还剩31页未读，
继续阅读
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
展开
这是一份2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷，共34页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明等内容，欢迎下载使用。
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．CD B．AE C．AF D．AH
2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A．1.64471×104 B．1.64471×108
C．1.64471×109 D．1.64471×1010
3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．圆
4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
5．（2分）内角和与外角和相等的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分∠COB，若∠BOD＝40°，则∠AOE等于（ ）
A．40° B．100° C．110° D．140°
7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝ °．
11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 ．
12．（2分）已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值 ．
13．（2分）已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是 ．
14．（2分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ ．
15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
＞400
户数（户）
5
22
27
31
15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
15
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．
20．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．
21．（5分）已知：△ABC，CD平分∠ACB．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴ ∥ （ ）（填推理依据）．
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形DFCE为菱形．
22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）求证：四边形EBCF是矩形；
（2）若sin∠A＝，CF＝3，求AF的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象相交于点P（1，1）．
（1）求k的值；
（2）过点M（0，a）平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数y＝x、反比例函数y＝的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）当≤a≤2时，求x1+x2的取值范围．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
25．（5分）2021年是中国共产党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：
a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：
b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：
班级
初一年级（10个班）
初二年级（10个班）
初三年级（10个班）
平均数
110
80
40
（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 （结果取整数）；
（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 份．
（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差为s22，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2x+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．
（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是 ．
（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 ．（写出两个即可）
（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．CD B．AE C．AF D．AH
【分析】根据三角形的高的概念解答．
【解答】解：∵AF⊥BC，
∴BC边上的高是AF，
故选：C．
2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A．1.64471×104 B．1.64471×108
C．1.64471×109 D．1.64471×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：16447.1万＝1.64471×108．
故选：B．
3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．圆
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．
故选：A．
5．（2分）内角和与外角和相等的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分∠COB，若∠BOD＝40°，则∠AOE等于（ ）
A．40° B．100° C．110° D．140°
【分析】由对顶角的性质和平角的定义得到∠AOC＝40°，∠BOC＝140°，由角平分线的定义得到∠COE＝70°，根据角的和差即可求得∠AOE．
【解答】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∠BOC＝180°﹣∠BOD＝140°，
∴∠COE＝∠BOC＝×140°＝70°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+70°＝110°，
故选：C．
7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】先确定a，b的正负情况，再根据数轴上原点与正负数的位置关系确定原点的可能位置．
【解答】解：∵a•b＜0，且数轴上a在b的左侧，
∴a＜0，b＞0，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，
∴点B可能是原点，
故选：B．
8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂即可得到结论．
【解答】解：∵确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系，
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝ 135 °．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，求出∠DAC+∠DCA＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，则AO＝BO＝3，
∵AB＝＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠OAB﹣∠DAC+90°﹣∠DCA
＝180°+90°﹣45°﹣90°
＝135°，
故答案为：135．
