2023年上海市静安区高考数学二模试卷（含答案解析）

这是一份2023年上海市静安区高考数学二模试卷（含答案解析），共14页。

3. 若复数z=21+i(i为虚数单位)，则|z−i|=______ .
4. 已知A(1,2),B( 3,−1)两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为______ .
5. 已知α∈(0,π)，且3cs2α−8csα=5，则csα=______ .
6. 已知△ABC中，sinA=3sinCcsB，且AB=2，则△ABC面积的最大值为______ .
7. 已知函数f(x)=ax2x+1(a>0)为偶函数，则函数f(x)的值域为______ .
8. 已知向量a=(1, 3)，且a，b的夹角为π3，(a+b)⋅(2a−3b)=4，则b在a方向上的投影向量等于______ .
9. 某运动生理学家在一项健身活动中选择了10名男性参与者，以他们的皮下脂肪厚度来估计身体的脂肪含量，其中脂肪含量以占体重(单位：kg)的百分比表示.得到脂肪含量和体重的数据如下：
建立男性体重与脂肪含量的回归方程为：______ .(结果中回归系数保留三位小数)
10. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为正方形BCC1B1的中心，则直线EF与侧面BB1C1C所成角的正切值是______ .
11. 今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎.标识质量为500g的这种袋装奶糖的质量指标X是服从正态分布N(500,2.52)的随机变量.若质量指标介于495g(含)至505g(含)之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为______ %.(结果保留一位小数)
(已知Φ(1)≈0.8413，Φ(2)≈0.9772，Φ(3)≈0.9987.Φ(x)表示标准正态分布的密度函数从−∞到x的累计面积)
12. 若10x−10y=10，其中x，y∈R，则2x−y的最小值为______ .
13. 若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l//α的是( )
A. a=(1,0,0)，n=(−2,0,0)B. a=(1,3,5)，n=(1,0,1)
C. a=(1,−1,3)，n=(0,3,1)D. a=(0,2,1)，n=(−1,0,−1)
14. 摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“SkyRing”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，h=−28cs(πt6)+78.若在t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，则t1+t2的最小值为( )
A. 6B. 12C. 18D. 24
15. 设直线l1：x−2y−2=0与l2关于直线l：2x−y−4=0对称，则直线l2的方程是( )
A. 11x+2y−22=0B. 11x+y+22=0
C. 5x+y−11=0D. 10x+y−22=0
16. 函数y=xlnx( )
A. 严格增函数
B. 在(0,1e)上是严格增函数，在(1e,+∞)上是严格减函数
C. 严格减函数
D. 在(0,1e)上是严格减函数，在(1e,+∞)上是严格增函数
17. 已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an=2an−1+3(正整数n≥2).
(1)求证：数列{an+3}是等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
18. 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD//BC//FE，AB⊥AD，若AD=2，AF=AB=BC=FE=1.
(1)求五面体ABCDEF的体积；
(2)若M为EC的中点，求证：平面CDE⊥平面AMD.
19. 已知双曲线:x2a2−y2b2=1(其中a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(−c,0)、F2(c,0)(其中c>0).
(1)若双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为y= 22x；直线l的倾斜角为π4，在y轴上的截距为−2.直线l与该双曲线交于两点A、B，M为线段AB的中点，求△MF1F2的面积；
(2)以坐标原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为P.过P作圆的切线，若切线的斜率为− 3，求双曲线的离心率.
20. 概率统计在生产实践和科学实验中应用广泛.请解决下列两个问题.
(1)随着中小学“双减”政策的深入人心，体育教学和各项体育锻炼迎来时间充沛的春天.某初中学校学生篮球队从开学第二周开始每周进行训练，第一次训练前共有6个篮球，其中3个是新球(即没有用过的球)，3个是旧球(即至少用过一次的球).每次训练，都是从中不放回任意取出2个篮球，训练结束后放回原处.设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求随机变量ξ的分布和期望.
