北京市门头沟区2021年中考数学一模试卷附答案

这是一份北京市门头沟区2021年中考数学一模试卷附答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

中考数学一模试卷
一、单选题（共8题；共16分）
1.2019年10月1日，庆祝中华人民共和国成立70周年大会在北京天安门广场隆重举行．10月3日微博观看互动量累计达到19280000次，将19280000用科学记数法表示为（    ）
A. 1.928 × 104                     B. 1928×104                     C. 1.928 × 107                     D. 0.1928 × 108
2.剪纸艺术是中国古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A.                B.                C.                D. 
3.某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（    ）

A. 三棱柱                                  B. 三棱锥                                  C. 圆锥                                  D. 圆柱
4.如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（    ）
A. 六边形                                B. 七边形                                C. 八边形                                D. 九边形
5.不等式组 的解集为（    ）
A.                          B.                          C.                          D. 
6.点A ， B在数轴上的位置如图所示，如果点C也在数轴上，且B和C两点间的距离是1，那么AC长度为（    ）

A. 2                                        B. 4                                        C. 2或4                                        D. 0或2
7.已知，如图，在菱形ABCD中．（1）分别以C ， D为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别交于点E ， F；（2）作直线EF ， 且直线EF恰好经过点A ， 且与边CD交于点M；（3）连接BM ． 根据以上作图过程及所作图形，判断下列结论中错误的是（    ）

A. ∠ABC=60°             B. 如果AB=2，那么BM=4             C. BC=2CM             D. 
8.随着智能手机的普及，“支付宝支付”和“微信支付”等手机支付方式倍受广大消费者的青睐，某商场对2019年7−12月中使用这两种手机支付方式的情况进行统计，得到如图所示的折线图，根据统计图中的信息，得出以下四个推断，其中不合理的是（    ）

A. 6个月中使用“微信支付”的总次数比使用“支付宝支付”的总次数多；
B. 6个月中使用“微信支付”的消费总额比使用“支付宝支付”的消费总额大；
C. 6个月中11月份使用手机支付的总次数最多；
D. 9月份平均每天使用手机支付的次数比12月份平均每天使用手机支付的次数多；
二、填空题（共8题；共10分）
9.若式子  在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

10.如图所示的网格是正方形网格，点A ， B ， C是网格线交点，那么 ________ （填“＞”“＜”或“＝”）．

11.在数学证明中，当证明一个命题是假命题时，常常采用举反例的办法．如果用一组a ， b的值说明命题“如果 ，那么 ”是错误的，那么这样的一组值中，a =________，b =________．
12.小明先将图1中的矩形沿虚线剪开分成四个全等的小矩形，再将这四个小矩形拼成如图2的正方形，那么图1中矩形的面积为________．  

13.若一次函数的图象过点（0，2），且函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合要求的一次函数表达式：________．
14.抗击肺炎期间，小明准备借助网络评价选取一家店铺，购置防护用品．他先后选取三家店铺，对每家店铺随机选取了1000条网络评价，统计结果如下：

一星
二星
三星
四星
五星
合计
甲
93
30
54
338
485
1000
乙
80
56
69
340
455
1000
丙
92
128
125
155
500
1000
小明选择在________（填“甲”“乙”“丙”）店铺购买防护用品，能获得良好的购物体验（即评价不低于四星）的可能性最大．
15.如图，直线 ，在某平面直角坐标系中，x轴∥ ，y轴∥ ，点A的坐标为( ，2)，点B的坐标为(2， )，那么点C在第________象限．

16.如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P ， Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E ， 连接PQ交AB于D ． 设运动时间为t秒，得出下面三个结论，① 当t =1时，△OPQ为直角三角形；② 当t =2时，以AQ ， AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③ 当t为任意值时， ．所有正确结论的序号是________．

三、解答题（共12题；共102分）
17.计算： ．
18.已知 ， 且 ，求代数式 的值.
19.已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果m是非负整数，且该方程的根是整数，求m的值．
20.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D ， CE∥AB ， EB∥CD ， 连接DE交BC于点O ．

（1）求证：DE=BC；
（2）如果AC=5， ，求DE的长．
21.在推进城乡生活垃圾分类的行动中，为了了解社区居民对垃圾分类知识的掌握情况，某社区随机抽取40名居民进行测试，并对他们的得分数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a ． 社区40名居民得分的频数分布直方图：(数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x＜100)：

b ． 社区居民得分在80≤x＜90这一组的是：
80  80  81  82  83  84  84  85  85  85  86  86  87  89
c ． 40个社区居民的年龄和垃圾分类知识得分情况统计图：

d ． 社区居民甲的垃圾分类知识得分为89分．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）社区居民甲的得分在抽取的40名居民得分中从高到低排名第________；
（2）在垃圾分类得分比居民甲得分高的居民中，居民年龄最大约是________岁；
（3）下列推断合理的是________．
①相比于点A所代表的社区居民，居民甲的得分略高一些，说明青年人比老年人垃圾分类知识掌握得更好一些；
②垃圾分类知识得分在90分以上的社区居民年龄主要集中在15岁到35岁之间，说明青年人垃圾分类知识掌握更为全面，他们可以向身边的老年人多宣传垃圾分类知识．
22.如图，∠APB ， 点C在射线PB上，PC为⊙O的直径，在∠APB内部且到∠APB两边距离都相等的所有的点组成图形M ， 图形M交⊙O于D ， 过点D作直线DE⊥PA ， 分别交射线PA ， PB于E ， F ．