11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 等 ．
【分析】根据算术平方根的性质可以把2和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【解答】解：∵2＝，3＝，
∴写出一个大于2小于3的无理数是等．
故答案为等．本题答案不唯一．
12．（2分）已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值 ．
【分析】根据绝对值的意义，求出x的取值范围，然后根据方程解答即可．
【解答】解：∵|x|＞1，
∴x＜﹣1或x＞1，
取x＝﹣2，则x+y＝﹣1，
∴y＝1
∴
故答案为：．
13．（2分）已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，即可得判别式△≥0且a≠0，继而可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×a×1＝1﹣4a≥0，
解得：a≤，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
14．（2分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ 2 ．
【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，AB＝8，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
＞400
户数（户）
5
22
27
31
15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵100户家庭中，用电量大于240小于等于400有22+27+31＝80户，
∴抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为＝，
故答案为：．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟．
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
15
【分析】由题意可知，熬饭准备时间需3分钟，熬饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．
【解答】解：3+30＝33（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+2
＝﹣1﹣+2
＝1．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣1），得x＜2，
解不等式＜x+3，得x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x＜2．
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°．
20．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可化简原式，继而根据已知等式得出x2+4x＝1，代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+4x+4﹣x2+9+x2
＝x2+4x+13，
∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
则原式＝1+13＝14．
21．（5分）已知：△ABC，CD平分∠ACB．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴ DE ∥ CF （ 内错角相等两直线平行 ）（填推理依据）．
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ ED＝EC ，
∴四边形DFCE为菱形．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明DE∥CF，DF∥CE，则可判断四边形DFCE为平行四边形，然后利用ED＝EC得到四边形DFCE为菱形．
【解答】（1）解：如图，四边形DFCE为所求作；
（2）证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴DE∥CF（内错角相等两直线平行），
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ED＝EC，
∴四边形DFCE为菱形．
故意答案为DE，CF，内错角相等两直线平行；ED＝EC．
22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）求证：四边形EBCF是矩形；
（2）若sin∠A＝，CF＝3，求AF的长．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，再由平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝BC，再由矩形的性质得EF＝BC，BE＝CF＝3，然后由锐角三角函数定义得AB＝5，则EF＝BC＝AB＝5，由勾股定理求出AE＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵DF＝AE，
∴DF+DE＝AE+DE，
即：EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF＝90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD菱形，
∴AB＝BC，
∵四边形EBCF是矩形，
∴EF＝BC，BE＝CF＝3，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵sin∠A＝＝，BE＝3，
∴AB＝5，
∴EF＝BC＝AB＝5，AE＝＝＝4，
∴AF＝AE+EF＝4+5＝9．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象相交于点P（1，1）．
（1）求k的值；
（2）过点M（0，a）平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数y＝x、反比例函数y＝的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）当≤a≤2时，求x1+x2的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法将点P（1，1）代入y＝（k≠0，x≠0），求出k即可；
（2）由题意得：y1＝y2＝a，进而可得x1+x2＝a+，根据a2+b2≥2ab，即可求出x1+x2≥2，再由≤a≤2，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象经过点P（1，1），
∴1＝，
∴k＝1，
（2）由题意得：y1＝y2＝a，
∴x1＝y1＝a，x2＝＝，
∴x1+x2＝a+，
∵a＞0，
∴a+≥2＝2，
∴x1+x2≥2，
当a＝时，M（0，），A（，），B（2，），
∴x1+x2＝+2＝，
当a＝2，M（0，2），A（2，2），B（，2），
∴x1+x2＝2+＝，
∴x1+x2的取值范围为：2≤x1+x2≤．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由FD⊥AB得到∠1+∠F＝90°，由等腰三角形的性质得到∠3＝∠F，∠1＝∠2，进而得到∠2+∠3＝90°，即∠ECO＝90°，由切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）根据三角函数，设出AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，连接CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB＝∠FCB＝90°，推出∠F＝∠B，再根据边角关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵FD⊥AB，
∴∠1+∠F＝90°，
∵CE＝EF，OA＝OC，
∴∠3＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2
∵FD⊥AB，sin∠F＝，