(2)由于手机用微波频率信号传递信息，那么长时间使用手机是否会增加得脑瘤的概率？研究者针对这个问题，对脑瘤病人进行问卷调查，询问他们是否总是习惯在固定的一侧接听电话？如果是，是哪边？结果有88人喜欢用固定的一侧接电话.其中脑瘤部位在左侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有14人，习惯固定在右侧接听电话的有28人；脑瘤部位在右侧的病人习惯固定在左侧接听电话的有19人，习惯固定在右侧接听电话的有27人.
根据上述信息写出下面这张2×2列联表中字母所表示的数据，并对患脑瘤在左右侧的部位是否与习惯在该侧接听手机电话相关进行独立性检验.(显著性水平α=0.05)
参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中，n=a+b+c+d，P(K2≥3.841)≈0.05.
21. 已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx.(其中a为常数).
(1)若a=−2，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(2)当a<0时，求函数y=f(x)的最小值；
(3)当0≤a<1时，试讨论函数y=f(x)的零点个数，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】{1,0,2}
【解析】解：A∩B={0}，0∈A，lg2a=0，∴a=1，
则B={1,b}，又0∈B，∴b=0，
∴B={1,0}，A={2,0}，∴A∪B={1,0,2}.
故答案为：{1,0,2}.
根据A∩B={0}，求出a，b的值，从而确定A∪B.
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】1
【解析】解：因为{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a6成等差数列，
所以2a4=a2+a6，
即2a2q2=a2+a2q4，
所以q4−2q2+1=0，
则q2=1.
故答案为：1.
由已知结合等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及等比数列通项公式的应用，属于基础题．
3.【答案】 5
【解析】解：z=21+i=2(1−i)(1−i)(1+i)=1−i，
则|z−i|=|1−2i|= 12+(−2)2= 5.
故答案为： 5.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
4.【答案】y2112+x2113=1
【解析】解：根据题意，设要求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1，
则有m+4n=13m+n=1，解可得m=311n=211，
则要求椭圆的方程为：3x211+2y211=1，变形可得其标准方程为x2113+y2112=1.
故答案为：y2112+x2113=1.
根据题意，设要求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1，将点的坐标代入方程，求出m、n的值，变形可得答案．
本题考查椭圆的标准方程，涉及椭圆的几何性质，属于基础题．
5.【答案】−23
【解析】解：因为3cs2α−8csα=5，
所以3(2cs2α−1)−8csα=5，
整理可得3cs2α−4csα−4=0，
解得csα=−23或2(舍去).
故答案为：−23.
利用二倍角的余弦公式化简已知等式可得3cs2α−4csα−4=0，解方程即可求解csα的值．
本题考查了二倍角的余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
6.【答案】3
【解析】解：已知△ABC中，sinA=3sinCcsB，由正弦定理得：a=3ccsB，
故S△ABC=12acsinB=12⋅(6csB)⋅2⋅sinB=3sin2B≤3.
即△ABC面积的最大值为3.
故答案为：3.
直接利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7.【答案】(0,12]
【解析】解：函数的定义域为R，
因为f(x)为偶函数，所以f(1)=f(−1)，即a2+1=a−12−1+1，解得a=± 2(舍负)，
所以f(x)=( 2)x2x+1=1( 2)x+1( 2)x≤12 ( 2)x⋅1( 2)x=12，当且仅当( 2)x=1( 2)x，即x=0时，等号成立，
又( 2)x>0，所以f(x)的值域为(0,12].
故答案为：(0,12].
利用f(x)为偶函数，求得a= 2，化简可得f(x)=1( 2)x+1( 2)x，再结合基本不等式，得解．
本题考查函数奇偶性的应用，值域的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
8.【答案】14a
【解析】解：向量a=(1, 3)，
则|a|=2，
(a+b)⋅(2a−3b)=4，
则2a2−a⋅b−3b2=4，即8−2×|b|×12−3|b|2=4，解得|b|=1，
故b在a方向上的投影向量等于|b|csπ3×a|a|=14a.
故答案为：14a.
