2021年陕西省中考数学名师导向模拟试卷（二）

这是一份2021年陕西省中考数学名师导向模拟试卷（二），共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）计算：（﹣）0＝（ ）
A．0B．1C．D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆锥组成，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝30°，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个函数的图象一定也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（，1）D．（，﹣1）
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（ ）
A．1B．2C．D．
7．（3分）已知直线y＝kx+b﹣k与y＝﹣2x+1平行，且图象经过第二、三、四象限，则b的取值范围为（ ）
A．b＜﹣2B．b＜2C．b≤﹣2D．b≤2
8．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠AED＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣3D．m≤﹣3
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小： ．
12．（3分）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C，D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则点C的坐标为 ．
14．（3分）如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为 ．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：×﹣|﹣2|+（﹣）﹣1．
16．（5分）化简：÷（+2b）．
17．（5分）如图，已知△ABC（AB＞AC），点D在BC边上，且AD＝BD，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠CDP＝∠BAD．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC．
19．（7分）第二十五届“全国爱眼日”的主题为“视觉2020，关注普遍的眼健康”，宣传重点及口号中提到“合理用眼，关注孩子眼健康”和“科学防控近视，拥有光明未来”，为此，某中学对全校3000名学生进行了一次视力抽样调查，并根据调查结果绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表信息，回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ ，b＝ ，c＝ ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）某位同学说：“我的视力是本次抽样调查所得数据的中位数”，那么这位同学的视力应在什么范围内？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，估计全校学生中视力正常的约有多少人？
20．（7分）西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部（如图所示）．小华想测量宣传牌的高AB，首先，他站在地面上的点D处，测得宣传牌底端B的仰角∠1的度数，然后沿DM方向走到点F处，此时，测得宣传牌顶端A的仰角∠2的度数，竟然发现∠1+∠2＝90°．已知A，B，M三点共线，AM⊥DM，CD⊥DM，EF⊥DM，DM＝15.2m，FM＝13.4m，CD＝EF＝1.6m，教学楼的高BM＝15m，试求宣传牌的高AB．
21．（7分）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴滴出行”是全球最大的站式多样化出行渠道，现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表：
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．
22．（7分）A、B两个不通明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒子里三张卡片上分别标有数字1、2、3．B盒子里三张卡片上分别标有数字5、6、7．这些卡片除数字外其余都相同，将两个盒子里的卡片充分摇匀．
（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；
（2）从A、B两个盘子里各随机抽取一张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率．
23．（8分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好经过顶点B，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝8，BC＝4，求DE的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点（﹣1，4）和（2，﹣5），且它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+3沿直线l向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线与y轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，动点R在直线l上，在新抛物线上是否存在点Q，使以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等？若存在，求符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD S△BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．