设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，
∵D为OB中点，
∴OD＝DB＝OB＝OA＝AD，
∴DB＝k，
连接CB交FD于点G，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝∠FCB＝90°，
∴∠F＝∠B，
∵DB＝k，
∴GD＝k，可得FG＝k，
∵∠FCB＝90°，
∴∠5+∠F＝∠3+∠4，
∵∠F＝∠3，
∴∠4＝∠5，
∴CE＝EF＝EG，
∵EF＝1，
∴FG＝2，
∴＝2，k＝，
∴AB＝4k＝．
25．（5分）2021年是中国共产党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：
a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：
b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：
班级
初一年级（10个班）
初二年级（10个班）
初三年级（10个班）
平均数
110
80
40
（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 77 （结果取整数）；
（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 130 份．
（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差为s22，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
【分析】（1）利用加权平均数公式求该中学各班学生上交作品数量的平均数即可；
（2）从统计图中找出上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份，找出最少的班级是初三年级10班10份，全体教师上交作品的数量＝140﹣10＝130份；
（3）先求出初一年级学生上交作品数量的方差为＝420，初二年级学生上交作品数量的方差为＝＝100，初三年级学生上交作品数量的方差为＝250，再比较大小即可．
【解答】解：（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数为：
＝≈77（份），
故答案为：77．
（2）上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份，最少的班级是初三年级10班10份，
全体教师上交作品的数量＝140﹣10＝130份，
故答案为：130；
（3）初一年级学生上交作品数量的方差为：
＝（202+102+202+202+302+302+0+102+302+102）＝420，
初二年级学生上交作品数量的方差为：
＝（102+02+102+102+02+202+0+102+102+102）＝100，
初三年级学生上交作品数量的方差为：
＝（202+302+102+102+02+202+0+102+102+202）＝250，
∵420＞250＞100，
∴＞＞．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2x+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可判断；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2﹣t2+2
∴抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∴点M（t﹣2，m）关于对称轴的对称点为（t+2，m），
t＜t+2＜t+5，
∴m＜n，
故答案为＜；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；
当t＞1时，令xx1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意．
综上所述：t≤1．
27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC＝2∠AEB；
（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．
【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABG＝2∠AEB，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠ABG，
∴∠BGC＝2∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：
在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，
又DN＝AH，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴∠APH＝90°，
∴∠BPM＝∠BPA＝90°，
由（1）知∠ABE＝∠GBE，
且BP＝BP，
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB＝MB，
而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB＝∠HMB＝90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，
∴∠DNA＝∠GMN，
∴GN＝GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG＝AF，
∵AF＝AD＝AB＝MB，
∴EF＝GM，
∴EF＝GN，
∵GN＝DG+DN，
∴EF＝DG+AH．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．
（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是 A1，A2 ．
（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 （，），（，） ．（写出两个即可）
（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）由图象直接判断点A1存在关于⊙O的“斜射点”；对于点A2，过点A2作弦B2C2⊥y轴，用勾股定理求出弦B2C2的长为1，可得点A2存在关于⊙O的“斜射点”；过点A3作弦B3C3⊥x轴，说明此时弦B3C3的值最小，再用勾股定理求B3C3的长，可得B3C3的值大于1，因此点A3不存在关于⊙O的“斜射点”；
（2）设⊙O交x轴于点C，连接AC交⊙O于点B，先证明点B是点A关于⊙O的“斜射点”，再根据相似三角的性质求出点B的坐标，点B关于y轴的对称点也符合题意；
（3）先证明当直线y＝kx+k与x轴成60°角时，BC＝1，求出此时k的值，这个值就是k＞0时的最小值或k＜0时的最大值，由此求出k的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，由图象可知，对于⊙O外的任意一点A，都存在点A关于⊙O的“斜射点”，
∵点A1在⊙O外，
∴点A1存在关于⊙O的“斜射点”；
过点A2作弦B2C2与y轴垂直，连接OC2，
则A2C2＝A2B2＝＝，
∴B2C2＝1，
∴点A2存在关于⊙O的“斜射点”；
过点A3作弦B3C3与x轴垂直，连接OB3，
设点O到弦B3C3的距离为d，
则A3B3＝＝，
当B3C3⊥x轴时，d的值最大，此时A3B3的值最小，B3C3的值也最小；
∵A3B3＝＝，
∴B3C3＝，
∴B3C3＞1，
∴点A3不存在关于⊙O的“斜射点”．
故答案为：A1，A2．
（2）如图2，设⊙O交x轴于点C，
连接AC交⊙O于点B，作OD⊥AC于点D、BE⊥y轴于点E，
则∠ODC＝∠ODB＝∠AEB＝90°，
∵OA＝2，OC＝1，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝，
∴BC＝CD＝OC•cos∠ACO＝1×＝，
∴BC＝＜1，
∴点B是点A关于⊙O的“斜射点”；
∵AB＝﹣＝，
∴BE＝AB•sin∠OAC＝1×＝；
∵＝tan∠OAC＝，
∴AE＝2BE＝2×＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴B（，）．
同理，点B关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为（，）.
