上海市静安区2021届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学试题（含答案）

静安区2020学年第二学期教学质量检测

                 高三数学试卷           2021.04

一. 填空题（本大题共8题，每题6分，共48分）

1．的展开式中项的系数是       ．

2．设变量x，y满足约束条件则的最大值为       ．

3. 已知奇函数的周期为2，且当时，

．则的值为       ．

4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面

积为       ．

5．投掷两颗六个面上分别刻有1到6的点数的均匀的骰

子，得到其向上的点数分别为和，则复数

为虚数的概率为       ．

6．某茶农打算在自己的茶园建造一个容积为500立方米的长方体无盖蓄水池，要求池底面的长和宽之和为20米．若每平方米的池底面造价是池侧壁的两倍，则为了使蓄水池的造价最低，蓄水池的高应该为       米．

7．如图，在直角梯形ABCD中，，，

，，为梯形的腰上的动点，则

的最小值为       ．

8．已知桶中盛有2升水，桶中盛有1升水．现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；若如此继续操作下去，则桶中的水比桶中的水多       升．

二、选择题（本大题共3题，每题6分，共18分）

9．函数的反函数为                                        （    ）．

A．;               B．;

C．;               D．．

10．某高科技公司所有雇员的工资情况如下表所示．

该公司雇员年薪的标准差约为                                      （    ）．

A．24.5（万元）;   B．25.5（万元）;   C．26.5（万元）;   D．27.5（万元）．

11．在1,2,3,4,5,6,7中任取6个不同的数作为一个3行2列矩阵的元素，要求矩阵的第2行的两个数字之和等于5，而矩阵的第1行和第3行的两个数字之和都不等于5，则可组成不同矩阵的个数为                                          （    ）．

A．204;           B．260;            C．384;            D．480．

三、解答题（本大题共有5题，共84分）

12．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题满分8分）

已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足．

（1）求四面体的体积;

（2）请计算：

①直线与所成角的大小;

②直线与平面所成的角的大小．

13．（本题满分14分；第1小题7分，第2小题7分）

设(常数)，且已知是方程的根．

（1）求函数的值域;

（2）设常数，解关于x的不等式：

14．（本题满分16分；第1小题7分，第2小题9分）

已知椭圆的左焦点为，为坐标原点．

（1）求过点、，并且与抛物线的准线相切的圆的方程;

（2）设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围．

15．（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）

将正奇数1,3,5,7,按上小下大、左小右大的原则排成如下的数阵，已知由上往下数，从第2行开始，每一行所有的正整数的个数都是上一行的2倍．设是位于这个数阵中第行（从上往下数）、第列（从左往右数）的数．

（1）设，求数列的通项公式;

（2）若，求、的值;

（3）若记这个数阵中第行各数的和为，

数列的前n项和为，求极限

的值．

16．（本题满分22分，第1小题7分，第2小题7分，第3小题8分）

如图所示，在平面直角坐标系中，点绕坐标原点旋转角至点．

（1）试证明点的旋转坐标公式：

（2）设，点绕坐标原点旋转角至点，点再绕坐标原点旋转角至点，且直线的斜率，求角的值;

（3）试证明方程的曲线是双曲线，并求其焦点坐标．

静安区2020学年第二学期教学质量检测高三数学试卷

答案与评分参考标准

一.  1．70；   2．3；    3．1；   4．；

5. ；    6．5；    7．5；   8. ．

二、9．B； 10．B； 11．C．

12．解：（1）由已知，有，，

              ①           （2分）

又由已知，有    ②

由①②可得是三棱锥的高， （2分）

所以，           （2分）

（2）分别以、、为坐标轴

建立空间直角坐标系．    （1分）

则有，，，,，（1分）

，，

①设与所成角的大小为，

则．

故，与所成角的大小为．          （3分）

②设为平面的一个法向量，与所在的直线所成的角为,

则即

令，得.

故，与平面所成的角为.   （3分）

注：用几何的方法同样给分。

13．解：（1）将代入方程，解得，   

故．                                      （2分）

令，则．       （4分）

故，的值域为．           （1分）

（2）()，

()，

即，()．                          （3分）

1）当时，不等式的解集为；               （1分）

2）当时，不等式的解集为；                     （1分）

3）当时，不等式的解集为．                （1分）

4）当时，不等式的解集为．        （1分）

14．解：抛物线的准线为．                       （1分）

圆过点、，圆心在直线上．

设，则圆的半径为                 （2分）

由，得

解得                                               （2分）

于是，所求圆的方程为                  （1分）

（2）设直线的方程为，代入，整理得

                                     （2分）

因为直线过椭圆的左焦点，所以方程有两个不相等的实根．

记，，中点，则

，．                          （1分）

直线的垂直平分线的方程为                （2分）

令，则   （2分）

因为，所以

故，点的横坐标的取值范围                              （2分）

15．解：（1）由已知，这个数阵的第n行有个数，

所以，前行一共有个数

         （6分）

（用数学归纳法证明同样给分）

（2）令，满足不等式的最大整数为10．（3分）

解得                                   （3分）

所以，                       

（3）由题意，，   （2分）

，

，

，                                              （2分）

                    （2分）

16．解：（1）设将x轴正半轴绕坐标原点旋转角至点，， （1分）

则，由任意角的三角比定义，有和       （2分）

所以，                               （2分）

将代入，得                        （2分）

（2）方法1：设点，的坐标分别为，，

由点的旋转坐标公式，有与               （2分）

由直线的斜率，得，           

                                        （2分）

，或

或，                                 （2分）

，

、、．                                                （1分）

方法2：由三角比的定义，可得点设点的坐标分别为，即；同理可得的坐标为，

以下与解法1相同．

（3）设为方程的曲线上任意一点，将点绕坐标原点旋转角至点．

则，                            

可解得①                                           （1分）

注：以上这个反解可以省略，后面的方程不同，但不影响证明结论．

将①代入方程，得，

整理，得．

令，可解得，是该方程的解，       （2分）

所以，将方程的曲线按顺时针旋转，所得曲线的方程为：

．                                                                  

故，曲线是以和为焦点的双曲线．                            （2分）

又因为双曲线是由曲线绕坐标原点旋转而得到的，所以曲线也是双曲线．（1分）

将点按逆时针旋转，得到点，

所以，双曲线的焦点坐标为与．                         （2分）