2021年陕西省中考数学名师导向模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分。每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）计算：（﹣）0＝（ ）
A．0B．1C．D．﹣
【分析】直接利用零指数幂的公式a0＝1（a≠0）计算即可．
【解答】解：，
故选：B．
2．（3分）如图所示的几何体是由一个长方体和一个圆锥组成，则它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】找出从几何体的上面看所得到的图形即可．
【解答】解：俯视图是矩形中间有一个圆，圆与两个长相切，
故选：D．
3．（3分）如图，直线a∥b，将一个含30°角的直角三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1＝30°，则图中与∠1互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据互为余角的两个角的和等于90°求出∠1的余角为60°，再根据平角的定义求出∠2＝60°，再根据两直线平行，同位角相等求出∠3，两直线平行，内错角相等求出∠4，根据直角三角形求出∠5，从而得解．
【解答】解：∵∠1＝30°，
∴与∠1互余的角的度数为90°﹣30°＝60°，
如图，∠2＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵a∥b，
∴∠3＝∠2＝60°，
∠4＝∠2＝60°，
又∵三角尺是含30°，60°和90°角的三角尺，
∴∠5＝60°，
∴与∠1互余的角的个数是4个．
故选：D．
4．（3分）若一个正比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个函数的图象一定也经过点（ ）
A．（2，﹣3）B．（3，﹣2）C．（，1）D．（，﹣1）
【分析】求出正比例函数解析式，再将点坐标代入即可得到答案．
【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），
∵正比例函数的图象经过点（﹣2，3），
∴3＝﹣2k，解得k＝﹣，
∴正比例函数的解析式为y＝﹣x，
A、x＝2时，y＝﹣3，即函数的图象经过点（2，﹣3），故A符合题意，
B、x＝3时，y＝﹣，即函数的图象经过点（3，﹣），故B不符合题意，
C、x＝时，y＝﹣1，即函数的图象经过点（，﹣﹣1），故C不符合题意，
D、x＝时，y＝﹣，即函数的图象经过点（，﹣），故D不符合题意，
故选：A．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣3≥0，得：x≥1，
解不等式x﹣1＜5﹣x，得：x＜3，
则不等式组的解集为1≤x＜3，
故选：C．
6．（3分）如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（ ）
A．1B．2C．D．
【分析】根据勾股定理计算BC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：由勾股定理得：BC＝＝5，
∵S△ABC＝4×4﹣×1×2﹣×2×4﹣×4×3＝5，
∴BC•AD＝5，
∴BD＝5，
∴BD＝2．
故选：B．
7．（3分）已知直线y＝kx+b﹣k与y＝﹣2x+1平行，且图象经过第二、三、四象限，则b的取值范围为（ ）
A．b＜﹣2B．b＜2C．b≤﹣2D．b≤2
【分析】直接利用一次函数图象与系数的关系进行判断．
【解答】解：∵直线y＝kx+b﹣k与y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2，
∴直线为y＝﹣2x+b+2
∵直线y＝kx+b﹣k经过第二、三、四象限，
∴b+2＜0．
∴b＜﹣2
故选：A．
8．（3分）如图，菱形ABCD的面积为24，对角线AC与BD交于点O，E是BC边的中点，EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（ ）
A．3B．5C．6D．8
【分析】由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD＝24，
∴AC×BD＝48，
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF∥OC，EG∥OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×48＝3；
故选：A．
9．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上．若∠AED＝25°，则∠BCD的度数为（ ）
A．105°B．115°C．125°D．135°
【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝25°，即可求∠BCD的度数．
【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AED＝25°，＝，
∴∠ACD＝∠AED＝25°，
∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝115°，
故选：B．
10．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线C：y＝x2﹣（m+1）x+m绕原点旋转180°后得到抛物线C'，在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1B．m≤1C．m≥﹣3D．m≤﹣3
【分析】根据题意和抛物线C的解析式，可以写出抛物线C'的解析式，然后根据在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
抛物线C′的解析式为﹣y＝（﹣x）2﹣（m+1）•（﹣x）+m，
化简，得y＝﹣x2﹣（m+1）x﹣m，
在抛物线C′上，当x＜1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≥1，
解得m≤﹣3，
故选：D．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小： ＜ ．
【分析】将两数进行平方，然后比较大小即可．