故答案为：（，），（，）．
（3）如图3，当k＞0时，直线y＝kx+k交y轴于点D（0，k），
当∠OBD＝60°时，连接OC，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝1，
此时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”，OD＝OB•tan60°＝，
∵当OD≥时，BC≤1，
∴k≥；
如图4，当k＜0时，同理可得，当k≤时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”．
综上所述，k的取值范围是：k≥或k≤．
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．CD B．AE C．AF D．AH
2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A．1.64471×104 B．1.64471×108
C．1.64471×109 D．1.64471×1010
3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．圆
4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
5．（2分）内角和与外角和相等的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分∠COB，若∠BOD＝40°，则∠AOE等于（ ）
A．40° B．100° C．110° D．140°
7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 ．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝ °．
11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 ．
12．（2分）已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值 ．
13．（2分）已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是 ．
14．（2分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ ．
15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
＞400
户数（户）
5
22
27
31
15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 分钟．
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
15
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：．
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．
20．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．
21．（5分）已知：△ABC，CD平分∠ACB．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴ ∥ （ ）（填推理依据）．
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形DFCE为菱形．
22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）求证：四边形EBCF是矩形；
（2）若sin∠A＝，CF＝3，求AF的长．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象相交于点P（1，1）．
（1）求k的值；
（2）过点M（0，a）平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数y＝x、反比例函数y＝的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）当≤a≤2时，求x1+x2的取值范围．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
25．（5分）2021年是中国共产党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：
a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：
b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：
班级
初一年级（10个班）
初二年级（10个班）
初三年级（10个班）
平均数
110
80
40
（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 （结果取整数）；
（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 份．
（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差为s22，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2x+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．
（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是 ．
（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 ．（写出两个即可）
（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．
2021年北京市门头沟区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个
1．（2分）如图，在△ABC中，BC边上的高是（ ）
A．CD B．AE C．AF D．AH
【分析】根据三角形的高的概念解答．
【解答】解：∵AF⊥BC，
∴BC边上的高是AF，
故选：C．
