2021届高三文科数学《大题精练》 (6)

2021届高三数学（文）“大题精练”6

17．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（本小题满分12分）

如图，多面体中，，平面⊥平面，四边形为矩形，∥，点在线段上，且．

(1)求证：⊥平面；

(2)若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比．

19．（本小题满分12分）

一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：

（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．

（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？

参考公式：，其中

参考附表：

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，且满足

（1）求抛物线的方程；

（2）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）在曲线上任取一点，连接，在射线上取一点，使，求点轨迹的极坐标方程；

（2）在曲线上任取一点，在曲线上任取一点，求的最小值．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数（）的最小值为2．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，求的最大值．

2020届高三数学（文）“大题精练”6（答案解析）

17．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

【解析】（1）由可得：当时，，上述两式相减可得．

当时：成立，故所求．

（2），，，

故所求．

18．（本小题满分12分）

如图，多面体中，，平面⊥平面，四边形为矩形，∥，点在线段上，且．

(1)求证：⊥平面；

(2)若，求多面体被平面分成的大、小两部分的体积比．

【解析】（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB．∵AB=DE=2，∴CD=DE=2．

∵点G在线段CE上，且EG=2GC=AB，

∴EC=AB=CD=，∴，即．

又平面CDE⊥平面ABCD，平面CDE平面ABCD=CD，DE平面CDE，∴DE⊥平面ABCD．

(2)设三棱锥G-BCD的体积为1，连接EB，AE．

∵EG=2GC，∴CG=EC，∴．

易知

又EF=2BC，BC∥EF，∴，故，

又，∴，故

故多面体ABCDEF被平面BDG分成的大、小两部分的体积比为11：1．

19．（本小题满分12分）

一项针对某一线城市30～50岁都市中年人的消费水平进行调查，现抽查500名（200名女性，300名男性）此城市中年人，最近一年内购买六类高价商品（电子产品、服装、手表、运动与户外用品、珠宝首饰、箱包）的金额（万元）的频数分布表如下：

（1）将频率视为概率，估计该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率．

（2）把购买六类高价商品的金额不低于5000元的中年人称为“高收入人群”，根据已知条件完成22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关？

参考公式：，其中

参考附表：

【解析】（1）该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的频数为，∴该城市中年人购买六类高价商品的金额不低于5000元的概率为：．

（2）根据频数分布表得：高收入人群中女性有140人，男性有180人，非高收入人群中女性有60人，男性有120人，完成列联表如下：

根据列联表中的数据，计算得，

故有95%的把握认为“高收入人群”与性别有关．

20．（本小题满分12分）

已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴的正半轴上，过点的直线与抛物线相交于，两点，且满足

（1）求抛物线的方程；

（2）若是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．

【解析】（1）由题意，设抛物线C的方程为，则焦点F的坐标为．

设直线的方程为

联立方程得，消去得

∴

∵∴故抛物线的方程为．

(2)设，易知点的横坐标与的横坐标均不相同，不妨设，易得直线PM的方程为化简得，

又圆心（0，1）到直线PM的距离为1，∴，

∴，

不难发现，故上式可化为，同理可得，

可以看作是的两个实数根，则

∴

∵是抛物线C上的点，∴，则又，∴

从而，

当且仅当时取得等号，此时，故△PMN面积的最小值为8．

21．（本小题满分12分）

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：．

【解析】（1）．

①当时，单调递增；

②当时，单调递减；

单调递增．

综上：当时，在单调递增；

当时，在单调递减，在单调递增．

（2）由（1）知，

当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；

当时，在单调递减，在单调递增，则．

不妨设，要证，即证，即证，即证．

∵在单调递增，即证，

∵，∴即证，即证．

令

，

．

当时，单调递减，又，∴时，，即，即．

又，∴，∴．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）在曲线上任取一点，连接，在射线上取一点，使，求点轨迹的极坐标方程；

（2）在曲线上任取一点，在曲线上任取一点，求的最小值．

【解析】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），

∴化为普通方程为，故的极坐标方程为，

设，则，即，

，， 点轨迹的极坐标方程为．

（2）∵曲线的极坐标方程为，∴化为直角坐标方程为．

故可化为参数方程为（为参数），

的最小值为椭圆上的点到直线距离的最小值．

设，则

，．

23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

已知函数（）的最小值为2．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若，求的最大值．

【解析】（Ⅰ）∵，∴（舍去），

∴，

当时，令，得，∴；

当时，令，得，无解；

当时，令，得，∴．

∴不等式的解集为．

（Ⅱ），∴，

∴，当且仅当时等号成立，∴的最大值为5.