2021届高三文科数学《大题精练》 (13)

2021届高三数学（文）“大题精练”13

17.已知数列的前项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

18.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。

19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，

，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

，，，

，

.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.

所以，关于的回归方程为：.

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

20.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最小值.

21.已知是函数的极值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.

（参考数据：）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.

23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

2021届高三数学（文）“大题精练”13（答案解析）

17.已知数列的前项和为，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

试题解析：（1）当时，，

当时，

即：，数列为以2为公比的等比数列

（2）

两式相减，得

18.如图，四棱锥中，底面为矩形，面，为的中点。

（1）证明：平面;

（2）设，，三棱锥的体积 ，求A到平面PBC的距离。

试题解析：(1）设BD交AC于点O，连结EO。

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。

又E为PD的中点，所以EO∥PB   

又EO平面AEC，PB平面AEC

所以PB∥平面AEC。

（2）

由，可得.

作交于。

由题设易知，所以

故，

又所以到平面的距离为

法2：等体积法

由，可得.

由题设易知,得BC

假设到平面的距离为d，

又因为PB=

所以

又因为(或)，

，所以

19.下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，

，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

，，，

，

.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.

所以，关于的回归方程为：.

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

20.已知抛物线，其焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，与交于点.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求面积的最小值.

【详解】(Ⅰ)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：

焦点到准线的距离为，即.

(Ⅱ)抛物线的方程为，即，所以

设，，

由于，所以，即

设直线方程为，与抛物线方程联立，得

所以

，，所以

即

联立方程得：，即：

点到直线的距离

所以

当时，面积取得最小值

21.已知是函数的极值点.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）求证：函数存在唯一的极小值点，且.

（参考数据：）

【详解】(Ⅰ)因为，且极值点

所以，所以

此时

设 ，则

则当时，，为减函数

又

当时，，则为增函数

当 时，，则为减函数

此时为的极大值点，符合题意

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，时，不存在极小值点

当时，，为增函数，且 ，

所以存在

结合(Ⅰ)可知当时，，为减函数； 时，，为增函数，所以函数存在唯一的极小值点

又 ，所以

且满足 .

所以

由二次函数图象可知：

又，

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.直角坐标系中曲线的参数方程为（为参数）.

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）经过点作直线交曲线于两点（在上方），且满足，求直线的方程.

试题解析:（1）由题意：曲线的直角坐标方程为：.

（2）设直线的参数方程为（为参数）代入曲线的方程有：

，设点对应的参数分别为，则，

则，，

∴，

∴直线的方程为：.

23.已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.

(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；

(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝

当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；

当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；

当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.

所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．                 6分

（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.

当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|

－2－a≤x≤2－a，

由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，

故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．

考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数