2．（2分）根据国家卫健委官网统计，截至2021年4月10日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗16447.1万剂次，将16447.1万用科学记数法表示为（ ）
A．1.64471×104 B．1.64471×108
C．1.64471×109 D．1.64471×1010
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：16447.1万＝1.64471×108．
故选：B．
3．（2分）在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．圆
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确．
故选：D．
4．（2分）某个几何体的展开图如图所示，该几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．长方体 D．圆柱
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【解答】解：三个长方形和两个等腰三角形折叠后，能围成的几何体是三棱柱．
故选：A．
5．（2分）内角和与外角和相等的图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【分析】任何多边形的外角和是360度，因而这个多边形的内角和是360度．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
6．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OE平分∠COB，若∠BOD＝40°，则∠AOE等于（ ）
A．40° B．100° C．110° D．140°
【分析】由对顶角的性质和平角的定义得到∠AOC＝40°，∠BOC＝140°，由角平分线的定义得到∠COE＝70°，根据角的和差即可求得∠AOE．
【解答】解：∵∠BOD＝40°，
∴∠AOC＝∠BOD＝40°，∠BOC＝180°﹣∠BOD＝140°，
∴∠COE＝∠BOC＝×140°＝70°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+70°＝110°，
故选：C．
7．（2分）点a，b在数轴上的位置如图所示，且满足a+b＞0，a•b＜0，则原点所在的位置有可能是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】先确定a，b的正负情况，再根据数轴上原点与正负数的位置关系确定原点的可能位置．
【解答】解：∵a•b＜0，且数轴上a在b的左侧，
∴a＜0，b＞0，
∵a+b＞0，
∴|a|＜|b|，即a离原点的距离小于b离原点的距离，
∴点B可能是原点，
故选：B．
8．（2分）在物理实验室实验中，为了研究杠杆的平衡条件，设计了如下实验，如图，铁架台左侧钩码的个数与位置都不变，在保证杠杆水平平衡的条件下，右侧采取变动钩码数量即改变力F，或调整钩码位置即改变力臂L，确保杠杆水平平衡，则力F与力臂L满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系 B．反比例函数关系
C．一次函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂即可得到结论．
【解答】解：∵确保杠杆水平平衡，
∴力F与力臂L满足的函数关系是反比例函数关系，
故选：B．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）如果式子在实数范围内有意义，那么x的取值范围是 x≥﹣3 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
10．（2分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C是网格线交点，那么∠BAC+∠ACB＝ 135 °．
【分析】根据勾股定理求出AB，根据勾股定理的逆定理求出∠AOB＝90°，求出∠DAC+∠DCA＝90°，再求出答案即可．
【解答】解：设小正方形的边长是1，则AO＝BO＝3，
∵AB＝＝3，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝180°﹣∠OAB﹣∠DAC+90°﹣∠DCA
＝180°+90°﹣45°﹣90°
＝135°，
故答案为：135．
11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是 等 ．
【分析】根据算术平方根的性质可以把2和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．
【解答】解：∵2＝，3＝，
∴写出一个大于2小于3的无理数是等．
故答案为等．本题答案不唯一．
12．（2分）已知x+y＝﹣1且|x|＞1，写出一组符合条件的值 ．
【分析】根据绝对值的意义，求出x的取值范围，然后根据方程解答即可．
【解答】解：∵|x|＞1，
∴x＜﹣1或x＞1，
取x＝﹣2，则x+y＝﹣1，
∴y＝1
∴
故答案为：．
13．（2分）已知一元二次方程ax2﹣x+1＝0（a≠0），有两个实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【分析】由关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，即可得判别式△≥0且a≠0，继而可求得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣x+1＝0有两个实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×a×1＝1﹣4a≥0，
解得：a≤，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
14．（2分）如图，在⊙O中，＝，AB＝8，半径r＝5，则DC＝ 2 ．
【分析】由垂径定理得OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，再由勾股定理求出OD＝3，即可求解．
【解答】解：连接OA，如图所示：
∵，AB＝8，
∴OC⊥AB，AD＝BD＝AB＝4，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD＝＝＝3，
∴DC＝OC﹣OD＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