【解答】解：（3）2＝18，（2）2＝20，
∵18＜20，
∴3＜2．
故答案为：＜．
12．（3分）如图，点A，B，C，D是一个外角为40°的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则∠AOD的度数为 120° ．
【分析】连接OB、OC，利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：连接OB、OC，
正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得多边形的边数为：＝9，
∴∠AOB＝＝40°，
∴∠AOD＝40°×3＝120°．
故答案为：120°
13．（3分）如图，正方形ABCD的顶点C，D在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，顶点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，则点C的坐标为 （1，2） ．
【分析】要求C点的坐标，可设C点的坐标为（a，），作CE⊥y轴于E，FD⊥x轴于F，因为四边形ABCD是正方形，容易得出△BEC、△AOB、△DFA全等，从而可以用a表示出D点的坐标，从而构建方程解出a的值，则可求出C点的坐标．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，过点D做DF⊥x轴于F，
设C（a，），则CE＝a，OE＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝AB＝AD，
∵∠BEC＝∠AOB＝∠AFD＝90°，
∴∠EBC+∠OBA＝90°，∠ECB+∠EBC＝90°，
∴∠ECB＝∠OBA，
同理可得：∠DAF＝∠OBA，
∴Rt△BEC≌Rt△AOB≌Rt△DFA（AAS），
∴OB＝EC＝AF＝a，
∴OA＝BE＝FD＝﹣a，
∴OF＝a+﹣a＝，
∴点D的坐标为（，﹣a），
把点D的坐标代入y＝（x＞0），得到（﹣a）＝2，解得a＝﹣1（舍），或a＝1，
∴点C的坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
14．（3分）如图，F是矩形ABCD内一点，AF＝BF，连接DF并延长交BC于点G，且点C与AB的中点E恰好关于直线DG对称，若AD＝6，则AB的长为 4 ．
【分析】连接EF、CF、EC交DG于点O，由等腰三角形的性质得出EF⊥AB，证明△OEF≌△OCG，可得EF＝CG，CF＝FG＝CG，可得△CGF是等边三角形，由勾股定理求出BE即可得出答案．
【解答】解：连接EF、EG、EC，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝6，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，
∴AB⊥AD，
∵AF＝BF，点E是AB的中点，
∴EF⊥AB，AB＝2BE，AE＝BE，
∴∠AEF＝∠ABC＝90°，
∴EF∥BC，
∴EF∥AD∥BC，
∴＝＝1，
∴DF＝FG，
在Rt△DCG中，CF为斜边DG上的中线，
∴CF＝DG＝FG，
∵EF∥GC，
∴∠OEF＝∠OCG，∠OFE＝∠OGC，
∵点C与AB的中点E关于直线DG对称，
∴DG垂直平分线段EC，
∴FG⊥CE，EO＝CO，EF＝CF，
在△OEF和△OCG中，
，
∴△OEF≌△OCG（AAS），
∴EF＝CG，
∴CF＝FG＝CG，
∴△CGF是等边三角形，
∴∠GCF＝60°，
∵CO⊥GF，
∴CO平分∠GCF，
∴∠GCO＝GCF＝30°，
在Rt△BCE中，∠EBC＝90°，∠BCE＝30°，BC＝6，
∴CE＝2BE，
∴BE＝＝＝2．
∴AB＝2BE＝4；
故答案为：4．
三、解答题（共11小题，计78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：×﹣|﹣2|+（﹣）﹣1．
【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝×2﹣（2﹣）﹣8
＝2﹣2+﹣8
＝3﹣10．
16．（5分）化简：÷（+2b）．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝÷
＝•
＝．
17．（5分）如图，已知△ABC（AB＞AC），点D在BC边上，且AD＝BD，请用尺规作图法，在AC边上求作一点P，使∠CDP＝∠BAD．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】作∠ADC的角平分线交AC于点P，点P即为所求作．
【解答】解：如图，作角ADC的角平分线交AC于P，即点P即为所求作．
18．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE∥DC交BC于点E，BD平分∠ABC，求证：AB＝EC．
【分析】根据已知条件易证AB＝AD，再证明四边形AEDC是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD＝CE，所以AB＝CE问题得证．
【解答】证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵AD∥CEAE∥CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝CE，
∵AD＝AB．
∴AB＝CE．
19．（7分）第二十五届“全国爱眼日”的主题为“视觉2020，关注普遍的眼健康”，宣传重点及口号中提到“合理用眼，关注孩子眼健康”和“科学防控近视，拥有光明未来”，为此，某中学对全校3000名学生进行了一次视力抽样调查，并根据调查结果绘制出不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表信息，回答下列问题：
（1）在频数分布表中，a＝ 40 ，b＝ 0.2 ，c＝ 0.05 ，并将频数分布直方图补充完整；
（2）某位同学说：“我的视力是本次抽样调查所得数据的中位数”，那么这位同学的视力应在什么范围内？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，估计全校学生中视力正常的约有多少人？
【分析】（1）根据频数、频率、总数之间的关系进行计算即可；
