2021届高三文科数学《大题精练》 (1)

2021届高三数学（文）“大题精练”1

17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.

（1）求的大小；（2）求的面积.

18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.

20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.

21.已知函数，且.

（1）求的最小值；   （2）证明：存在唯一极大值点，且.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.

（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；

（2）若点在圆上，求的取值范围.

23．选修4－5：不等式选讲

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.

2020届高三数学（文）“大题精练”1（答案解析）

17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.

（1）求的大小；（2）求的面积.

【解】（1）因为，所以点在线段上，且，故，①

记，则，.

因为，即，即，

结合①式，得，可得.

因为，所以，所以；

（2）在中，由余弦定理可得，

即，解得.

故.

18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个

基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；

（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.

可得下列列联表：

，

所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.

【解】（1）证明：由题意，易得，∴即，

又∵平面平面，交线为∴平面∴

又∵∴平面

（2）取中点，连接，∵∴，

又∵平面平面，交线为∴平面

∵为的中点，为的中点

∴

20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.

【解】（1）直线的方程为，则直线的斜率.

所以：，即，，椭圆方程为：；

（2）①当不存在时，，，

因为，所以.

②当存在时，设，，：，

联立得：.

所以，，又已知左顶点为，

，

又，

所以，

所以.综上得证.

21.已知函数，且.

（1）求的最小值；   （2）证明：存在唯一极大值点，且.

【解】（1），令，解得.，，为减函数，

，，为增函数.

（2），构造函数，则，

令，.故当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极大值点，因为，所以，

故

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.

（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；

（2）若点在圆上，求的取值范围.

【解】（1）由直线的参数方程可知：，直线的倾斜角为；

将圆的极坐标方程，化简得，两边乘得，，将，，。

带入并化简整理可得圆的直角坐标方程为.

（2）圆的参数方程为，，设，

=，由可得，

，即.

23．选修4－5：不等式选讲

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.

【解】（1），由得：或或

解得；由，或或解得.

故不等式的解集为：.

（2）依题意可得等价于，由（1）知的解集为.

因为对恒成立，所以，

所以解得，所以a的取值范围为.

17.已知中，角、、所对的边分别为、、，，，，.

（1）求的大小；（2）求的面积.

【解】（1）因为，所以点在线段上，且，故，①

记，则，.

因为，即，即，

结合①式，得，可得.

因为，所以，所以；

（2）在中，由余弦定理可得，

即，解得.

故.

18.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.

表1：男生

表2：女生

（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；

（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

参考公式：，其中.

参考数据：

【解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个

基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；

（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.

可得下列列联表：

，

所以没有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.

19.在矩形中，，为的中点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置（如图2），且平面平面

（1）证明：平面；

（2）若为的中点，为的中点，求三棱锥的体积.

【解】（1）证明：由题意，易得，∴即，

又∵平面平面，交线为∴平面∴

又∵∴平面

（2）取中点，连接，∵∴，

又∵平面平面，交线为∴平面

∵为的中点，为的中点

∴

20.已知过圆：上一点的切线，交坐标轴于、两点，且、恰好分别为椭圆：的上顶点和右顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知为椭圆的左顶点，过点作直线、分别交椭圆于、两点，若直线过定点，求证：.

【解】（1）直线的方程为，则直线的斜率.

所以：，即，，椭圆方程为：；

（2）①当不存在时，，，

因为，所以.

②当存在时，设，，：，

联立得：.

所以，，又已知左顶点为，

，

又，

所以，

所以.综上得证.

21.已知函数，且.

（1）求的最小值；   （2）证明：存在唯一极大值点，且.

【解】（1），令，解得.，，为减函数，

，，为增函数.

（2），构造函数，则，

令，.故当时，，当时，，

则在上单调递减，在上单调递增，

又，，，

结合零点存在性定理知，存在唯一实数，使得，

当时，，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，在单调递增，

故存在唯一极大值点，因为，所以，

故

22．选修4-4：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为.

（1）求直线的倾斜角和圆的直角坐标方程；

（2）若点在圆上，求的取值范围.

【解】（1）由直线的参数方程可知：，直线的倾斜角为；

将圆的极坐标方程，化简得，两边乘得，，将，，。

带入并化简整理可得圆的直角坐标方程为.

（2）圆的参数方程为，，设，

=，由可得，

，即.

23．选修4－5：不等式选讲

已知函数

（1）求不等式的解集；

（2）设表示不大于的最大整数，若对恒成立，求的取值范围.

【解】（1），由得：或或

解得；由，或或解得.

故不等式的解集为：.

（2）依题意可得等价于，由（1）知的解集为.

因为对恒成立，所以，

所以解得，所以a的取值范围为.