛物线上，求m的值．
（2）当抛物线的最低点到x轴的距离恰好是时，求a的值．
（3）已知A（﹣1，1）、B（﹣1，2a﹣），连接AB．当抛物线与线段AB有交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段PB绕点P顺时针旋转90°得到线段PM，以PM、PA为邻边构造矩形PMQA．
①若抛物线在矩形PMQA内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围．
②当抛物线在矩形PMQA内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值．
【分析】（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a求解．
（2）求出顶点坐标，通过顶点纵坐标为±求解．
（3）①通过数形结合，讨论抛物线对称轴与矩形边的位置关系与抛物线经过临界点时的值求解．
②分类讨论点B在A上方与点B在A下方两种情况，分别求出最高点与最低点坐标作差求解．
【解答】解：（1）将（﹣，m）代入y＝x2﹣2ax﹣a可得：
m＝+a﹣a，
∴m＝．
（2）∵y＝x2﹣2ax﹣a＝（x﹣a）2﹣a2﹣a，
∴抛物线顶点坐标为（a，﹣a2﹣a），
当﹣a2﹣a＝时，
解得a＝﹣，
当﹣a2﹣a＝﹣时，
解得a＝或a＝．
∴a＝﹣或a＝或a＝．
（3）①AB所在直线解析式为x＝﹣1，
将x＝﹣1代入y＝x2﹣2ax﹣a得y＝1+a，
∴点P坐标为（﹣1，1+a），
当点B在点A上方时，2a﹣＞1+a＞﹣1，
解得a＞，
∵PB＝PM＝2a﹣﹣（1+a）＝a﹣，
∴点M横坐标为﹣1+a﹣＝a﹣，
∵a＞a﹣，
∴抛物线对称轴在点M右侧，满足题意，
∴a＞．
当点B在点A下方时，﹣1＞1+a＞2a﹣，
解得a＜0，
∵PB＝PM＝1+a﹣（2a﹣）＝﹣a，
∴点M横坐标为﹣1﹣（﹣a）＝a﹣，
当抛物线经过点M时，a＝，
解得a＝﹣，
∴﹣＜a＜0满足题意．
综上所述，﹣＜a＜0或a＞．
②由①得Q的横坐标为a﹣，
∴Q的坐标为（a﹣，1），
当a＞，抛物线经过点Q时，将（a﹣，1）代入抛物线解析式得：
1＝（a﹣）2﹣2a（a﹣）﹣a，
解得a＝或a＝（舍），
抛物线与直线x＝a﹣交点为（a﹣，﹣a2﹣a+），
当＜a＜时，抛物线与矩形交点最高点为点P（﹣1，1+a），最低点坐标为（a﹣，﹣a2﹣a+），
﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+或a＝﹣1﹣（舍）．
当a＜0时，抛物线经过点Q时，a＝，
∴≤a＜0时，抛物线与矩形交点最高点纵坐标为1，最低点纵坐标为点P纵坐标为1+a，
当1﹣（1+a）＝时，a＝﹣．
当a＜时，抛物线与直线MQ交点（a﹣，﹣a2﹣a+）为最高点，点P为最低点，
当﹣a2﹣a+﹣（1+a）＝时，解得a＝﹣1+（舍）或a＝﹣1﹣．
综上所述，a＝﹣1+或a＝﹣1﹣或a＝﹣．
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