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2021年陕西省中考数学模拟复习试卷 解析版
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这是一份2021年陕西省中考数学模拟复习试卷 解析版，共28页。
2021年陕西省中考数学模拟复习试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，i计30分，每小题只有-个选项是符合题意的）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣
2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×10﹣6 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．46×10﹣6
3．（3分）如图，已知直线a∥b．直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．60° C．55° D．50°
4．（3分）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a﹣9 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
7．（3分）已知点A的坐标为（1，0），直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线为l，点B在直线l上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为（ ）
A．3﹣或 B．3﹣或2 C．6﹣2或4 D．6﹣2或
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小： 4．
12．（3分）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则从该正多边形的一个顶点出发共有 条对角线．
13．（3分）在平面直角坐标系中，若函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝，BC＝4，点E，F分别是AD，CD的三等分点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是 ．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+．
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
17．（5分）已知菱形ABCD及其外一点P，点O为菱形的中心，请你用尺规在菱形ABCD的边AB上找一点M，使得OM⊥PM．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC中，点E为边BC的中点，连接AE，点D为线段AE上的一点（不与A，E重合），连接BD、CD，若BD＝CD，求证：∠ADB＝∠ADC．
19．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为 ，中位数为 ．众数为 ；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
20．（7分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A南偏西68°方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿北偏西67°方向航行120海里到达B处，这时测得灯塔P在南偏东7°方向上，求此时轮船与灯塔P的距离（结果保留根号）．
21．（7分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于5kg时，用药量为amg，体重在5～50kg（含50kg）范围内每增加1kg，药量增加3mg，体重大于50kg时药量不再增加，设体重为m（kg）的儿童用药量为n（mg）．
（1）写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物140mg，他的体重为45kg；现在小明生病也需服用该药物，已知小明的体重为52kg，请你帮他计算用药量．
22．（7分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；
（2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且cos∠BGD＝，BE＝1，求AD的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝ ．
问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．
问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．
2021年陕西省中考数学模拟复习试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，i计30分，每小题只有-个选项是符合题意的）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是：
±＝±3．
故选：B．
2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×10﹣6 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．46×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000046＝4.6×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）如图，已知直线a∥b．直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．60° C．55° D．50°
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据∠2＝∠ACB﹣∠3即可得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
4．（3分）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据正比例函数的定义得出m2﹣3＝1，m+1＜0，进而得出即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，
∴m2﹣3＝1，m+1＜0，
解得：m＝±2，
则m的值是﹣2．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a﹣9 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及乘法公式、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项正确；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD＝CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM＝DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM＝CN．
