沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 第十六章 二次根式单元复习-学生版

二次根式是中考中的重点内容，主要是性质的运用和二次根式的运算，其中掌握二次根式的运算是重点，理解二次根式的性质是关键．二次根式的性质包括二次根式的有理化因式和分母有理化以及最简二次根式和同类二次根式；二次根式的运算包括二次根式的加减和二次根式的乘除以及它们的混合运算．把二次根式化为最简二次根式，不仅是简明表达的需要，而且是研究那些表示形式不同但实质一样的二次根式的需要，明确了同类二次根式和有理化因式的意义，那么，实施二次根式的加减运算，归结为合并同类二次根式；实施二次根式的除法运算，归结为分母有理化，从二次根式运算的全过程来看，就是按照一定的法则，把二次根式的运算转化为类似于整式、分式的运算，体现了化归的数学思想．

1. 二次根式的概念

代数式（）叫做二次根式，读作“根号”，其中是被开方数．

2. 最简二次根式的概念：

（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．

同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

3. 同类二次根式的概念：

   几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类

二次根式．

4. 有理化因式：

两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，我们就说这两个含有二次根式的非零代数式互为有理化因式．

【例1】     下列各式中、、、、、、、，二次根式的个数是（  ）

 A.4    B.3    C.6    D.5

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】     判断下列根式是否是最简二次根式．

（1）；  （2）；  （3）；

（4）；   （5）；  （6）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】     已知二次根式、是同类二次根式，写出三个的可能值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】     求下列各式有意义的所有x的取值范围：

（1）；   （2）；

（3）；   （4）；   （5）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例5】     已知，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】     已知：、为实数，且，化简：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例7】     已知求代数式的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例8】     已知实数满足：，求的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、二次根式的性质：

性质1 ；；

性质2 ；

性质3 ；

性质4 ．

【例9】     下列各式中一定成立的是（   ）．

 A．；   B．；  

C．；   D．．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例10】 已知，试化简．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例11】 设分别是三角形三边的长，化简：

   ．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】 化简二次根式：=          ．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】     化简．

（1）；  （2）

（3）；    （4）

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】 是的小数部分，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】     已知：，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】 已知，求的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例17】 化简：（1）；     （2）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例18】 已知．则的值为__________．．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、二次根式的加减法

实质为将二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式．

2、最简二次根式的乘除法：

（1）；  （2）．

3、分母有理化：

将分子分母同时乘以同一个适当的代数式，使分母不含根式；

．

4、二次根式的混合运算：

实数的运算律、运算性质以及运算顺序规定，在二次根式运算中都适用．

【例19】 计算下列各式：

 （1）；  

 （2）；

 （3）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例20】 计算下列各式：

 （1）；  

 （2）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例21】 将下列式子分母有理化：

（1）； （2）； （3）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】 计算下列各式：

 （1）；   

 （2）；

 （3）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】 已知：，，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】 已知：，求：的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例25】 已知，求的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   求下列二次根式中字母的取值范围

 （1）；   （2）；

 （3）；     （4）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   满足等式成立的的取值范围是_______．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   已知的值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   若最简根式与是同类根式，则_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】   化简二次根式：已知，求的值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题6】   若，求的值．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题7】   化简：

（1）；    （2）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   化简下列各式．

 （1）；  

 （2）；

 （3）；

 （4）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   把下列各式分母有理化：

 （1）；

 （2）；  

 （3）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              已知：，，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题11】              已知，求的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题12】              化简下列各式．

（1）；

（2）

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题13】              设的整数部分为，小数部分为，试求的值=     ．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题14】              已知，化简：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   若，则=_____________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   若最简根式与是同类根式，则____；b=_____．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   下列结论正确的是(     )

A．是最简二次根式；  

B．；

C．的有理化因式是；

D．不等式的解集是．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   已知、分别为等腰三角形的两条边长，且、满足

，求此三角形的周长．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】   计算．

 （1）；   

 （2）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   计算．

 （1）；

 （2）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   计算．

 （1） ； 

 （2）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   化简求值：，其中，．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】   化简：

（1）；  （2）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业10】              已知，计算．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业11】              已知，求的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业12】              设，，为自然数，如果成立，求值.

【难度】★★★

【答案】

【解析】