（2）根据中位数的意义进行判断即可；
（3）求出样本中视力正常的百分比即可．
【解答】解：（1）20÷0.1＝200（人），
a＝200﹣10﹣60﹣70﹣20＝40（人），
b＝40÷200＝0.2，
c＝10÷200＝0.05，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：40，0.2，0.05；
（2）将这200名学生的视力情况从小到大排列，处在中间位置的两个数都在4.6≤x＜4.9的范围内，因此中位数落在4.6≤x＜4.9的范围内，
答：该同学的视力在4.6≤x＜4.9范围内；
（3）3000×＝1050（人），
答：全校学生中视力正常的约有1050人．
20．（7分）西安市某中学在创建“特色校园”的活动中，将本校的办学理念做成宣传牌，放置在教学楼的顶部（如图所示）．小华想测量宣传牌的高AB，首先，他站在地面上的点D处，测得宣传牌底端B的仰角∠1的度数，然后沿DM方向走到点F处，此时，测得宣传牌顶端A的仰角∠2的度数，竟然发现∠1+∠2＝90°．已知A，B，M三点共线，AM⊥DM，CD⊥DM，EF⊥DM，DM＝15.2m，FM＝13.4m，CD＝EF＝1.6m，教学楼的高BM＝15m，试求宣传牌的高AB．
【分析】过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，根据∠1+∠2＝90°．∠A+∠2＝90°．可得∠1＝∠A，再利用锐角三角函数列式计算即可．
【解答】解：如图，过点C作CN⊥AM于点N，则点C，E，N在同一直线上，
∵∠1+∠2＝90°．∠A+∠2＝90°．
∴∠1＝∠A，
∵CD＝EF＝MN＝1.6 m，
BN＝BM﹣MN＝15﹣1.6＝13.4（m），
在Rt△BCN中，tan∠1＝＝＝，
在Rt△AEN中，tan∠A＝＝＝tan∠1，
∴＝，
∴AB＝15.2﹣13.4＝1.8（m）．
答：宣传牌的高AB约为1.8m．
21．（7分）打车软件的出现很大程度上方便了我们的生活，其中“滴滴出行”是全球最大的站式多样化出行渠道，现了解到某市“滴滴快车”普通时段的最新收费标准见下表：
（1）求“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）上周一，李老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是15.3元，李老师家距离学校多少千米？已知王老师家距离学校1.8千米，求王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式；
（2）将y＝15.3代入相应的函数解析式，可求出李老师家距离学校多少千米，根据收费标准可得王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费，即可解答本题．
【解答】解：（1）由题意可得，
当0＜x≤2时，y＝11.4，
当x＞2时，y＝11.4+（x﹣2）×1.95＝1.95x+7.5，
由上可得，“滴滴快车”的收费y（元）与行驶的里程数x（千米）之间的函数关系式是y＝；
（2）y＝15.3时，15.3＝1.95x+7.5，
解得：x＝4，
∴李老师家距离学校4千米；
∵1.8＜2，
∴王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是11.4元．
答：李老师家距离学校4千米，王老师乘坐“滴滴快车”从家到学校的车费是11.4元．
22．（7分）A、B两个不通明的盒子里分别装有三张卡片，其中A盒子里三张卡片上分别标有数字1、2、3．B盒子里三张卡片上分别标有数字5、6、7．这些卡片除数字外其余都相同，将两个盒子里的卡片充分摇匀．
（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，求抽到卡片上的数字是奇数的概率；
（2）从A、B两个盘子里各随机抽取一张卡片，请利用画树状图或列表的方法，求其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有9个等可能的结果，其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的结果有4个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从A盒子里随机抽取一张卡片，抽到卡片上的数字是奇数的概率为；
（2）画树状图如下：
共有9个等可能的结果，其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的结果有4个，
∴其中一张卡片上的数字是奇数、一张卡片上的数字是偶数的概率为．
23．（8分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰好经过顶点B，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若AB＝8，BC＝4，求DE的长．
【分析】（1）利用圆周角定理、切线的性质以及弦切角的性质得出内错角相等，进而得出两直线平行；
（2）利用切线的性质，正方形的性质以及相似三角形、勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：连接CD，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝45°，
又∵DE是⊙O的切线，
∴∠CDE＝∠CBD＝45°，
∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴∠ACD＝∠CDE，
∴AC∥DE；
（2）解：连接OD，过点C作CF⊥DE，垂足为F，则四边形ODFC是正方形，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝4，
∴DF＝FC＝OC＝OD＝2，
∵∠E＝∠ACB，∠CFE＝∠ABC＝90°，
∴△ABC∽△CFE，
∴＝＝＝，
∴EF＝CF＝，
∴DE＝DF+EF＝2+＝3．
