2021届高三文科数学《大题精练》 (8)

2021届高三数学（文）“大题精练”8

17．（12分）在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.

(1)证明:平面.

(2)过点作的平行线，与直线相交于点，点为的中点，求到平面的距离.

19．（12分）某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9.

（1）若引种树苗A、B、C各10棵.

①估计自然成活的总棵数；

②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；

（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵?

20．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：．

21．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

(二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．（10分）在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

23. （10分）设不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，，，求证：

2021届高三数学（文）“大题精练”8（答案解析）

17．（12分）在公差为2的等差数列中，，，成等比数列.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【解析】（1）∵的公差为,∴,.∵,,成等比数列,

∴,解得,从而.

（2）由（1）得,，.

18．（12分）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，，为的中点，点在上，平面，在的延长线上，且.

(1)证明:平面.

(2)过点作的平行线，与直线相交于点，点为的中点，求到平面的距离.

【解析】（1）证明:记的中点为，连接，过作交于，连接，

则，且.因为平面，所以.在中，，，易求，.又，则.因为，所以.

因为，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.

（2）因为平面，所以，而是正方形，所以.因为与显然是相交直线，所以平面，所以平面平面.记的中点为，连接，，则平面，且.因为点为的中点，所以，，，在中，，，，所以.，所以，而三棱锥的体积.记到平面的距离为，则，所以.因为到平面的距离是到平面的距离的一半，所以到平面的距离为.

19．（12分）某农户考察三种不同的果树苗A、B、C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B、C的自然成活率均为0.9.

（1）若引种树苗A、B、C各10棵.

①估计自然成活的总棵数；

②利用①的估计结论，从没有自然成活的树苗中随机抽取两棵，求抽到的两棵都是树苗A的概率；

（2）该农户决定引种B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，问至少引种B种树苗多少棵?

【解析】（1）①依题意：,所以自然成活的总棵数为26.

②没有自然成活的树苗共4棵,其中两棵A种树苗、一棵B种树苗、一棵C种树苗,分别设为,,b,c,从中随机抽取两棵,可能的情况有：,,,,,,抽到的两棵都是树苗A的概率为.

（2）设该农户种植B树苗n棵,最终成活的棵数为,未能成活的棵数为,由题意知,则有.所以该农户至少种植700棵树苗,就可获利不低于20万元.

20．（12分）已知椭圆的离心率为，焦距为2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：．

【解析】（1）由题，，∴，，， 故椭圆方程为；

（2）设，，，则，与椭圆方程联立得，由得，

，

∴，即.

21．（12分）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.

【解析】（1）.①当时，，在上单调递减；

②当时，令，解得，，

所以在和上单调递减，在上单调递增.

（2）当时，在上单调递减，且，则只需，所以，又，所以.当时，在和上单调递减，在上单调递增，且，①当，即时，若在上恰好只有一个零点，

则，则无解；②当，即时，若在上恰好只有一个零点，则，解得.综上，的取值范围为.

 (二)、选考题：共10分. 请考生从22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．（10分）在极坐标系中，已知曲线的方程为，曲线的方程为．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求曲线，的直角坐标方程；

（2）若曲线与轴相交于点，与曲线相交于，两点，求的值．

【解析】（1）由，得，曲线的直角坐标方程为，由，得，曲线的直角坐标方程为：

（2）由（1）知曲线为直线，倾斜角为，点的直角坐标为。直线的参数方程为（为参数），代入曲线中，并整理得，设对应的参数分别为，则，，，，

23. （10分）设不等式的解集为．

（1）求集合；

（2）若，，，求证：．

【解析】（1）由已知，令，由得．

（2）证明：要证， 只需证，只需证，

只需证，只需证，由，，，得，

则恒成立．综上可得：