（1）根据题意补全图形；
（2）求证：DE是⊙O的切线；
（3）如果PC=2CF ， 且 ，求PE的长．
23.疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．
首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有 ， ， ， ， 便于记录．

具体游戏规则如下：
甲同学：同时翻开 ， ，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中， ， ， 按原顺序记录在表格中；
乙同学：同时翻开 ， ， ，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中， ， 按原顺序记录在表格中；
以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．
下表记录的是这四名同学五天的训练计划：

星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
甲同学





乙同学





丙同学





丁同学





根据记录结果解决问题：
（1）补全上表中丙同学的训练计划；
（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．
①如果 ， ，那么 所有可能取值为________；
②这四名同学星期________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为________个．
24.如图，点M是⊙O直径AB上一定点，点C是直径AB上一个动点，过点 作 交⊙O于点 ，作射线DM交⊙O于点N ， 连接BD ．

（1）小勇根据学习函数的经验，对线段AC ， BD ， MN的长度之间的数量关系进行了探究．

下面是小勇的探究过程，请补充完整：
对于点C在AB的不同位置，画图，测量，得到了线段AC ， BD ， MN的长度的几组值，如下表：
 
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
AC/cm
0．00
1．00
2．00
3．00
4．00
5．00
6．00
BD/cm
6．00
5．48
4．90
4．24
3．46
2．45
0．00
MN/cm
4．00
3．27
2．83
2．53
2．31
2．14
2．00
在AC ， BD ， MN的长度这三个量中，如果选择________的长度为自变量，那么________的长度和________的长度为这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中确定的函数的图象；

（3）结合函数图象解决问题：当BD=MN时，线段AC的长度约为________cm（结果精确到0.1）．
25.在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与y轴交于点A ， 过点 ，且平行于x轴的直线与一次函数 的图象，反比例函数 的图象分别交于点C ， D ．

（1）求点D 的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m = 1时，用等式表示线段BD与CD长度之间的数量关系，并说明理由；
（3）当BD≤CD时，直接写出m的取值范围．
26.在平面直角坐标系xOy中，一次函数 的图象与y轴交于点A ， 与抛物线 的对称轴交于点B ， 将点A向右平移5个单位得到点C ， 连接AB ， AC得到的折线段记为图形G ．

（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；
（2）①当 时，直接写出抛物线 与图形G的公共点个数．
②如果抛物线 与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．
27.在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，点D在AB上，连接CD ， 并将CD绕点D逆时针旋转60°得到DE ， 连接AE ．

（1）如图1，当点D为AB中点时，直接写出DE与AE长度之间的数量关系；
（2）如图2，当点D在线段AB上时，
① 根据题意补全图2；
② 猜想DE与AE长度之间的数量关系，并证明．
28.对于平面直角坐标系xOy中的任意点 ，如果满足 (x≥0，a为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．

（1）当2≤a≤3时，
①在点 中，满足此条件的特征点为________；
②⊙W的圆心为 ，半径为1，如果⊙W上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m的取值范围________；
（2）已知函数 ，请利用特征点求出该函数的最小值．

答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 D
3.【答案】 D
4.【答案】 A
5.【答案】 A
6.【答案】 C
7.【答案】 B
8.【答案】 B
二、填空题
9.【答案】 x≥2．
10.【答案】 ＞
11.【答案】 2 (答案不唯一)；-1(答案不唯一)
12.【答案】 12
13.【答案】y=x+2
14.【答案】 甲
15.【答案】 一
16.【答案】 ①③
三、解答题
17.【答案】 解：


18.【答案】 解： 




∵ ，
∴ 原式 .
19.【答案】 （1）解：由题意得△= ，
解得

（2）解：∵m为非负整数，
∴ ．
∵该方程的根是整数，
当m=0时，原方程化为x2-3x+1=0，该方程的根不是整数，故舍去，
∴
20.【答案】 （1）证明：∵在四边形CDBE中，CE∥AB，EB∥CD，
∴四边形CDBE是平行四边形．
∵CD⊥AB于D，
∴∠CDB =90°．
∴四边形CDBE是矩形．
∴DE=BC．