【解答】解：连接BD，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM＝DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN＝4，
故选：C．
7．（3分）已知点A的坐标为（1，0），直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线为l，点B在直线l上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
【分析】直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线l为y＝﹣x﹣1，当AB与直线y＝﹣x﹣1垂直时，AB最短．因为（1，0）在直线y＝x﹣1上，所以直线y＝x﹣1与直线y＝﹣x﹣1的交点即为B点，
【解答】解：由直线y＝x﹣1可知直线与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点为D（0，﹣1），
∴直线l与x轴的交点为E（﹣1，0），
∴OC＝OD＝OE，
∴∠DCO＝∠CDO＝45°＝∠EDO＝∠DEO，
∴∠EDC＝90°，
∵点A的坐标为（1，0），
∴C点即为A点，
当AB与直线y＝﹣x﹣1垂直时，AB最短．
∴当B与D重合时，AB最短，
故B点坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为（ ）
A．3﹣或 B．3﹣或2 C．6﹣2或4 D．6﹣2或
【分析】分两种情形①CG＝CB，②GC＝GB，分别求解即可解决问题；
【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠A＝60°，AD＝2，
∴AC＝6，
①当CG＝BC＝2时，AG＝AC﹣CG＝6﹣2，
∴AP＝PG＝3﹣．
②当GC＝GB时，易知GC＝2，AG＝4，
∴AP＝AG＝2，
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
【分析】作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，计算出∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，根据圆周角定理可判断AE为⊙O的直径，连接OB、OC，证明＝得到∠ABC＝∠ACB＝67.5°，则∠BAC＝45°，
所以∠AOC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到BC的长．
【解答】解：作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，
∵∠BDE＝∠BDC，∠ADB＝90°﹣∠BDC，
∴∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
连接OB、OC，
∵∠BDE＝∠CDE，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠AOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝4×＝8．
故选：C．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x＝m﹣2．根据抛物线与x轴只有一个公共点可设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n）、B（m﹣4，n），
∴对称轴是x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2
把A（m，n）代入，得n＝（m﹣m+2）2＝4，
即n＝4．
故选：A．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小： ＞ 4．
【分析】先把带根号的化简，再比较大小即可．
【解答】解：∵＝4，
∴＞4．
故答案为＞．
12．（3分）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则从该正多边形的一个顶点出发共有 7 条对角线．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB，可求得多边形的边数，进而求得正多边形从一顶点出发对角线的条数．
【解答】解：连接OA，OB，如图，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
∴从正十边形一个顶点出发共有7条对角线．
故答案为：7．
13．（3分）在平面直角坐标系中，若函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
【分析】根据已知条件判断函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），即可得到结论．
【解答】解：∵函数y＝（a为常数）中，﹣a2﹣1＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∵点A（﹣2，3）在第二象限，B（1，6）在第一象限，
∴点C（﹣4，m）在第二象限，
∵函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），
∴﹣2×3＝﹣4m，
∴m＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝，BC＝4，点E，F分别是AD，CD的三等分点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是 ．
【分析】过点A作AG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，求得S△ABC、S△ACD的值，再证明△DEF～△DAF，利用面积比的关系得到△DEF的面积，再利用同高的两个三角形面积比为底之比得到△ABE和△BFC面积之和，最后利用S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△DEF﹣（S△ABE+S△BFC）关系求得结果．
【解答】解：过点A作AG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，如图．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝60°．
∴AG＝sin60°×AB＝．
∴S△ABC＝＝3．
∴S△ACD＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝9﹣3＝6．
∵，∠ADC＝∠ADC，
∴△DEF～△DAF．
∴＝，
∴S△DEF＝．
又∵，
∴，同理可得：，
