上海市静安区2024届高三上学期期末教学质量调研数学试题

这是一份上海市静安区2024届高三上学期期末教学质量调研数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题第13题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、填空题（本大题共12小题，满分54分）第1小题至第6小题每个空格填对得4分，第7小题至第12小题每个空格填对得5分，考生应在答题纸的相应编号后填写答案，否则一律得零分．
1. 准线方程为的抛物线标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线准线方程可知抛物线开口方向和几何量p，然后可得方程.
【详解】由抛物线准线方程可知，抛物线开口向右，其中，得，
所以抛物线标准方程为.
故答案为：
2. 的二项展开式中的系数为______.
【答案】6
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项公式，按要求求出值即得.
【详解】由的二项展开式得通项为：，使，解得：，
故的二项展开式中的系数为.
故答案为：6.
3. 若一个圆柱的底面半径和母线长都是1，则这个圆柱的体积是______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据圆柱的体积公式计算即可得出答案.更多优质资源可进入 【详解】这个圆柱的体积.
故答案为：.
4. 已知， 是虚数单位，的虚部为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的概念和复数的运算求解即可.
【详解】由题，
所以的虚部为.
故答案为：
5. 计算_____________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接即可求出答案.
【详解】.
故答案为：2.
6. 某果园种植了222棵苹果树，现从中随机抽取了20棵苹果树，算得这20棵苹果树平均每棵产量为28 kg，则预估该果园的苹果产量为______kg．
【答案】6216
【解析】
【分析】由分层抽样相关知识可得答案.
【详解】设该果园的苹果产量预估值为，则.
故答案为：6216
7. 下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______（请填入全部正确的序号）．
①； ②； ③ ； ④ ．
【答案】②
【解析】
【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数性质即可判断.
【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故④不满足题意,
因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数，
根据奇函数的性质，
因为定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意；
因为的定义域为，且，故②满足题意；
因为的定义域为，且，故③不满足题意.
故答案为：②.
8. 若不等式对所有实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用绝对值的几何意义即可求实数a的取值范围.
【详解】∵由绝对值的几何意义知：对于任意实数x都有，
∴对所有实数x恒成立，则必有，
故答案为：.
【点睛】本题考查了由绝对值不等式恒成立求参数范围，应用绝对值几何意义，属于简单题.
9. 如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，，，是上的点，直线与平面所成的角是，则的长为______.
【答案】2
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出平面的法向量，利用空间角的向量求法，结合直线与平面所成的角是，即可求得答案.
【详解】由题意知在四棱锥 中，平面，底面是矩形，
以A为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，
设直线与平面所成的角为，
直线与平面所成的角是，则，
故，
即，解得（负值舍去），
故的长为2，
故答案为：2
10. 不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用函数的单调性及的函数值即可解决问题.
【详解】令，易知在区间上单调递增，
又，所以的解集为，
故答案为：.
11. 在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需______个月．（结果取整）
【答案】10
【解析】
【分析】根据题意前6个月的收入成等比数列，且公比为，第7个月开始收入成等差数列，公差为2，先算出前前6个月之和，再计算第7,8,9,10个月的收入可得解.
【详解】由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为，
第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则，
又，，，，
而，，
所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.
故答案为：10.
12. 记，若存在实数，满足，使得函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意推出在区间内有解，分离参数，构造函数，结合函数单调性，求出函数最值，即可求得答案.
【详解】由题意知在区间内有解，
即，即在区间内有解，
设，则该函数在上单调递减，在上单调递增，
且，故在上的最大值为，
故，即实数的取值范围是，
故答案为：
二、选择题（本大题共4小题，满分18分）第13题、14题各4分，第15题、16题各5分．每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑．
13. 已知：，：，则是的（ ）
A. 必要非充分条件B. 充分非必要条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分不必要条件和分式不等式解出结果.
【详解】因为，
解得或，
根据“谁大谁必要，谁小谁充分”得出是充分不必要条件，
故选：B
14. 设是第一象限的角，则所在的象限为（ ）
A. 第一象限B. 第三象限
C. 第一象限或第三象限D. 第二象限或第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解.
【详解】因为是第一象限的角，
所以，，
所以，
当时，，为第一象限角；
当时，，为第三象限角.
