2021届高三文科数学《大题精练》 (14)

2021届高三数学（文）“大题精练”14

17．（12分）已知数列是等比数列，且，．

（1）证明：数列是等差数列，并求出其通项公式；

（2）求数列的前项和．

18．（12分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，、分别是、的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求证：平面；

（3）求三棱锥的体积．

19．（12分）某学校有名高中生参加足球特长生初选，第一轮测身高和体重，第二轮足球基础知识问答，测试员把成绩(单位：分)分组如下：第组，第组，第组，第组，第组，得到频率分布直方图如图所示．

（1）根据频率分布直方图估计成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

（2）用分层抽样的方法从成绩在第，，组的高中生中抽取名组成一个小组，若再从这人中随机选出人担任小组负责人，求这人来自第，组各人的概率．

20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的下焦点为，过点且斜率为的直线与椭圆相交于，两点．

（1）以为直径的圆与相切，求该圆的半径；

（2）在轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线为．

（1）求，的值；

（2）若对任意的，恒成立，求正整数的最大值．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在直角坐标系中，曲线(为参数)，在以为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线．

（1）写出曲线和的普通方程；

（2）若曲线上有一动点，曲线上有一动点，求的最小值．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，，且的最小值为，若，求的最小值．

2021届高三数学（文）“大题精练”14（答案解析）

17．【解析】（1）因为数列是等比数列，设公比为，

所以当时，，

所以当时，为常数，因此数列是等差数列，

设数列的公差为，由，，得，

所以，即数列的通项公式为．

（2），

所以．

18．【解析】（1）∵三棱柱中，侧棱垂直于底面，∴．

∵，，平面，

∴平面．

∵平面，∴平面平面．

（2）取的中点，连接，．

∵是的中点，∴，．

∵是的中点，∴，，

∴四边形是平行四边形，∴．

∵平面，平面，∴平面．

（3）∵，，，

∴，∴．

19．【解析】（1）因为，所以，

所以成绩的平均值为

．

（2）第组学生人数为，第组学生人数为，第组学生人数为，

所以抽取的人中第，，组的人数分别为，，．

第组的人分别记为，，，第组的人分别记为，，第组的人记为，则从中选出人的基本事件为共个，

记“从这人中随机选出人担任小组负责人，这人来自第，组各人”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，，共个，

所以．

20．【解析】由题意可设直线的方程为，，，

由消去，得，

则恒成立，，，

，．

（1），

线段的中点的横坐标为，

∵以为直径的圆与相切，∴，解得，

此时，∴圆的半径为．

（2）设，

，

由，得，，

∴轴上存在定点，使得为定值．

21．【解析】（1）由，得．

曲线在点处的切线为，

所以，，解得，．

（2）由（1）知，则时，恒成立，

等价于时，恒成立．

令，，则．

令，则，

所以，，单调递增．

因为，，

所以存在，使．

且时，；时，，

所以，

因为，所以，

所以，

所以，即正整数的最大值为．

22．【解析】（1），．

（2）设，

结合图形可知：最小值即为点到直线的距离的最小值，

∵到直线的距离，

∴当时，最小，即．

23．【解析】（1）当时，，

原不等式可化为①，

当时，不等式①可化为，解得，此时；

当时，不等式①可化为，解得，此时；

当时，不等式①可化为，解得，此时，

综上，原不等式的解集为．

（2）由题意得，

∵的最小值为，∴，由，得，

∴，

当且仅当，即，时，的最小值为．