2022年上海市静安区高考二模数学试题（含答案）

2021学年第二学期高三数学学科适应性练习     

试卷满分：150分     考试时间：120分钟

考生注意：

    1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2.本考试分设试卷和答题纸. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

一、填空题（本大题共12题，满分54分）第1-6题，每题4分，第7-12题，每题5分

1. 已知集合，，则__________.

2. 已知复数z满足，其中i是虚数单位，则z的虚部为__________.

3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.

4. 解指数方程：__________.

5. 已知椭圆（）的一个焦点坐标为（0,1），则 =__________.

6. 直线l的方向向量，且经过曲线的中心，则直线l的方程为__________.

7. 函数的定义域是__________.

8. 若实数满足约束条件，则的最小值为__________.

9. 若函数的反函数为，则不等式的解集是__________.

10. 上海进博会是世界上第一个以进口为主题的国家级展览会，每年举办一次.现有6名志愿者去两个进博会场馆工作，每个场馆都需要3人，则甲乙两人被分配到同一个场馆的概率是__________.

11. 数列满足，，若对于大于2的正整数，，则__________.

12. 已知函数若对任意，当时，

总有成立，则实数的最大值为__________.

二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）

13. 2022年2月4日至2月20日春节期间，第24届冬奥会在北京市和张家口市联合举行.共有个冬奥村供运动员和代表队官员入住，其中北京冬奥村的容量约为人，延庆冬奥村的容量约人，张家口冬奥村的容量约人.为了解各冬奥村服务质量，现共准备了份调查问卷，采用分层抽样的方法，则需在延庆冬奥村投放的问卷数量是（      ）.

（A）58份            （B）50份            （C）32份        （D）19份

14. 设=(x，y)，=(m，n)，且，均为非零向量，则“”是“∥”的   (     ）条件

（A）充分非必要     （B）必要非充分     （C）充要      （D）既非充分又非必要

15. 中国古代建筑使用榫卯结构将木部件连接起来，构件中突出的部分叫榫头，凹进去的部分叫卯眼，图中摆放的部件是榫头，现要在一个木头部件中制作出卯眼，最终完成一个直角转弯结构的部件，那么卯眼的俯视图可以是（      ）.

（A）           （B）                    （C）               （D）

16. 在下列判断两个平面α与β平行的4个命题中，真命题的个数是（     ）.

（1）α、β都垂直于平面r，那么α//β.

（2）α、β都平行于平面r，那么α//β.

 （3）α、β都垂直于直线l，那么α//β.

（4）如果l、m是两条异面直线，且l//α，m//α，l//β，m//β，那么α//β.

（A）0       （B）1       （C）2         （D）3

三、解答题（本大题共5题，满分76分）

17.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分

在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，对角线AC与BD相交于点O，PO⊥平面ABCD，PB与平面ABCD所成的角为60．

（1）求四棱锥P－ABCD的体积；

（2）若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

18.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分

设函数.

（1）若，且函数与的图像有横纵坐标均为正整数的交点，求m的值；

（2）设，，在锐角△ABC中，内角对应的边分别为，若，，求△ABC的面积.

19.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分

某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润=一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本+一年的管理费）.（单位：万元）

 （1）求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式；

 （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值.

20．（本题满分16分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题5分，第3小题7分

如图，点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点，且的中点均在抛物线C上.

（1）若，点A在第一象限，求此时点A的坐标；

（2）设中点为，求证：直线轴；

（3）若是曲线上的动点，求面积的最大值.

21．（本题满分18分）本题共3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分

若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质A”.

①()；②存在实数，使得对任意，有成立.

（1）设，试判断是否具有“性质A”；

（2）设递增的等比数列的前n项和为，若，证明：数列具有“性质A”，并求出A的取值范围；

（3）设数列的通项公式，若数列具有“性质A”，其满足条件的A的最大值，求的值.

高三数学适应性练习答案

一、填空题

1.  2. 1    3.3    4.

5.    6.

第1——6题每题答对得4分，答错或者不是最后结果一律不得分.

7.      8.        9.      10.     11.      12. 1

第7——12题每题答对得5分，答错或者不是最后结果一律不得分.

二、选择题

13.  C         14. A         15. B        16. D

三、解答题

17.（1）因为底面是边长为2的菱形，∠DAB＝60，PB与平面ABCD所成的角为60，所以高；

底面积, 四棱锥P－ABCD的体积V==2.

（2）因为PO⊥平面ABCD，以O为原点，分别轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.

则PB的中点.

，，

设异面直线DE与PA所成角的大小为，则=.

异面直线DE与PA所成角的大小为.

18.（1）交点为，即，

，

又因为，所以取，所以或.

（2），

因为，得，即或，或，

又为锐角三角形，所以.

，解得.

所以.

19. （1），.

（2），

因为9，所以，

等号当且仅当即时成立，

此时最大，最大值为9万元.

当每袋桃酥的售价为9元时，该超市一年的利润最大，最大利润9万元.

20.（1）设点，则，所以中点坐标为代入，得，所以，即.

（2）设，所以中点代入，得 .

同理，.

所以，是方程（*）的两根.

由韦达定理：，又中点为，所以，

所以，即直线轴.

（3）当轴时，，所以（*）化为，即

所以.

当的斜率存在时，方程为,

即，所以

即，所以

.

又点到直线的距离

故.

又，得，故,

由，.

综上，，所以的面积的最大值为.

21.（1），所以当时，有成立；

又，所以，

所以数列具有“性质A”.

，所以，所以数列不具有“性质A”.

（2）由题意，，数列的通项公式,

所以（>4）恒成立.

又,

所以对成立，所以数列具有“性质A”，且.

（3），由于数列具有“性质A”，则

即，整理得

，

得：，得对成立，所以，得.

又当时，，且，

所以满足条件的的最大值，所以.