故选：C
15. 教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“ （其中）”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（ ）
① 向量坐标的定义；
② 向量数量积的定义；
③ 向量数量积的交换律；
④ 向量数量积对数乘的结合律；
⑤ 向量数量积对加法的分配律．
A. ①③④B. ②④⑤
C. ①②③⑤D. ①②③④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】结合教材即可判断.
【详解】在坐标系中，是轴，轴上的单位向量，
，
则，故，
.
则在推导过程中，运用了向量坐标的定义； 向量数量积的定义； 向量数量积的交换律；向量数量积对数乘的结合律；向量数量积对加法的分配律.
故选：D
16. 记点到图形上每一个点的距离的最小值称为点到图形的距离，那么平面内到定圆的距离与到定点的距离相等的点的轨迹不可能是 （ ）
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意“点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离”，将平面内到定圆C的距离转化为到圆上动点的距离，再分点A现圆C的位置关系，结合圆锥曲线的定义即可解决．
【详解】
排除法：设动点为Q，
1.当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB=QA，
又QB+QC=R，所以QA+QC=R，即Q的轨迹为一椭圆；如图。
2.如果是点A在圆C外，由QC−R=QA，得QC−QA=R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；
3.当点A与圆心C重合，要使QB=QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；
则本题选D.
故选D.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 记，其中为实常数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）若函数的图像经过点，求该函数在区间上的最大值和最小值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简解析式即可得出答案；
（2）求出，再整体换元，找出的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得.
【小问1详解】
．
∴函数的最小正周期为．
【小问2详解】
，
，则．
令，则．
当或，即或时，．
当，即时，．
18. 甲、乙两人每下一盘棋，甲获胜的概率是0.4，甲不输的概率为0.9．
（1）若甲、乙两人下一盘棋，求他们下成和棋的概率；
（2）若甲、乙两人连下两盘棋，假设两盘棋之间的胜负互不影响，求甲至少获胜一盘的概率．
【答案】（1）0.5 （2）0.64
【解析】
【分析】（1）用互斥事件概率的加法公式解决.
（2）分析至少有一次获胜的事件包括两次都获胜，第一次获胜第二次未获胜和第一次未获胜第二次获胜三种情况。又因为三种情况之间互斥和两盘棋之间的胜负互不影响.利用互斥事件的概率加法公式和独立事件同时发生的概率乘法公式和对立事件概率的知识求解.
【小问1详解】
设事件表示甲获胜，事件表示和棋，事件表示甲不输．
则．
因为和棋与获胜是互斥的，由概率的可加性，得
．
因为，
所以
【小问2详解】
设事件表示甲获胜，则表示甲未获胜.设下两次棋至少有一次获胜的事件为，
则，因为两盘棋之间的胜负互不影响，且至少有一次获胜包括的三种情况是互斥的.
所以
19. 已知双曲线：，点的坐标为 ．
（1）设直线 过点，斜率为，它与双曲线交于、两点，求线段的长；
（2）设点在双曲线上，是点关于轴的对称点．记，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解，
（2）根据向量数量积的坐标运算，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
直线的方程为．
由方程组得．
设,则，
．
【小问2详解】
设点，则点的坐标为．
，，
．
因为，所以．
20. 如下图，某公园东北角处有一座小山，山顶有一根垂直于水平地平面的钢制笔直旗杆，公园内的小山下是一个水平广场（虚线部分）．某高三班级数学老师留给同学们的周末作业是：进入该公园，提出与测量有关的问题，在广场上实施测量，并运用数学知识解决问题．老师提供给同学们的条件是：已知米，规定使用的测量工具只有一只小小的手持激光测距仪 （如下图，该测距仪能准确测量它到它发出的激光投射在物体表面上的光点之间的距离）．
（1）甲同学来到通往山脚下的笔直小路上，他提出的问题是：如何测量小山的高度？于是，他站在点处，独立的实施了测量，并运用数学知识解决了问题．请写出甲同学的解决问题方案，并用假设的测量数据（字母表示）表示出小山的高度；
（2）乙同学是在一阵大风过后进入公园的，广场上的人纷纷议论：旗杆似乎是由于在根部处松动产生了倾斜．她提出的问题是：如何检验旗杆是否还垂直于地面？并且设计了一个不用计算就能解决问题的独立测量方案．请你写出她的方案，并说明理由；
（3）已知（1）中的小路是东西方向，且与点所确定的平面垂直于地平面．又已知在（2）中的乙同学已经断定旗杆大致向广场方向倾斜．如果你是该班级的同学，你会提出怎样的有实际意义的问题？请写出实施测量与解决问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的测量数据或运算结果列式说明，不必计算）．
【答案】（1）答案见解析
（2）方案见解析，理由见解析
（3）问题见解析，方案见解析，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据测量数据利用余弦定理即可求得结果；
（2）利用测量数据综合利用三角形性质，由线面垂直判定定理即可证明并得出结论；
（3）可提问“旗杆向哪个方向倾斜多少角度”等问题，再根据解三角形的实际应用即可得出结论.