∴S△ABE+S△BFC＝（S△ABD+S△BDC）＝•S四边形ABCD＝＝3，
∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△DEF﹣（S△ABE+S△BFC）
＝9﹣﹣3
＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣1+4+3
＝6+．
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3，﹣2，﹣1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣a+1）÷，
＝
＝
＝
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵（a+2）（a﹣2）≠0，a+1≠0，
∴a≠±2，a≠﹣1，
∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣1＝3﹣1＝2．
17．（5分）已知菱形ABCD及其外一点P，点O为菱形的中心，请你用尺规在菱形ABCD的边AB上找一点M，使得OM⊥PM．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作OP的垂直平分线得到OP的中点，然后以OP为直径作圆交AB于M，则根据圆周角定理得到OM⊥PM．
【解答】解：如图，点M为所作．
18．（5分）如图，在△ABC中，点E为边BC的中点，连接AE，点D为线段AE上的一点（不与A，E重合），连接BD、CD，若BD＝CD，求证：∠ADB＝∠ADC．
【分析】通过证明△BDE≌△CDE可得∠ADB＝∠ADC，进而可证明结论．
【解答】证明：∵点E为边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴∠BDE＝∠CDE，
∵∠BDE+∠ADB＝∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC．
19．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为 8.56 ，中位数为 9 ．众数为 10 ；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【解答】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，
所以本次抽样人数为：10÷20%＝50（人），
因为成绩9分的人数占抽样人数的24%，
所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如下：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为：
＝8.56；
把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9，所以该组数据的中位数为：9；
该组数据中，10分出现的次数最多，所以众数为：10．
故答案为：8.56，9，10．
（3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%＝76%，
所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：1500×76%＝1140（人）．
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．
20．（7分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A南偏西68°方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿北偏西67°方向航行120海里到达B处，这时测得灯塔P在南偏东7°方向上，求此时轮船与灯塔P的距离（结果保留根号）．
【分析】过P作PF⊥AB于F，先求出∠PAB＝45°，∠ABP＝60°，再证△APF是等腰直角三角形，∠BPF＝30°，则PF＝AF，BP＝2BF，BF＝PF，设PF＝AF＝x海里，则BF＝x海里，BP＝x海里，然后由AF+BF＝AB得出方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：过P作PF⊥AB于F，如图所示：
由题意得：AB＝120海里，∠PAE＝68°，∠BAD＝67°，∠PBC＝7°，BC∥DE，
∴∠PAB＝180°﹣68°﹣67°＝45°，∠ABC＝∠BAD＝67°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝67°﹣7°＝60°，
∵PF⊥AB，
∴∠PFA＝∠PFB＝90°，
∴△APF是等腰直角三角形，∠BPF＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝AF，BP＝2BF，BF＝PF，
设PF＝AF＝x海里，则BF＝x海里，BP＝x海里，
∵AF+BF＝AB，
∴x+x＝120，
解得：x＝60（3﹣），
∴x＝120﹣120，
即BP＝（120﹣120）海里，
答：此时轮船与灯塔P的距离为（120﹣120）海里．
21．（7分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于5kg时，用药量为amg，体重在5～50kg（含50kg）范围内每增加1kg，药量增加3mg，体重大于50kg时药量不再增加，设体重为m（kg）的儿童用药量为n（mg）．
（1）写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物140mg，他的体重为45kg；现在小明生病也需服用该药物，已知小明的体重为52kg，请你帮他计算用药量．
【分析】（1）根据题意分两种情况写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）将m＝45，n＝140代入（1）中求得的解析式，求出a的值，再求出50kg时的药量即可求解．
【解答】解：（1）m＜5时，n＝a，
5≤m≤50时，n＝a+3（m﹣5）＝a+3m﹣15，
∴体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式为；
（2）m＝45，n＝140时，
140＝a+3×45﹣15，解得：a＝20，
∴m＝50时，n＝20+3×50﹣15＝155（mg）．
∵体重大于50kg时药量不再增加，
∴小明的体重为52kg，用药量为155mg．
22．（7分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；
（2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求出各自获胜的概率，最后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4张卡片，分别标由数字2、3、4、5，
∴这16次中抽取标有数字3的卡片的频率是；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中取出的两张卡片数字之和为3的倍数的有5种，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的有11种，