24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点（﹣1，4）和（2，﹣5），且它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将抛物线y＝ax2+bx+3沿直线l向下平移1个单位长度，得到新抛物线，设新抛物线与y轴的交点为M，直线l与x轴交于点N，动点R在直线l上，在新抛物线上是否存在点Q，使以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等？若存在，求符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法，将（﹣1，4）、（2，﹣5）两点坐标代入解析式即可求得二次函数解析式；
（2）根据题意由于新抛物线是向下平移3个单位长度所得，直接可得出新抛物线的解析式；因为M、N分别是新抛物线与y轴及对称轴l与x轴的的交点，根据题意可以求得M、N的坐标，则可以得出MN、ON、OM的长度，要使得△MON≌△PNQ，则需使得其中一个角为90°，并且各边长度相等，从而得出Q的坐标．
【解答】解：（1）由题意把（﹣1，4）和（2，﹣5）两点代入y＝ax2+bx+3得：
，解得．
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意得新抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴M的坐标为（0，2）；
且新抛物线对称轴为x＝﹣1，
∴N的坐标为（﹣1，0），
∴NO＝1，MO＝2，
新抛物线上存在点Q使得以点N，Q，R为顶点的三角形与△MON全等，
有以下几种情形：
Ⅰ．当NO＝RQ＝1，OM＝RN＝2时，∠MON＝∠NRQ＝90°，Q的位置如下图1中的Q'、Q''所示：
此时Q'、Q''的坐标分别为（﹣2，2）、（0，2）．
Ⅱ．当NR＝ON＝1，QR＝OM＝2时，Q的位置如下图2中的Q'''、Q''''所示：
此时，Q'''、Q''''的坐标分别为（﹣3，﹣1）、（1，﹣1）．
综上所述，Q点满足条件的坐标为（﹣2，2）、（0，2）、（﹣3，﹣1）、（1，﹣1）．
25．（12分）问题提出
（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD ＝ S△BCD（填“＞”“＜”或“＝”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB＝12，求△ABC面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB＝60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积．
【分析】（1）由平行线的性质，根据同底等高的两三角形面积相等作答；
（2）AB长不变，只要AB边上的高最大，△ABC面积最大；由图知当C是优弧的中点时，AB边上的高最大，△ABC面积最大，求得优弧的中点到AB的距离就可求得△ABC最大面积；
（3）过C作CF∥BD交AD的延长线于F，得∠F＝∠ADB＝60°，先证得四边形ADCE的面积＝△ACF的面积；根据∠F＝60°得点F在以AC为边向△ABC外作的等边三角形△AGC的外接圆上，受解决（2）的启发得，当F运动到点G时，△ACF的面积最大，即四边形ADCE的面积最大．最后计算出△ACF的面积即是四边形ADCE的面积最大值．
【解答】解：（1）如图①所示，分别过A、B两点向直线b作垂线，垂足为M、N.
∵a∥b，
∴∠MAB＝∠AMN＝90°，
∴四边形AMNB是矩形，
∴AM＝BN，
∴CD•AM＝CD•BN
又S△ACD＝CD•AM，S△BCD＝CD•BN，
∴S△ACD＝S△BCD；
故答案为：＝；
（2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O且AD＝BD，如图②所示.
过点C作AB的平行线a，
∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，
∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，
又∵AB为常数，
∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，
下面计算△ABC1的面积：
连接OB，
在Rt△OBD中，
∵AB＝12，⊙O的直径为20，
∴BD＝6，BO＝10，OC1＝10，
由勾股定理得：
OD＝＝＝8，
∴C1D＝OD+OC1＝8+10＝18，
∴△ABC1的面积为：AB•C1D＝×12×18＝108，
∴△ABC面积的最大值为108；
（3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③﹣1所示，
∵CF∥BD，
∴∠F＝∠ADB＝60°，
∵AD∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF＝CE，FC＝DE，
∵DC＝CD
∴△DFC≌△CED（SSS），
∴S△DFC＝S△CED，
又由（1）的结论知S△DAC＝S△DAE，
∴S四边形ADCE＝S△DAE+S△CED＝S△DAC+S△DFC＝S△AFC，
所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值.
以AC为边向△ABC外作等边三角形△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③﹣2所示，
∵∠F＝60°，
∴点F在△AGC的外接圆上，
由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大＝S△ACG；
在Rt△ABC中：
由勾股定理得AC＝＝＝10，
∴AJ＝AC＝5，
∴GJ＝×10＝15，
∴S△ACG＝AC×GJ＝×10×15＝75；
∴四边形ADCE的最大面积是75．
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
a
b
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
60
0.3
5.2≤x＜5.5
10
c
里程/千米
收费/元
2千米以下（含2千米）
11.4
2千米以上，每增加1千米
1.95
视力
频数（人）
频率
4.0≤x＜4.3
20
0.1
4.3≤x＜4.6
a
b
4.6≤x＜4.9
70
0.35
4.9≤x＜5.2
60
0.3
5.2≤x＜5.5
10
c
里程/千米
收费/元
2千米以下（含2千米）
11.4
2千米以上，每增加1千米
1.95