上海市长宁区2021届高三下学期4月教学质量检测（二模）数学（含答案）

长宁区2020学年第二学期高三教学质量检测试卷

数学

考生注意：

1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．

2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．

3．本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1. 设集合，，则         .

2. 复数满足（为虚数单位），则        .

3. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是        .

4. 若向量，，则向量与的夹角为__________．

5. 若实数满足，则的最小值为        .

6. 函数的最小正周期为__________．

7. 在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则　．

8. 在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是       .

9. 设数列的前项和为，，，则    .

10. 定义域为的奇函数，在上单调递减. 设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为       .

11. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点. 若，且，则实数的值为        ．

12. 在中，，，若的面积为，则       .

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13. 设（），则“图像经过点”是“是偶函数”的（  ）.

    A. 充分非必要条件；              B. 必要非充分条件 ；

C. 充要条件；                    D. 既非充分又非必要条件.

14.  直线的参数方程是，则的方向向量可以是（  ）.

A．；     B．；      C．；    D．.

15. 设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱、、所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（   ）个.

A．1；         B．2；         C．3；       D．4.

16. 已知函数与满足：

对任意，都有.

命题：若是增函数，则不是减函数；

命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值.

则下列判断正确的是（    ）.

A. 和都是真命题             B. 和都是假命题      

C. 是真命题，是假命题       D. 是假命题，是真命题

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点. 已知，.

（1）求圆柱的侧面积；

（2）求证：

18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

设.

（1）若，求的值；

（2）设，若方程有两个解，求的取值范围.

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：

（其中（为自然对数的底2.71828…），该生物出生时）.

（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；

（2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）.

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点．

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）若，求点纵坐标的值；

（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为. 若、、三点共线，求证：为定值．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

数列满足：，，且对任意，都有，.

（1）求，，；

    （2）设，求证：对任意，都有；

（3）求数列的通项公式.

2020学年第二学期高三数学质量检测试卷

参考答案与评分标准

一．填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7---12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．      2．            3．           4．       

5．          6．              7．             8．

9．           10．         11．             12． 

二．选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13.  C     14.  B    15.   D   16 .  C

三、解答题（本大题共有5题，满分76分）  解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤．

17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）因为，，

所以，                             …….2

所以圆柱的侧面积为      ……6

(2)因为底面，所以    …….3

又因为，所以平面     …….6

因为平面，所以.     …….8

18．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）

解：（1）因为，所以   …..2

            ……4

                     …….6

                                      …….8

   （2）              

                             …..…2

由及

得       …..…3

因为在内的解为和          ….….4

所以，解得               ….….6

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）解不等式，

得，                  ……..2

所以          ……..5

所以需要经过年                ……6

（2）  

              ………3

因为，所以，………5

又因为（当时取等），………6

所以              

所以最大为1.24（当时取得）.    ……8

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）双曲线的渐近线方程为；    ……4

（2）点的坐标为，                     ………1

设，则                   …….2

因为点在双曲线上，所以，代入上式，

得，解得或             …….4

因为，所以.                           ……6

（3）设，，直线的方程为   ……1

则                          ……..2

因为、、三点共线，所以      …….3

得，因为，

所以   …*              ………4

将代入双曲线方程

得

，，代入*式得     …….6

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解：（1），得；                   ……..1

由，，得；        …….2

当时，，           ……..3

又由，得，与矛盾，所以，.   ……..4

（2）假设存在，使得，即，则    …….1

由，及，得，          ………3

由，及，得  ……4

得，与矛盾，     ………5

所以对任意，都有.                 ……..6

（3）由（2）知            ……..2

所以对任意，都有     ………4

当时，得，

又由 ，得，                      ………6

设，由，及

得                      ………7

所以对任意，，进而        ……….8