则取出的两张卡片数字之和为3的倍数的概率是，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的概率是，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方是不公平．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且cos∠BGD＝，BE＝1，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，AC，由圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA，证出OC∥AF，则OC⊥EF，可得出结论；
（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到，解得r＝2，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，AC，如图，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵AF⊥EF，
∴OC⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，OC，
∵OC∥AF，
∴∠COE＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠BGD，
在Rt△OCE中，设OC＝r，
∵cos∠COE＝cos∠DAB＝，即，解得r＝2，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，
∴AD＝×4＝．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A、B关于对称轴对称，得B（4，0），把A、B代入抛物线解析式，得a，b的值，即可求抛物线解析式；
（2）设P（x，0）则Q（x，0.5x2﹣1.5x﹣2），在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC＝2，AB＝5，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，由题意△PQB∽△CAB，①AC：PQ＝BC：BP，此种情况不合题意；②AC：PB＝BC：PQ，利用两点间距离公式，可以用x表示出AC、PB、BC、PQ的距离，根据对应线段成比例可得出x的值，即得出Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是x＝1.5且A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝0.5x2﹣1.5x﹣2；
（2）如图，
设P（x，0），
则Q（x，0.5x2﹣1.5x﹣2），
由题得AC＝＝，
BC＝＝2，
AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
由△PQB与△CAB相似可得，
①AC：PQ＝BC：PB，
则0.5x＝，
得x＝0或x＝4，
经检验，x＝0与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（0，﹣2）；
②AC：PB＝BC：PQ，
则＝，
得x＝3或x＝4，
经检验，x＝3与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（3，﹣2），
综上，存在P，Q，
Q为（0，﹣2）或（3，﹣2）．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝ 60°或240° ．
问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．
问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）当△OCD旋转到图示位置时，满足题设要求，此时的旋转角为60°，在此基础上继续旋转180°（即旋转角为240°）也满足题设要求，即可求解；
（2）当A、O、E三点共线时，△ABC面积的最小，此时AE＝AD＝6，进而求解；
（3）证明当GF＝FH时，EG+GF+FH+HB＝2（FH+BH）最小，进而求解．
【解答】解：（1）如图，
当△OCD旋转到图示位置时，满足题设要求，此时的旋转角为60°，
在此基础上继续旋转180°（即旋转角为240°）也满足题设要求，
故答案为60°或240°；
（2）作△ABC的外接圆O，故点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BCO＝120°＝2∠BOE，则∠BOE＝60°，
设圆的半径为r，
在Rt△BOE中，OE＝r，BE＝r，则BC＝2BE＝r，
当A、O、E三点共线时，△ABC面积的最小，此时AE＝AD＝6，
即r+r＝6，解得r＝4，
则△ABC面积＝×AD×BC＝6×r＝3×4＝12；
（3）连接EF、CF，
∵AE＝AF＝4，则∠AEF＝45°
∵CED＝45°，
∴∠CEF＝90°，
∵BF＝8，则CD＝8+4＝CE，
∴BC＝AD＝DE+AE＝8+4+4＝8+8，
则EF＝CD＝8＝BF，
即EF＝BF，CE＝CB，
而CF＝CF，
∴△CEF≌△CBF（SSS），
∴∠FCE＝∠FCB，
∴CF平分∠ECB，∠EFC＝∠BFC，
故当GF＝FH时，EG+GF+FH+HB＝2（FH+BH）最小，
此时，∠EFG＝∠BFH＝（180°﹣75°﹣45°）＝30°，
在Rt△BFH中，BH＝FBtan30°＝，则FH＝，
故EG+GF+FH+HB最小值为＝2（FH+BH）＝16．
2021年陕西省中考数学模拟复习试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，i计30分，每小题只有-个选项是符合题意的）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣
2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×10﹣6 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．46×10﹣6
3．（3分）如图，已知直线a∥b．直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．60° C．55° D．50°
4．（3分）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a﹣9 D．（a+b）2＝a2+b2
6．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
7．（3分）已知点A的坐标为（1，0），直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线为l，点B在直线l上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为（ ）
A．3﹣或 B．3﹣或2 C．6﹣2或4 D．6﹣2或
