2021届高三文科数学《大题精练》 (15)

2021届高三数学（文）“大题精练”15

17．（12分）函数部分图象如图所示：

（1）求的最小正周期及解析式；

（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值．

18．（12分）如图，三棱锥中，是正三角形，．

（1）证明：；

（2）若，，求点到平面的距离．

19．（12分）某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为元，每个蛋糕的售价为元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．

（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕个，设当天的需求量为，则当天的利润（单位：元）是多少？

（2）若蛋糕店一天制作个生日蛋糕．

①求当天的利润（单位：元）关于当天需求量的函数解析式；

②求当天的利润不低于元的概率；

（3）若蛋糕店计划一天制作个或个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作个还是个生日蛋糕？

20．（12分）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，离心率，短轴长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点为椭圆上的一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．

21．（12分）已知函数．

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数在处的切线平行于轴，是否存在整数，使不等式在时恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数）与曲线（为参数），且曲线与交于，两点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）直线绕点旋转后，与曲线，分别交于，两点，求．

23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式恒成立，求的取值范围

2021届高三数学（文）“大题精练”15（答案解析）

17．【解析】（1）由图可得，，所以，所以，

当时，，可得，

因为，所以，所以的解析式为．

（2）

，

因为，所以，

当，即时，有最大值，最大值为；

当，即时，有最小值，最小值为．

18．【解析】（1）取中点，连，．

∵是正三角形，∴．

在中，，∴，∴平面，∴．

（2）正中，，

中，，∴，，

∵，∴，

∴中，，

∴，

∴．

由（1）证得：平面，

又为中点，∴，

设到平面的距离为，

，

∴，∴．

19．【解析】（1）当时，；

当时，．

（2）①由（1）得当天的利润关于当天需求量的函数解析式为：

．

②设“当天利润不低于”为事件，

由①知，“当天利润不低于”等价于“需求量不低于个”，

∴，

所以当天的利润不低于元的概率为．

（3）若一天制作个蛋糕，

则平均利润为；

若一天制作个蛋糕，

则平均利润为，

∵，∴蛋糕店一天应该制作个生日蛋糕．

20．【解析】（1）由题意得，解得，

∵，，∴，，

故椭圆的标准方程为．

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，

故；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立方程得，化简得，

设，，，，

，

点到直线的距离，

∵是线段的中点，∴点到直线的距离为，

∴

．

综上，面积的最大值为．

21．【解析】（1）依题意在上恒成立，

即，在上恒成立，

令，则当时，，

所以，即实数的取值范围是．

（2）依题意，所以，所以．

不等式在时恒成立．

即，即在时恒成立，

令，则．

因为，所以．

当时，，所以函数在上单调递增，

若，解得，与不符，应舍去；

当时，由，得；由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，．

问题转化为恒成立时，求的最大值．

令，则．

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在单调递减，

当时，．

因为，所以，即恒成立．

所以不存在整数使恒成立．

综上所述，不存在满足条件的整数．

22．【解析】（1）曲线是以为圆心，为半径的圆，其极坐标方程为，

曲线是以为圆心， 为半径的圆，其极坐标方程为．

（2）由，得，

即直线的斜率为，从而，，

由已知，设，，

将代入，得，

同理，将代入，得，

所以．

23．【解析】（1），

当时，无解；

当时，由，得，解得；

当时，由，解得．

所以的解集为．

（2）由，得，

设，

当时，；

当时，；

当时，，

∴，故实数的范围是．