【小问1详解】
解一：(1) 如图1，设点在水平面的投影点为．
用测距仪测得，．
在中，，
在中，，
所以．
解二：如图2，在平面上，以点为原点，向量为轴，建立平面直角坐标系，
设点，则，
用测距仪测得，，则，
解得
【小问2详解】
如图，用电子尺测得，，
在广场上从点移动至点，使得，
再移至点，使得，此时再测量，
若，则可知旗杆垂直于地面，否则就是倾斜了．
理由如下：
已知，，设点是的中点，
则在等腰中，．
同理，又平面，所以平面；
又因为平面，故．
同理可证．
综上所述，旗杆垂直于地面．
【小问3详解】
提问：旗杆向哪个方向倾斜多少角度？
说明：用在地平面上的投影来刻画的倾斜方向是合理的，
也可以采用在广场上确定一个位于在地平面上投影上点来刻画，
用与小路的夹角刻画扣1分．关于如何刻画倾斜多少角
度的问题，既可以用与垂直于地面的直线所成角的大小，也
可以用与地平面所成角的大小来刻画．
解答方案1：
如图，
在地面画出离点距离相等的点的轨迹圆，
再在圆上找到离点距离最近的点，
作垂直于地面，垂足为，
则的大小就是旗杆倾斜角度．
理由如下： 先证明与圆的交点既是点．
只需证明：对于圆上任意一点，．
因为在中，，
所以，
故．
如图5，从图4中的点向点的方向走到点，
放置一个物体，测得、、的长，
利用余弦定理可得的大小．
同理可得的大小．
因此，可以求得图4中的、、、的长．
在中，三边已知，利用余弦定理可求得，
即旗杆向西偏南的方向倾斜．
又由于、已求得，
故倾斜角度为．
测量倾斜角的大小方案2：
如图5，从点向点方向走到点，测得、、的长，
利用余弦定理可得的大小，从而求得点的高度．
同理可求得点的高度．
如图，即是由于旗杆倾斜旗杆顶点所下降的高度．
所以，
在中，即为所求，
测量倾斜角的大小方案3：
在图5中，以点为原点，以为y轴建立平面直角坐标系，
则容易求出点与点的坐标与，
故的倾斜角为．
21. 如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数．
①对任意的，总有；
② 当时，总有成立．
（1）记，求证：为型函数；
（2）设，记，若是型函数，求取值范围；
（3）是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可；
（2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案；
（3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论.
【小问1详解】
当时，，
当，，时，
，，
则，
，，
，为型函数.
【小问2详解】
当时，由得，
当，，时，
，，
由，得，
即，即，
即，
令，
则对称轴，
所以在上的最小值为，只要，则，
因为，
所以．
【小问3详解】
存在，举例1：．
理由如下：当时，符合；
当，，时，
，，
，，
故，
，即，
即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立；
举例2：；
理由如下：当时，，符合，
当，，时，
，，
，
，
即，即是型函数，
且对任意的，都存在，使得等式成立.
由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立.
【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可.