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小： 4．
12．（3分）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则从该正多边形的一个顶点出发共有 条对角线．
13．（3分）在平面直角坐标系中，若函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝，BC＝4，点E，F分别是AD，CD的三等分点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是 ．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+．
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
17．（5分）已知菱形ABCD及其外一点P，点O为菱形的中心，请你用尺规在菱形ABCD的边AB上找一点M，使得OM⊥PM．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，在△ABC中，点E为边BC的中点，连接AE，点D为线段AE上的一点（不与A，E重合），连接BD、CD，若BD＝CD，求证：∠ADB＝∠ADC．
19．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为 ，中位数为 ．众数为 ；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
20．（7分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A南偏西68°方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿北偏西67°方向航行120海里到达B处，这时测得灯塔P在南偏东7°方向上，求此时轮船与灯塔P的距离（结果保留根号）．
21．（7分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于5kg时，用药量为amg，体重在5～50kg（含50kg）范围内每增加1kg，药量增加3mg，体重大于50kg时药量不再增加，设体重为m（kg）的儿童用药量为n（mg）．
（1）写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物140mg，他的体重为45kg；现在小明生病也需服用该药物，已知小明的体重为52kg，请你帮他计算用药量．
22．（7分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；
（2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且cos∠BGD＝，BE＝1，求AD的长．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝ ．
问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．
问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．
2021年陕西省中考数学模拟复习试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，i计30分，每小题只有-个选项是符合题意的）
1．（3分）9的平方根是（ ）
A．3 B．±3 C． D．﹣
【分析】根据平方根的含义和求法，可得9的平方根是：±＝±3，据此解答即可．
【解答】解：9的平方根是：
±＝±3．
故选：B．
2．（3分）成人每天维生素D的摄入量约为0.00000046克，将数据0.00000046用科学记数法表示为（ ）
A．4.6×10﹣6 B．4.6×10﹣7 C．0.46×10﹣6 D．46×10﹣6
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000046＝4.6×10﹣7．
故选：B．
3．（3分）如图，已知直线a∥b．直角三角板ABC的直角顶点C在直线b上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A．40° B．60° C．55° D．50°
【分析】根据平行线的性质求出∠3的度数，再根据∠2＝∠ACB﹣∠3即可得出答案．
【解答】解：∵直线a∥b，∠1＝50°，
∴∠3＝50°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠2＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣50°＝40°．
故选：A．
4．（3分）已知函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【分析】根据正比例函数的定义得出m2﹣3＝1，m+1＜0，进而得出即可．
【解答】解：∵函数y＝（m+1）是正比例函数，且图象在第二、四象限内，
∴m2﹣3＝1，m+1＜0，
解得：m＝±2，
则m的值是﹣2．
故选：B．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a4＝a12 B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣6a﹣9 D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及乘法公式、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、a3•a4＝a7，故此选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故此选项正确；
C、（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，故此选项错误；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，垂足为E，AD平分∠BAC，MD⊥AB于点M，ND⊥AC的延长线于点N，已知MB＝4，则CN＝（ ）
A．5 B．2 C．4 D．4
【分析】因为ED是BC的垂直平分线，那么BD＝CD，而AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，根据角平分线的性质可得DM＝DN，再根据HL可判定Rt△BMD≌Rt△CND，从而有BM＝CN．
【解答】解：连接BD，如图：
∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM＝DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN＝4，
故选：C．
7．（3分）已知点A的坐标为（1，0），直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线为l，点B在直线l上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣2，﹣2） D．（0，﹣1）