（2）解：∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°．
∵∠CDB =90°，
∴∠CBD+∠BCD=90°．
∴∠ACD =∠CBD．
∴在Rt△CDB中，∠CDB =90°，
，
∵AC=5，
∴BC= 10．
∴DE=BC=10
21.【答案】 （1）8
（2）45
（3）②
22.【答案】 （1）解：如图所示，补全图形


（2）证明：连接OD．
∵DE⊥PA，
∴∠PED=90°．
∵依题意，PD是∠APB的角平分线，
∴∠APD=∠DPB．
∵OP=OD，
∴∠DPB =∠PDO．
∴∠APD=∠PDO．
∴AP∥OD，
∴∠ODF=∠PED=90°，
∴DE是⊙O的切线．

（3）解：∵PC=2CF，
∴设CF=x，那么PC=2x，OD=x．
∵∠ODF=90°，
∴在Rt△ODF中，OD= ．
又∵ ，
∴OD=1，OF=2，PF=3．
∵在Rt△PEF中，∠PEF=90°，
∴ ．
∴ ．
23.【答案】 （1）解：由题意同时翻开 将四个数字进行比较，
由乙同学可知 ，又结合丁同学可知 ，
所以 ，
然后由小到大记录在表格中，x5按原顺序记录在表格中
补全表中丙同学的训练计划： ．
故答案为： ．

（2）41，42，43；三；162
24.【答案】 （1）AC（或BD）；BD（或AC）；MN
（2）解：如图1或图2所示：

图1

图2

（3）5.3
25.【答案】 （1）解：∵过点 且平行于x轴的直线与反比例函数 的图象交于点D
∴点D的纵坐标为
由反比例函数的解析式得：点D的横坐标为
故点D的坐标为

（2）解： ，理由如下：
∵过点 且平行于x轴的直线与一次函数 的图象交于点C
∴点C的纵坐标为
由一次函数的解析式得：点C的横坐标为

当 时，



（3）解：由（1）、（2）可知，
则
由题意，分以下三种情况：
①当 时，
由 得：
解得 （符合题设）
②当 时，
由 得：
解得 （不符题设，舍去）
③当 时，
此时 必成立
即 时，
综上，m的取值范围为 或
26.【答案】 （1）解：∵抛物线 ，
∴对称轴 ．
∵直线 与y轴交于点A，
∴ A（0，3）．
∵将点A向右平移5个单位得到点C，
∴ C（5，3）．

（2）解：①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个．
    
②由（1）得，抛物线的顶点为 ．
当 时，由①得， 时，抛物线过点A，B，
∴ 当 时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．
当抛物线顶点在AC上时， 如图，也满足条件，

∴ ，
．
当 时，如图，抛物线经过点C时，满足条件，
 
∴ ， ．
综上所述，当 时，抛物线与图形G有且只有一个公共点．
27.【答案】 （1）解：结论：DE＝AE．
理由：如图1中，
 
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝60°，
∵AD＝DB，
∴CD＝AD＝DB，
∴△CDB是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ED﹣∠CDB＝60°，
∵DA＝DC，DC＝DE，
∴AD＝DE，
∴△ADE是等边三角形，
∴DE＝AE．

（2）解：①图形如图2所示：
 
②如图2﹣1中，结论：DE＝AE．
 
理由：取AB的中点F，连接CE，CF，EF．
∵∠ACB＝90°，AF＝BF，
∴CF＝AF＝BF，
∵∠B＝60°，
∴△BCF是等边三角形，
∵DC＝DE，∠CDE＝60°，
∴△ECD是等边三角形，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝60°，CE＝CD，CF＝CB，
∴∠1＝∠3，
∴△ECF≌△DCB（SAS），
∴∠5＝∠B＝60°，
∵∠6＝60°，
∴∠4＝∠5＝60°，
∵EF＝EF，FA＝FC，
∴△EFA≌△EFC（SAS），
∴AE＝EC，
∵EC＝ED，
∴AE＝ED．
28.【答案】 （1）；如图1，∵2≤a≤3， ∴直线y=−x+2和直线y=−x+3之间的区域（包括两直线）上的点都为“特征点”， 直线y=−x+2和直线y=−x+3分别与x轴的交点为 ， ， 当⊙W1与直线y=−x+2相切时，设切点为M， 此时 ， ， ，则 为等腰直角三角形， ∵⊙W1半径为1，即 ， ∴ ，则 ， ∴ ， 当⊙W2与直线y=−x+3相切时，设切点为N， 此时 ， ， ，则 为等腰直角三角形， 同理得： ，则 ， ∴ ， 观察图象可知满足条件的m取值范围为：
（2）解：根据 ，在第一象限画出 的图象，
∴在此坐标系中图象上的点就是 ，
∵特征点满足 （x≥0，a为常数），
∴在此图象上对应的就是 ，
∴将特征点的图象由原点向外扩大，当与反比例函数 的图象第一次有交点时， 出现最小值，
如图2，由x>0可将 整理得： ，

∴ ，解得： ， （舍去），
∴ ，
∴ ，即 的最小值为2．