上海市静安区2019届高三上学期期末质量检测（一模）数学试题

 静安区2018-2019学年度第一学期期末教学质量检测             

高三数学试卷

考生注意：

    1．本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分．另有答题纸．

    2．作答前，在答题纸正面填写姓名、编号等信息．

    3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号相对应的区域，不得错位．在试卷上作答一律不得分．

    4．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．函数的定义域是______________．

2．已知向量，，则向量的坐标是____________．

3．在二项式的展开式中，项的系数为__________．（结果用数值表示）

4．若直线轴平行，则a的值是__________．

5．若、是一元二次方程的两个根，则__________．

6．在数列中，，且是公比为的等比数列．设，则__________．()

7．某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入．假设某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为__________元．（结果保留两位小数）

8．已知，则_________．

9．以两条直线的交点为圆心，并且与直线相切的圆的方程是__________．

10．已知球的半径为24cm，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm3．（结果保留圆周率）

11．集合，，若，则实数的取值范围是__________．

12.若定义在实数集R上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间（）内的所有实根之和为__________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4个商业广告2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有（     ）.

（A）      （B）      （C）      （D）

14．已知椭圆的标准方程为，焦点在轴上，则其焦距为（　　）.

 （A）　　（B）　　（C）　　（D）

15．已知下列4个命题：

①若复数的模相等，则是共轭复数．

②都是复数，若是虚数，则的共轭复数．

③复数是实数的充要条件是．（是的共轭复数）．

④已知复数（是虚数单位），它们对应的点分别为A，B，C. O为坐标原点．若（），则.

则其中正确命题的个数为（    ）.

（A）1个         （B）2个          （C）3个         （D）4个

16．设都是小于9的正整数，且满足，，则的夹角大小为（    ）.

（A）      （B）

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤．

17．（本题满分14分）

如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6°20′，AC的长为1.40米，计算BC的长（结果保留3个有效数字，单位:米）．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，、分别是、的中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设，．

（1）求函数的最大值；

（2）对（1）中的，是否存在常数（），使得当时，有意义，且的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

设，椭圆：与双曲线：的焦点相同．

（1）求椭圆与双曲线的方程；

（2）过双曲线的右顶点作两条斜率分别为，的直线，，分别交双曲线于点，（，不同于右顶点），若，求证：直线的倾斜角为定值，并求出此定值；

（3）设点，若对于直线，椭圆上总存在不同的两点与关于直线对称，且，求实数的取值范围．

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

将个数，，…，的连乘积记为，将个数，，…，的和记为．（）

（1）若数列满足，，，设，，求；

（2）用表示不超过的最大整数，例如，，．若数列满足，，，求的值；

（3）设定义在正整数集上的函数满足：当（）时，，问是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（已知）．

 静安区2018学年度第一学期高中教学质量检测             

高三数学解答

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．.   2．.    3．10.

4．．        5．．      6．.

7．13795.16元  8．．     9．.

10．12288 cm3． 11．.   12. 24.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项．考

生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．~~~~16．ABBC

三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出

必要的步骤．

17．（本题满分14分）

解：根据题意，在△ABC中，，BAC=66O20/，

由余弦定理，得

计算得：..

答：顶杆 约长1.89米．

18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解：（1）由题意，△是等边三角形，因为是的中点，所以，

又平面，所以，

所以平面．

（2）取中点，连结，，则∥，

所以，为异面直线与所成角，

设，在△中，，，

，

所以，

．

所以，异面直线与所成角的大小为．

19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

解： (1)

设，因为，所以.

.

(2)当时，，该函数当时递减，当时递增。要使有意义且取得最大值，关于自变量的单调性必是当时增, 当时递减，所以根据题意得：，

于是，得．所以存在，使得当时，的最大值是

20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）

解：（1）由题意，，所以．

所以椭圆的方程为，双曲线的方程为．

（2）双曲线的右顶点为，因为，不妨设，则，

设直线的方程为，

由,得，

则,()，.

同理，，，

又，所以，.

因为，所以直线与轴平行，即为定值，倾斜角为0．

（3）设，，直线的方程为，

由整理得，

△，故．

，，

设的中点为，则，，

又在直线上，所以，．

因为，，

所以

，所以．又，。

即.

21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

解：（1）

由，得,或

且，

所以．又，所以，．

从而=1.

（2）由，，因为，

所以，，

所以，，

因为，所以．

（3）若存在正整数n，则由已知得，

，且，

因此所求和的最后一项必定出现在1+2+3+…+17=153项之后，且，共有个，

所以，,

所以，，解得．

所以存在正整数n=166，使得.