【分析】直线y＝x﹣1关于y轴对称的直线l为y＝﹣x﹣1，当AB与直线y＝﹣x﹣1垂直时，AB最短．因为（1，0）在直线y＝x﹣1上，所以直线y＝x﹣1与直线y＝﹣x﹣1的交点即为B点，
【解答】解：由直线y＝x﹣1可知直线与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点为D（0，﹣1），
∴直线l与x轴的交点为E（﹣1，0），
∴OC＝OD＝OE，
∴∠DCO＝∠CDO＝45°＝∠EDO＝∠DEO，
∴∠EDC＝90°，
∵点A的坐标为（1，0），
∴C点即为A点，
当AB与直线y＝﹣x﹣1垂直时，AB最短．
∴当B与D重合时，AB最短，
故B点坐标为（0，﹣1）．
故选：D．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝2．点P为对角线AC上的一个动点，过P作EF⊥AC交CD于点E，交AB于点F，将△AEF沿EF折叠，点A的对应点恰好落在对角线AC上的点G处，若△CBG是等腰三角形时，则AP的长为（ ）
A．3﹣或 B．3﹣或2 C．6﹣2或4 D．6﹣2或
【分析】分两种情形①CG＝CB，②GC＝GB，分别求解即可解决问题；
【解答】解：在菱形ABCD中，∵∠A＝60°，AD＝2，
∴AC＝6，
①当CG＝BC＝2时，AG＝AC﹣CG＝6﹣2，
∴AP＝PG＝3﹣．
②当GC＝GB时，易知GC＝2，AG＝4，
∴AP＝AG＝2，
故选：B．
9．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝67.5°，连接BD．若∠ADB＝90°﹣∠BDC，⊙O的半径为4，则BC的长为（ ）
A． B．8 C．8 D．7
【分析】作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，计算出∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，根据圆周角定理可判断AE为⊙O的直径，连接OB、OC，证明＝得到∠ABC＝∠ACB＝67.5°，则∠BAC＝45°，
所以∠AOC＝90°，然后根据等腰直角三角形的性质可得到BC的长．
【解答】解：作∠BDC的平分线交⊙于E，连接AE，如图，
∵∠BDE＝∠BDC，∠ADB＝90°﹣∠BDC，
∴∠ADB+∠BDE＝90°，即∠ADE＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
连接OB、OC，
∵∠BDE＝∠CDE，
∴＝，
∴＝，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠AOC＝2∠BAC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴BC＝OB＝4×＝8．
故选：C．
10．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c过A（m，n），B（m﹣4，n），且它与x轴只有一个公共点，则n的值是（ ）
A．4 B．﹣4 C．6 D．16
【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是x＝m﹣2．根据抛物线与x轴只有一个公共点可设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2，直接将A（m，n）代入，通过解方程来求n的值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（m，n）、B（m﹣4，n），
∴对称轴是x＝m﹣2．
又∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，
∴顶点为（m﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y＝（x﹣m+2）2
把A（m，n）代入，得n＝（m﹣m+2）2＝4，
即n＝4．
故选：A．
二、填空题（共4小题，每题3分，共12分）
11．（3分）比较大小： ＞ 4．
【分析】先把带根号的化简，再比较大小即可．
【解答】解：∵＝4，
∴＞4．
故答案为＞．
12．（3分）如图，A，B，C，D为一个正多边形的相邻四个顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则从该正多边形的一个顶点出发共有 7 条对角线．
【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理得到∠AOB＝2∠ADB，可求得多边形的边数，进而求得正多边形从一顶点出发对角线的条数．
【解答】解：连接OA，OB，如图，
∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
∵∠ADB＝18°，
∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，
∴这个正多边形的边数＝＝10，
∴从正十边形一个顶点出发共有7条对角线．
故答案为：7．
13．（3分）在平面直角坐标系中，若函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），B（1，6），C（﹣4，m）其中的两点，则m＝ ．
【分析】根据已知条件判断函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），即可得到结论．
【解答】解：∵函数y＝（a为常数）中，﹣a2﹣1＜0，
∴函数图象在二、四象限，
∵点A（﹣2，3）在第二象限，B（1，6）在第一象限，
∴点C（﹣4，m）在第二象限，
∵函数y＝（a为常数）的图象经过A（﹣2，3），C（﹣4，m），
∴﹣2×3＝﹣4m，
∴m＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝，BC＝4，点E，F分别是AD，CD的三等分点，连接BE，BF，EF，若四边形ABCD的面积9，则△BEF的面积是 ．
【分析】过点A作AG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，求得S△ABC、S△ACD的值，再证明△DEF～△DAF，利用面积比的关系得到△DEF的面积，再利用同高的两个三角形面积比为底之比得到△ABE和△BFC面积之和，最后利用S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△DEF﹣（S△ABE+S△BFC）关系求得结果．
【解答】解：过点A作AG⊥BC交BC延长线于点G，连接BD、AC，如图．
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABG＝60°．
∴AG＝sin60°×AB＝．
∴S△ABC＝＝3．
∴S△ACD＝S四边形ABCD﹣S△ABC＝9﹣3＝6．
∵，∠ADC＝∠ADC，
∴△DEF～△DAF．
∴＝，
∴S△DEF＝．
又∵，
∴，同理可得：，
∴S△ABE+S△BFC＝（S△ABD+S△BDC）＝•S四边形ABCD＝＝3，
∴S△BEF＝S四边形ABCD﹣S△DEF﹣（S△ABE+S△BFC）
＝9﹣﹣3
＝．
故答案为：．
三、解答题（共11小题，共78分，解答应写出过程）