根据已知条件，结合平面向量的数量积公式，求出|b|，再结合投影向量的公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
9.【答案】y =0.186x+11.571
【解析】解：由表可知，x−=110×(89+88+66+59+93+73+82+77+100+67)=79.4，y−=110×(28+27+24+23+29+25+29+25+30+23)=26.3，
i=110xiyi=89×28+88×27+66×24+59×23+93×29+73×25+82×29+77×25+100×30+67×23=21175，
i=110xi2=892+882+662+592+932+732+822+772+1002+672=64622，
所以b =i=110xiyi−10x−y−i=110xi2−10x−2=21175−10×79.4×26.364622−10×79.42=292.81578.4≈0.186，a =y−−b x−=26.3−292.81578.4×79.4≈11.571，
所以男性体重与脂肪含量的回归方程为y =0.186x+11.571.
故答案为：y =0.186x+11.571.
根据回归系数的公式，计算b 与a 的值，即可得解．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】 22
【解析】解：连接BC1，
∵EB⊥平面BB1C1C，
则∠EFB为直线EF与侧面BB1C1C所成的角，
设|AB|=2，
则|BE|=1，|BF|= 2，
则tan∠EFB=|BE||BF|=1 2= 22，
则直线EF与侧面BB1C1C所成角的正切值是 22.
故答案为： 22.
由直线与平面所成角的作法可得∠EFB为直线EF与侧面BB1C1C所成的角，然后求解即可．
本题考查了直线与平面所成角的作法，重点考查了直线与平面所成角的求法，属基础题．
11.【答案】95.4
【解析】解：因为X是服从正态分布N(500,2.52)，
所以P(X>505)=P(X<495)=1−Φ(2)≈1−0.9772=0.0228，
则P(495故答案为：95.4.
根据正态分布的对称性及标准正态分布的概率取值情况即可得所求答案．
本题考查正态分布的应用，属于基础题．
12.【答案】1+2lg2
【解析】解：∵10x−10y=10，
∴10x=10y+10≥2 10y⋅10=2 10y+1，当且仅当10y=10，即y=1时，等号成立，
两边平方得：102x≥4×10y+1，
∴102x10y+1≥4，即102x−y−1≥4，
∴2x−y−1≥lg4，
∴2x−y≥1+lg4=1+2lg2，当且仅当y=1，x=1+lg2时，等号成立，
即2x−y的最小值为1+2lg2.
故答案为：1+2lg2.
由题意可知10x=10y+10，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
13.【答案】C
【解析】解：∵直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，
l//α，
∴a⋅n=0，
在A中，a=(1,0,0)，n=(−2,0,0)，a⋅n=−2≠0，故A错误；
在B中，a=(1,3,5)，n=(1,0,1)，a⋅n=6≠0，故B错误；
在C中，a=(1,−1,3)，n=(0,3,1)，a⋅n=0，故C正确；
在D中，a=(0,2,1)，n=(−2,1,0)，a⋅n=2≠0，故D错误．
故选：C.
由l//α，得a⋅n=0，由此能求出结果．
本题考查线面平行的条件的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意线面平行的性质的合理运用．
14.【答案】B
【解析】解：在转动一周的过程中，高度h关于时间t的函数解析式是：
h=−28cs(π6t)+78(t≥0)，当t=6时，h取得最大值，
所以t1，t2时刻，游客距离地面的高度相等，t1、t2关于t=6对称，
所以t1+t2的最小值是2×6=12，选项B正确．
故选：B.
根据高度h关于时间t的函数解析式求出对称轴，从而求出t1+t2的最小值．
本题考查了三角函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
15.【答案】A
【解析】解：直线l1：x−2y−2=0的斜率k1=12，直线l2的斜率为k2，直线l：2x−y−4=0的斜率k=2，
由于直线l1与直线l2关于直线l对称，
利用到角公式：k2−21+2k2=2−121+2×12，解得k2=−112，
由于x−2y−2=0 2x−y−4=0 ，解得x=2 y=0 ，
故直线l2的方程为y=−112(x−2)，整理得11x+2y−11=0.