15．（2分）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表：
月户用电量x（千瓦时/户/月）
x≤240
240＜x≤300
300＜x≤350
350＜x≤400
＞400
户数（户）
5
22
27
31
15
从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：
①符合条件的情况数目；
②全部情况的总数．
二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：∵100户家庭中，用电量大于240小于等于400有22+27+31＝80户，
∴抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为＝，
故答案为：．
16．（2分）以下是小亮的妈妈做晚饭的食材准备及加工时间列表，有一个炒菜锅，一个电饭煲，一个煲汤锅，两个燃气灶可用，做好这顿晚餐一般情况下至少需要 33 分钟．
用时
种类
准备时间（分钟）
加工时间（分钟）
米饭
3
30
炒菜1
5
6
炒菜2
5
8
汤
5
15
【分析】由题意可知，熬饭准备时间需3分钟，熬饭需要30钟，妈妈可在等待饭熟的这30分钟内先完成煲汤和炒菜，所以妈妈做这顿饭至少需要3+30＝33分钟．
【解答】解：3+30＝33（分钟），
答：妈妈做晚饭最少要用33分钟，
故答案为：33．
三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（5分）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+2
＝﹣1﹣+2
＝1．
18．（5分）解不等式组：．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x﹣1＞3（x﹣1），得x＜2，
解不等式＜x+3，得x＞﹣，
则不等式组的解集为﹣＜x＜2．
19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．
【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵BD⊥AC，
∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，
∵DB＝DE，
∴∠E＝∠DBC＝30°．
20．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．
【分析】先根据完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项即可化简原式，继而根据已知等式得出x2+4x＝1，代入计算即可．
【解答】解：原式＝x2+4x+4﹣x2+9+x2
＝x2+4x+13，
∵x2+4x﹣1＝0，
∴x2+4x＝1，
则原式＝1+13＝14．
21．（5分）已知：△ABC，CD平分∠ACB．
求作：菱形DFCE，使点F在BC边上点E在AC边上，下面是尺规作图过程作法：①分别以C、D为圆心，大于CD为半径作弧，两弧分别交于点M、N；
②作直线MN分别与AC、BC交于点E、F；
③连接DE、DF，DC与EF的交点记为点G；四边形DFCE为所求作的菱形．
（1）利用直尺和圆规依做法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴ DE ∥ CF （ 内错角相等两直线平行 ）（填推理依据）．
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ ED＝EC ，
∴四边形DFCE为菱形．
【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；
（2）先证明DE∥CF，DF∥CE，则可判断四边形DFCE为平行四边形，然后利用ED＝EC得到四边形DFCE为菱形．
【解答】（1）解：如图，四边形DFCE为所求作；
（2）证明：∵DE＝EC，DF＝FC，
∴EF为DC的垂直平分线．
∵DE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD．
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD＝∠DCB．
∴∠EDC＝∠DCB．
∴DE∥CF（内错角相等两直线平行），
同理可证DF∥CE，
∴四边形DFCE为平行四边形．
又∵ED＝EC，
∴四边形DFCE为菱形．
故意答案为DE，CF，内错角相等两直线平行；ED＝EC．
22．（6分）已知：如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD于点E，延长AD至F，使DF＝AE，连接CF．
（1）求证：四边形EBCF是矩形；
（2）若sin∠A＝，CF＝3，求AF的长．
【分析】（1）由菱形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，求出EF＝BC，再由平行四边形的判定得出四边形EBCF是平行四边形，然后由矩形的判定即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AB＝BC，再由矩形的性质得EF＝BC，BE＝CF＝3，然后由锐角三角函数定义得AB＝5，则EF＝BC＝AB＝5，由勾股定理求出AE＝4，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD菱形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
又∵DF＝AE，
∴DF+DE＝AE+DE，
即：EF＝AD，
∴EF＝BC，
∴四边形EBCF是平行四边形，
又∵BE⊥AD，
∴∠BEF＝90°．
∴四边形EBCF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD菱形，
∴AB＝BC，
∵四边形EBCF是矩形，
∴EF＝BC，BE＝CF＝3，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵sin∠A＝＝，BE＝3，
∴AB＝5，
∴EF＝BC＝AB＝5，AE＝＝＝4，
∴AF＝AE+EF＝4+5＝9．
23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝x与反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象相交于点P（1，1）．