15．（5分）计算：|2﹣3|﹣（﹣1）0+（）﹣1+．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2﹣1+4+3
＝6+．
16．（5分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a从﹣3，﹣2，﹣1中取一个你认为合适的数代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣3，﹣2，﹣1中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（﹣a+1）÷，
＝
＝
＝
＝﹣（a+1）
＝﹣a﹣1，
∵（a+2）（a﹣2）≠0，a+1≠0，
∴a≠±2，a≠﹣1，
∴a＝﹣3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣（﹣3）﹣1＝3﹣1＝2．
17．（5分）已知菱形ABCD及其外一点P，点O为菱形的中心，请你用尺规在菱形ABCD的边AB上找一点M，使得OM⊥PM．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】先作OP的垂直平分线得到OP的中点，然后以OP为直径作圆交AB于M，则根据圆周角定理得到OM⊥PM．
【解答】解：如图，点M为所作．
18．（5分）如图，在△ABC中，点E为边BC的中点，连接AE，点D为线段AE上的一点（不与A，E重合），连接BD、CD，若BD＝CD，求证：∠ADB＝∠ADC．
【分析】通过证明△BDE≌△CDE可得∠ADB＝∠ADC，进而可证明结论．
【解答】证明：∵点E为边BC的中点，
∴BE＝CE，
在△BDE和△CDE中，
，
∴△BDE≌△CDE（SSS），
∴∠BDE＝∠CDE，
∵∠BDE+∠ADB＝∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC．
19．（7分）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答下面的问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）所调查学生测试成绩的平均数为 8.56 ，中位数为 9 ．众数为 10 ；
（3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图；
（2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可；
（3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况．
【解答】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%，
所以本次抽样人数为：10÷20%＝50（人），
因为成绩9分的人数占抽样人数的24%，
所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如下：
（2）所调查学生测试成绩的平均数为：
＝8.56；
把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9，所以该组数据的中位数为：9；
该组数据中，10分出现的次数最多，所以众数为：10．
故答案为：8.56，9，10．
（3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占：20%+24%+32%＝76%，
所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有：1500×76%＝1140（人）．
答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人．
20．（7分）如图，海上有一灯塔P，位于小岛A南偏西68°方向上，一艘轮船从小岛A出发，沿北偏西67°方向航行120海里到达B处，这时测得灯塔P在南偏东7°方向上，求此时轮船与灯塔P的距离（结果保留根号）．
【分析】过P作PF⊥AB于F，先求出∠PAB＝45°，∠ABP＝60°，再证△APF是等腰直角三角形，∠BPF＝30°，则PF＝AF，BP＝2BF，BF＝PF，设PF＝AF＝x海里，则BF＝x海里，BP＝x海里，然后由AF+BF＝AB得出方程，解方程即可解决问题．
【解答】解：过P作PF⊥AB于F，如图所示：
由题意得：AB＝120海里，∠PAE＝68°，∠BAD＝67°，∠PBC＝7°，BC∥DE，
∴∠PAB＝180°﹣68°﹣67°＝45°，∠ABC＝∠BAD＝67°，
∴∠ABP＝∠ABC﹣∠PBC＝67°﹣7°＝60°，
∵PF⊥AB，
∴∠PFA＝∠PFB＝90°，
∴△APF是等腰直角三角形，∠BPF＝90°﹣60°＝30°，
∴PF＝AF，BP＝2BF，BF＝PF，
设PF＝AF＝x海里，则BF＝x海里，BP＝x海里，
∵AF+BF＝AB，
∴x+x＝120，
解得：x＝60（3﹣），
∴x＝120﹣120，
即BP＝（120﹣120）海里，
答：此时轮船与灯塔P的距离为（120﹣120）海里．
21．（7分）儿童用药剂量常常按他们的体重来计算某种药品用药剂量计算方法为：体重小于等于5kg时，用药量为amg，体重在5～50kg（含50kg）范围内每增加1kg，药量增加3mg，体重大于50kg时药量不再增加，设体重为m（kg）的儿童用药量为n（mg）．
（1）写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）上周小宇生病，按照说明书要求服用该药物140mg，他的体重为45kg；现在小明生病也需服用该药物，已知小明的体重为52kg，请你帮他计算用药量．
【分析】（1）根据题意分两种情况写出体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式；
（2）将m＝45，n＝140代入（1）中求得的解析式，求出a的值，再求出50kg时的药量即可求解．
【解答】解：（1）m＜5时，n＝a，
5≤m≤50时，n＝a+3（m﹣5）＝a+3m﹣15，
∴体重在50kg以内的n与m之间的函数表达式为；
（2）m＝45，n＝140时，
140＝a+3×45﹣15，解得：a＝20，
∴m＝50时，n＝20+3×50﹣15＝155（mg）．
∵体重大于50kg时药量不再增加，
∴小明的体重为52kg，用药量为155mg．
22．（7分）甲、乙两位同学做一个抽卡片游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的4张卡片上分别标上数字2、3、4、5，将这4张卡片放入一个不透明盒子中搅匀，参与者每次从中随机抽取一张卡片，记录数字，然后将卡片放回搅匀．
（1）甲随机抽取卡片16次，其中6次抽取标有数字3的卡片，求这16次中抽取标有数字3的卡片的频率；
（2）甲，乙两位同学各抽取卡片一次，若取出的两张卡片数字之和为3的倍数，则甲胜；若取出的两张卡片数字之和不为3的倍数，则乙胜，请用画树状图或列表的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出符合条件的结果数，然后根据概率公式求出各自获胜的概率，最后进行比较即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有4张卡片，分别标由数字2、3、4、5，