故选：A.
直接利用到角公式求出直线l2的斜率，进一步利用二元一次方程组求出交点的坐标，最后利用点斜式求出直线l2的方程．
本题考查的知识要点：直线的方程的求法，到角公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
16.【答案】D
【解析】解：函数y=xlnx的定义域为(0,+∞)，
求导得y′=lnx+x⋅1x=lnx+1，
令y′=0得x=1e，
所以在(0,1e)上y′<0，y单调递减，
在(1e,+∞)上y′>0，y单调递增，
故选：D.
函数y=xlnx的定义域为(0,+∞)，求导得y′=lnx+1，分析y′的符号，进而可得f(x)的单调性．
本题考查利用导数分析函数的单调性，解题中需要理清思路，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：已知各项均为正数的数列{an}满足a1=1，an=2an−1+3(正整数n≥2)，
则an+3=2(an−1+3)，
又a1+3=4，
即数列{an+3}是以4为首项，2为公比的等比数列；
(2)解：由(1)可得an+3=4×2n−1=2n+1，
即an=2n+1−3，
则Sn=(22+23+...+2n+1)−3n=4×(1−2n)1−2−3n=2n+2−3n−4.
【解析】(1)由已知可得an+3=2(an−1+3)，然后求证即可；
(2)由(1)可得an=2n+1−3，然后结合等比数列前n项和的公式求解即可．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了等比数列前n项和的公式，属基础题．
18.【答案】解：(1)因为AD=2，AF=AB=BC=FE=1，取AD中点N，连接EN，CN，
因为AD//BC//FE，所以EN//AF，EN=AF=1，CN=AB=1，
又FA⊥平面ABCD，AN⊂平面ABCD，FA⊥AN，
所以EN⊥平面ABCD，又因为AB⊥AD，即AB⊥AN，AB∩FA=A，
AB，FA⊂平面FAB，所以AN⊥平面FAB，
所以ABF−NCE为底面是等腰直角三角形的直棱柱，高等于1，
三棱锥E−CDN的高等于1，底面是等腰直角三角形，
所以五面体ABCDEF的体积=棱柱ABF−NCE的体积+棱锥E−CDN的体积，
即：V=12×1×1×1+13×12×1×1=23.
(2)证明：以A为坐标原点，以AB−,AD,AF为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，
点C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1),M(12,1,12)，
所以AD=(0,2,0),MD=(−12,1,−12),CE=(−1,0,1)，
所以CE⋅AD=0,CE⋅MD=12−12=0，
所以CE⊥AD，CE⊥MD，
又AD∩MD=D，AD，MD⊂平面AMD，所以CE⊥平面AMD，
又CE⊂平面CDE，所以平面CDE⊥平面AMD.
【解析】(1)取AD中点N，连接EN，CN，易证得EN⊥平面ABCD，五面体ABCDEF的体积等于棱柱ABF−NCE的体积+棱锥E−CDN的体积，分别求出棱柱ABF−NCE的体积和棱锥E−CDN的体积即可得出答案．
(2)以A为坐标原点，以AB,AD,AF为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，由垂直向量的坐标运算可证得CE⊥AD，CE⊥MD，即可得出CE⊥平面AMD，再由面面垂直的判定定理即可证明．
本题考查了几何体体积的计算，考查了面面垂直的证明，属于中档题．
19.【答案】解：(1)双曲线过点(2,1)且一条渐近线方程为y= 22x，
则a= 2b①，
双曲线过点(2,1)，
则4a2−1b2=1②，
联立①②解得，a2=2，b2=1，
故双曲线的方程为x22−y2=1，
直线l的倾斜角为π4，在y轴上的截距为−2，
则l的方程为y=x−2，代入双曲线方程可得，x2−8x+10=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M(x,y)，
则x1+x2=8，
M为线段AB的中点，
则x=4，y=x−2=2，即M(4,2)，
∵|F1F2|=2 3，
∴△MF1F2的面积为12|F1F2|⋅y=12×2 3×2=2 3；
(2)由题意可知，圆的方程为x2+y2=c2，
联立x2+y2=c2x2a2−y2b2=1，解得x=a b2+c2c，y=b2c，即P(a b2+c2c,b2c)，
切线的斜率为− 3，
则kOP=b2c⋅ca b2+c2= 33，化简整理可得，3(c2−a2)=a 2c2−a2，
故3c4+4a4−8a2c2=0，即3c4−8e2+4=0，解得e2=2，
故双曲线的离心率为 2.