（1）求k的值；
（2）过点M（0，a）平行于x轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数y＝x、反比例函数y＝的图象相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）当≤a≤2时，求x1+x2的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法将点P（1，1）代入y＝（k≠0，x≠0），求出k即可；
（2）由题意得：y1＝y2＝a，进而可得x1+x2＝a+，根据a2+b2≥2ab，即可求出x1+x2≥2，再由≤a≤2，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0，x≠0）的图象经过点P（1，1），
∴1＝，
∴k＝1，
（2）由题意得：y1＝y2＝a，
∴x1＝y1＝a，x2＝＝，
∴x1+x2＝a+，
∵a＞0，
∴a+≥2＝2，
∴x1+x2≥2，
当a＝时，M（0，），A（，），B（2，），
∴x1+x2＝+2＝，
当a＝2，M（0，2），A（2，2），B（，2），
∴x1+x2＝2+＝，
∴x1+x2的取值范围为：2≤x1+x2≤．
24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F，FD上有一点E，CE＝EF．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）如果sinF＝，EF＝1，求AB的长．
【分析】（1）连接OC，由FD⊥AB得到∠1+∠F＝90°，由等腰三角形的性质得到∠3＝∠F，∠1＝∠2，进而得到∠2+∠3＝90°，即∠ECO＝90°，由切线的判定可得CE是⊙O的切线；
（2）根据三角函数，设出AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，连接CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB＝∠FCB＝90°，推出∠F＝∠B，再根据边角关系得出结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
∵FD⊥AB，
∴∠1+∠F＝90°，
∵CE＝EF，OA＝OC，
∴∠3＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3＝90°，
∴∠ECO＝90°，
∴OC⊥CE，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：如图2
∵FD⊥AB，sin∠F＝，
设AD＝3k，AF＝5k，可得FD＝4k，
∵D为OB中点，
∴OD＝DB＝OB＝OA＝AD，
∴DB＝k，
连接CB交FD于点G，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝∠FCB＝90°，
∴∠F＝∠B，
∵DB＝k，
∴GD＝k，可得FG＝k，
∵∠FCB＝90°，
∴∠5+∠F＝∠3+∠4，
∵∠F＝∠3，
∴∠4＝∠5，
∴CE＝EF＝EG，
∵EF＝1，
∴FG＝2，
∴＝2，k＝，
∴AB＝4k＝．
25．（5分）2021年是中国共产党成立100周年某中学面向学校全体师生征集“礼赞百年”活动作品，作品类别包括征文、书法、绘画．该中学学生小明统计了学校30个教学班上交活动作品的数量（单位：份），相关信息如下：
a．小明所在中学30个教学班上交作品的数量统计图：
b．小明所在中学各班学生上交作品数量的平均数如表：
班级
初一年级（10个班）
初二年级（10个班）
初三年级（10个班）
平均数
110
80
40
（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数约为 77 （结果取整数）；
（2）已知该中学全体教师上交作品的数量恰好是该校各班级中，上交作品数量最多的班级与最少的班级的数量差，则全体教师上交作品的数量为 130 份．
（3）记该中学初一年级学生上交作品数量的方差为s12，初二年级学生上交作品数量的方差为s22，初三年级学生上交作品数量的方差为s32．直接写出s12，s22，s32的大小关系．
【分析】（1）利用加权平均数公式求该中学各班学生上交作品数量的平均数即可；
（2）从统计图中找出上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份，找出最少的班级是初三年级10班10份，全体教师上交作品的数量＝140﹣10＝130份；
（3）先求出初一年级学生上交作品数量的方差为＝420，初二年级学生上交作品数量的方差为＝＝100，初三年级学生上交作品数量的方差为＝250，再比较大小即可．
【解答】解：（1）该中学各班学生上交作品数量的平均数为：
＝≈77（份），
故答案为：77．
（2）上交作品数量最多的班级是初一年级6班140份，最少的班级是初三年级10班10份，
全体教师上交作品的数量＝140﹣10＝130份，
故答案为：130；
（3）初一年级学生上交作品数量的方差为：
＝（202+102+202+202+302+302+0+102+302+102）＝420，
初二年级学生上交作品数量的方差为：
＝（102+02+102+102+02+202+0+102+102+102）＝100，
初三年级学生上交作品数量的方差为：
＝（202+302+102+102+02+202+0+102+102+202）＝250，
∵420＞250＞100，
∴＞＞．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．
（1）求该二次函数的对称轴；
（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2x+1上，试比较m、n的大小；
（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数的性质即可判断；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，当t＞1时，令x1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+2＝（x﹣t）2﹣t2+2
∴抛物线的对称轴为直线x＝t；
（2）抛物线开口向上，对称轴为直线x＝t，
∴点M（t﹣2，m）关于对称轴的对称点为（t+2，m），
t＜t+2＜t+5，
∴m＜n，
故答案为＜；
（3）当t≤1时，此时﹣1≤x1＜3，x2＝3都有y1≤y2，符合题意；