∴这16次中抽取标有数字3的卡片的频率是；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中取出的两张卡片数字之和为3的倍数的有5种，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的有11种，
则取出的两张卡片数字之和为3的倍数的概率是，取出的两张卡片数字之和不为3的倍数的概率是，
∵＜，
∴这个游戏规则对双方是不公平．
23．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点O在AB上，BC＝CD，过C作AD的垂线，分别交AB，AD的延长线于点E，F．
（1）求证：EF为⊙O的切线．
（2）若点G为⊙O上一点且位于AB下方，且cos∠BGD＝，BE＝1，求AD的长．
【分析】（1）连接OC，AC，由圆周角定理得出∠DAC＝∠BAC，由等腰三角形的性质得出∠OAC＝∠OCA，证出OC∥AF，则OC⊥EF，可得出结论；
（2）先利用OC∥AF得到∠COE＝∠DAB，在Rt△OCE中，设OC＝r，利用余弦的定义得到，解得r＝2，连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，然后根据余弦的定义可计算出AD的长．
【解答】（1）证明：连接OC，AC，如图，
∵BC＝CD，
∴＝，
∴∠DAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵AF⊥EF，
∴OC⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BD，OC，
∵OC∥AF，
∴∠COE＝∠DAB，
∴∠DAB＝∠BGD，
在Rt△OCE中，设OC＝r，
∵cos∠COE＝cos∠DAB＝，即，解得r＝2，
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，cos∠DAB＝，
∴AD＝×4＝．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴为直线x＝1.5，与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q．请问是否存在这样的点P、Q使得△PQB与△CAB相似．若存在，请求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由A、B关于对称轴对称，得B（4，0），把A、B代入抛物线解析式，得a，b的值，即可求抛物线解析式；
（2）设P（x，0）则Q（x，0.5x2﹣1.5x﹣2），在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝，在Rt△BOC中，由勾股定理得BC＝2，AB＝5，由勾股定理逆定理得△ABC是直角三角形，由题意△PQB∽△CAB，①AC：PQ＝BC：BP，此种情况不合题意；②AC：PB＝BC：PQ，利用两点间距离公式，可以用x表示出AC、PB、BC、PQ的距离，根据对应线段成比例可得出x的值，即得出Q的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴是x＝1.5且A（﹣1，0），
∴B（4，0），
∴，
解得，
∴y＝0.5x2﹣1.5x﹣2；
（2）如图，
设P（x，0），
则Q（x，0.5x2﹣1.5x﹣2），
由题得AC＝＝，
BC＝＝2，
AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
由△PQB与△CAB相似可得，
①AC：PQ＝BC：PB，
则0.5x＝，
得x＝0或x＝4，
经检验，x＝0与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（0，﹣2）；
②AC：PB＝BC：PQ，
则＝，
得x＝3或x＝4，
经检验，x＝3与x＝4均为根，但x＝4不合题意，
∴Q（3，﹣2），
综上，存在P，Q，
Q为（0，﹣2）或（3，﹣2）．
25．（12分）问题提出：
（1）如图①，△AOB与△OCD均为等边三角形，点C在OA上，点D在OB上，固定△AOB不动，让△OCD绕点O逆时针旋转，当OC∥AB时，则旋转角α＝ 60°或240° ．
问题探究：
（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l垂足为D且AD＝6，∠BAC＝60°．求△ABC面积的最小值．
问题解决：
（3）如图③，是某市“城市花卉公园”的设计示意图，已知四边形ABCD为矩形，AD边上的点E为公园入口，AE＝4千米，AB边上的点F为休息区，BF＝8千米，AF＝4千米．公园设计师拟在园内修建三条小路将这个园区分为四个区域，用来种植不同的花卉．其中GC为消防通道，FG和FH为两条观光小路（小路宽度不计，G在CE边上，H在BC边上），根据实际需要∠GFH＝75°，∠CED＝45°，点B为园区内的花卉超市，游客可乘车由入口E经观光路线EG→GF→FH→HB到花卉超市B购买不同品种花卉．为了快捷、环保和节约成本，要使观光路线EG+GF+FH+HB的值最小，请问设计师的想法能否实现？如能，请求出EG+GF+FH+HB的最小值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）当△OCD旋转到图示位置时，满足题设要求，此时的旋转角为60°，在此基础上继续旋转180°（即旋转角为240°）也满足题设要求，即可求解；
（2）当A、O、E三点共线时，△ABC面积的最小，此时AE＝AD＝6，进而求解；
（3）证明当GF＝FH时，EG+GF+FH+HB＝2（FH+BH）最小，进而求解．
【解答】解：（1）如图，
当△OCD旋转到图示位置时，满足题设要求，此时的旋转角为60°，
在此基础上继续旋转180°（即旋转角为240°）也满足题设要求，
故答案为60°或240°；
（2）作△ABC的外接圆O，故点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BCO＝120°＝2∠BOE，则∠BOE＝60°，
设圆的半径为r，
在Rt△BOE中，OE＝r，BE＝r，则BC＝2BE＝r，
当A、O、E三点共线时，△ABC面积的最小，此时AE＝AD＝6，
即r+r＝6，解得r＝4，
则△ABC面积＝×AD×BC＝6×r＝3×4＝12；
（3）连接EF、CF，
∵AE＝AF＝4，则∠AEF＝45°
∵CED＝45°，
∴∠CEF＝90°，
∵BF＝8，则CD＝8+4＝CE，
∴BC＝AD＝DE+AE＝8+4+4＝8+8，
则EF＝CD＝8＝BF，
即EF＝BF，CE＝CB，
而CF＝CF，
∴△CEF≌△CBF（SSS），
∴∠FCE＝∠FCB，
∴CF平分∠ECB，∠EFC＝∠BFC，
故当GF＝FH时，EG+GF+FH+HB＝2（FH+BH）最小，
此时，∠EFG＝∠BFH＝（180°﹣75°﹣45°）＝30°，
在Rt△BFH中，BH＝FBtan30°＝，则FH＝，
故EG+GF+FH+HB最小值为＝2（FH+BH）＝16．
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