【解析】(1)根据已知条件，结合渐近线的定义，推得a= 2b，再结合双曲线过点(2,1)，即可求出双曲线的方程，再与直线l联立，并结合韦达定理，即可求解；
(2)先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点P的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可求解．
本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
20.【答案】解：(1)第一次训练时所取的球是从6个球(3新，3旧)中不放回取出2个球，所以ξ可取的值为0，1，2，
P(ξ=0)=C32C62=15,P(ξ=1)=C31C31C62=35,P(ξ=2)=C32C62=15，
则分布列如下：
则期望为E(ξ)=0×15+1×35+2×15=1；
(2)由题目条件可得列联表如下：
则χ2=88×(14×27−28×19)233×55×42×46≈0.595<3.841，故长时间使用手机与是否得脑瘤没有显著关系．
【解析】(1)由题可知ξ可取的值为0，1，2，后结合题目条件可得分布列与相应期望；
(2)由题目条件可将列联表补充完整，后由列联表数据计算χ2，比较其与3.841大小即可判断长时间使用手机与是否得脑瘤有无显著关系．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望和独立性检验，属于中档题．
21.【答案】(1)解：当a=−2时，可得f(x)=12x2+x−2lnx，
可得f′(x)=x+1−2x=(x+2)(x−1)x，所以f′(2)=2且f(2)=4−2ln2，
所以切线方程为y−(4−2ln2)=2(x−2)，即2x−y−2ln2=0，
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为2x−y−2lnx=0.
(2)解：由函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx，可得函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
又由f′(x)=(x−a)(x−1)x，令f′(x)=0，解得x1=a，x1=1，
当a<0时，f(x)与f′(x)在区间(0,+∞)的情况如下表：
所以函数的极小值为f(1)=−a−12，也是函数f(x)的最小值，
所以当a<0时，函数f(x)的最小值为−a−12；
(3)解：当a=0时，f(x)=12x2−x，令f(x)=0，解得x1=2，x2=0(舍去)所以函数y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点；
当0所以函数f(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)上单调递减，
此时函数f(x)的极大值为f(a)=−12a2−a+alna<0，
所以函数y=f(x)在(0,1)上没有零点；
又由f(1)=−12−a<0且函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，
且当x→+∞时，f(x)→+∞，
所以函数f(x)在(1,+∞)上只有一个零点，
综上可得，当0≤a<1时，f(x)在(0,+∞)上有一个零点．
【解析】(1)当a=−2时，求得f′(x)=x+1−2x，得到f′(2)=2且f(2)=4−2ln2，进而求得切线方程；
(2)求得f′(x)=(x−a)(x−1)x，利用导数求得函数f(x)的单调性和极值，即可求解；
(3)当a=0时，求得y=f(x)在(0,+∞)上有一个零点；当0本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题．
个体编号
体重x(kg)
脂肪含量y(%)
1
89
28
2
88
27
3
66
24
4
59
23
5
93
29
6
73
25
7
82
29
8
77
25
9
100
30
10
67
23
习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
a
b
42
脑瘤部位在右侧的病人
c
d
46
总计
a+c
b+d
88
ξ
0
1
2
P
15
35
15
习惯固定在左侧接听电话
习惯固定在右侧接听电话
总计
脑瘤部位在左侧的病人
14
28
42
脑瘤部位在右侧的病人
19
27
46
总计
33
55
88
x
(0,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↓
极小值
↑
x
(0,a)
a
(a,1)
1
(1,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↑
极大值
↓
极小值
↑