当t＞1时，令xx1＝﹣1时，y1＞y2，不符合题意．
综上所述：t≤1．
27．（7分）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．
（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；
（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC＝2∠AEB；
（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．
【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，
∴AD＝AE，
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD＝AE，
∴∠AEB＝∠ABE，
∵BG∥AF，
∴∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，
∴∠ABG＝2∠AEB，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠BGC＝∠ABG，
∴∠BGC＝2∠AEB；
（2）补全图2如下：
线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：
在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：
∵正方形ABCD，
∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，
又DN＝AH，
∴△ADN≌△BAH（SAS），
∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，
∵∠DNA+∠DAN＝90°，
∴∠DAN+∠AHB＝90°，
∴∠APH＝90°，
∴∠BPM＝∠BPA＝90°，
由（1）知∠ABE＝∠GBE，
且BP＝BP，
∴△ABP≌△MBP（ASA），
∴AB＝MB，
而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，
∴△ABH≌△MBH（SAS），
∴∠HAB＝∠HMB＝90°，
∴A、H、M、B共圆，
∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，
∴∠DNA＝∠GMN，
∴GN＝GM，
∵CF∥AB，BG∥AF，
∴四边形ABGF是平行四边形，
∴BG＝AF，
∵AF＝AD＝AB＝MB，
∴EF＝GM，
∴EF＝GN，
∵GN＝DG+DN，
∴EF＝DG+AH．
28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．
（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是 A1，A2 ．
（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是 （，），（，） ．（写出两个即可）
（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）由图象直接判断点A1存在关于⊙O的“斜射点”；对于点A2，过点A2作弦B2C2⊥y轴，用勾股定理求出弦B2C2的长为1，可得点A2存在关于⊙O的“斜射点”；过点A3作弦B3C3⊥x轴，说明此时弦B3C3的值最小，再用勾股定理求B3C3的长，可得B3C3的值大于1，因此点A3不存在关于⊙O的“斜射点”；
（2）设⊙O交x轴于点C，连接AC交⊙O于点B，先证明点B是点A关于⊙O的“斜射点”，再根据相似三角的性质求出点B的坐标，点B关于y轴的对称点也符合题意；
（3）先证明当直线y＝kx+k与x轴成60°角时，BC＝1，求出此时k的值，这个值就是k＞0时的最小值或k＜0时的最大值，由此求出k的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，由图象可知，对于⊙O外的任意一点A，都存在点A关于⊙O的“斜射点”，
∵点A1在⊙O外，
∴点A1存在关于⊙O的“斜射点”；
过点A2作弦B2C2与y轴垂直，连接OC2，
则A2C2＝A2B2＝＝，
∴B2C2＝1，
∴点A2存在关于⊙O的“斜射点”；
过点A3作弦B3C3与x轴垂直，连接OB3，
设点O到弦B3C3的距离为d，
则A3B3＝＝，
当B3C3⊥x轴时，d的值最大，此时A3B3的值最小，B3C3的值也最小；
∵A3B3＝＝，
∴B3C3＝，
∴B3C3＞1，
∴点A3不存在关于⊙O的“斜射点”．
故答案为：A1，A2．
（2）如图2，设⊙O交x轴于点C，
连接AC交⊙O于点B，作OD⊥AC于点D、BE⊥y轴于点E，
则∠ODC＝∠ODB＝∠AEB＝90°，
∵OA＝2，OC＝1，∠AOC＝90°，
∴AC＝＝，
∴BC＝CD＝OC•cos∠ACO＝1×＝，
∴BC＝＜1，
∴点B是点A关于⊙O的“斜射点”；
∵AB＝﹣＝，
∴BE＝AB•sin∠OAC＝1×＝；
∵＝tan∠OAC＝，
∴AE＝2BE＝2×＝，
∴OE＝2﹣＝，
∴B（，）．
同理，点B关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为（，）.
故答案为：（，），（，）．
（3）如图3，当k＞0时，直线y＝kx+k交y轴于点D（0，k），
当∠OBD＝60°时，连接OC，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴BC＝OB＝1，
此时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”，OD＝OB•tan60°＝，
∵当OD≥时，BC≤1，
∴k≥；
如图4，当k＜0时，同理可得，当k≤时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”．
综上所述，k的取值范围是：k≥或k≤．
相关试卷
2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析）： 这是一份2023年北京市门头沟区中考数学二模试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
北京市门头沟区2023届初三中考数学一模试卷+答案： 这是一份北京市门头沟区2023届初三中考数学一模试卷+答案，共15页。试卷主要包含了方程的解为，分解因式等内容，欢迎下载使用。
