沪教版八年级上册暑假班 19.2 证明举例-学生版

几何证明是八年级数学上学期第十九章第一节内容，主要对演绎证明和命题、公理、定理的概念进行讲解，重点是真假命题的判定，难点是改写出已知命题．通过这节课的学习一方面为我们后面学习垂直平分线和角平分线等几何内容提供依据，另一方面也为后面学习直角三角形性质奠定基础．

1、演绎证明的概念

演绎证明：演绎推理的过程就是演绎证明．也就是说演绎证明是指：从已知的概念、条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论为正确的过程．

演绎推理是数学证明的一种常用的、完全可靠的方法．演绎证明是一种严格的数学证明，是我们现在要学习的证明方式，简称为证明．

【例1】        填空：

（1）如图，因为（已知），(已知)，

所以__________//__________（______________________________）．

（2）如图，因为（已知），

  所以__________ (______________________________)，

因为（已知），

  所以____________________ (______________________________)，

所以____________________ (______________________________)．

              （图1）       （图2）

【难度】★

【答案】

【答案】【解析】

【例2】        已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是外角∠CAE的平分线．

求证：AD // BC．

【难度】★

【答案】

【答案】【解析】

【例3】        已知：如图，于，于，交AB于，交延长线于．

求证：平分，填写分析和证明中的空白．

分析：要证明平分，只要证明__________＝__________，

而已知，所以应联想这两个角分别和的关系，由已知BC的两条垂线可推出__________//__________，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．

证明：∵（已知）

∴__________//__________（______________________________），

∴__________＝__________（两直线平行，内错角相等），

 __________＝__________（两直线平行，同位角相等），

∵__________（已知），

∴__________即平分（______________________________）．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例4】        求证：角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等．根据题意做出图形，标出必要的字母或符号，根据题设和结论，结合图形写出“已知”和“求证”．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

1、命题：能界定某个对象含义的句子叫作定义；对某一件事情做出判断的句子叫作命题；其判断为正确的命题叫作真命题；其判断为错误的命题叫作假命题．

数学命题通常由假设、结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”开始的部分是题设，“那么”开始的部分是结论．

2、公理：人们从长期的实践中总结出来的真命题．它们可以作为判断其他命题真假的原始依据．

3、定理：从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题定理真假的依据，这样的真命题叫做定理．

【例5】        判断下列语句是不是命题？

（1）              画的角平分线；

（2）              两条直线相交，有几个交点？

（3）              直角大于锐角；

（4）              直角大于钝角；

（5）              今天可能要下雨；

（6）              几何多有乐趣啊！

【难度】★

【答案】

【解析】

【例6】        判断下列命题的真假．

（1）              平行于同一条直线的两直线平行；

（2）              垂直于同一条直线的两直线平行；

（3）              同角的余角相等；

（4）              异号的两数相加得负数；

（5）              乘积为1的两个数互为倒数．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例7】        下列描述不属于定义的是（  ）．

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

B．正三角形是特殊的三角形；

C．在同一平面内三条线段首尾相连得到的图形是三角形；

D．含有未知数的等式叫做方程．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】        把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式：

 （1）直角三角形的两个锐角互余；

 如果____________________，那么______________________________；

 （2）角平分线上点到角两边的距离相等；

 如果____________________，那么______________________________；

 （3）线段垂直平分线上点到线段两端点的距离相等；

 如果____________________，那么______________________________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】        举出下列假命题的反例：

 （1）两个角是锐角的三角形是锐角三角形；

 （2）相等的角是对顶角；

 （3）一个角的补角大于这个角；

 （4）若，则；

 （5）若已知直线、、，若，，则．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】     下列说法中，正确的是（  ）．

A．命题一定是正确的；         B．不正确的判断就不是命题；

C．公理都是真命题；           D．真命题都是定理．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例11】     下列命题是假命题的是（  ）．

A．有两角及其中一角的角平分线对应相等的两个三角形全等；

B．有两角及其中一角的对边上的高对应相等的两个三角形全等；

C．有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

D．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】     已知：如图，在中，，于点，点在上，，过点作的垂线，交的延长线于点．

求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例13】     如图，已知中，于为的角平分线，交于，过作的平行线，交于点．

求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例14】     已知：如图，．

求证：．

 【难度】★

【答案】

【解析】

【例15】     如图，四边形中，平分，交于点， ，平行交延长线于点．

 求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例16】     如图，已知中，是边的中点，分别在边上，且，．

 求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例17】     如图，点是上的一点，在的同旁做等边和等边与交于点与相交于点．

求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例18】     如图，已知在中，平分，交延长线于点是的中点．

 求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例19】     如图，已知是的高，且．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例20】     如图所示，问要满足什么条件可以证明

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】     已知：如图所示，．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     如图，已知锐角，分别以为一直角边，皆以为直角顶点，向内侧作等腰和延长，交于点．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】     如图，已知两点分别在上，交于点．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】     等腰直角三角形中，，的平分线交于，过点向做垂线，并与延长线交于点．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例25】     如图，已知：是的中点，于，交于．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例26】     如图所示，已知为等边三角形，延长到，延长到，并且使，连结．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例27】     如图，已知：平分．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例28】     已知：如图所示，正方形中，在上，在上，．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例29】     如图所示，在中，， 是的中点，是的中点．

 求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例30】     如图，已知：在外作正方形和，是的中点．

 求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例31】     已知：如图，过的顶点，在内任引一射线，过作此射线的垂线和，设为的中点．

 求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例32】     如图，已知：在中，是上任意一点，于于．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   命题“互余的两个角一定是锐角”是_________命题（填“真”或“假”）．

【难度】★

【答案】【答案】

【解析】

【习题2】   下列命题中，是真命题的有（  ）．

A．两锐角之和是锐角 B．钝角减去锐角得锐角

C．钝角大于它的补角 D．锐角小于它的余角

【难度】★

【答案】【答案】

【解析】

【习题3】   将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式：

（1）同角的余角相等；

（2）直角都相等；

（3）对顶角相等；

（4）在一个三角形中，等角对等边．

【难度】★

【答案】【答案】

【解析】

【习题4】   求证“三角形内角和等于180°”，并说明其中的因果关系．

【难度】★

【答案】【答案】

【解析】

【习题5】   已知：四边形中，，是线段的中点，是的平分线．

 求证：是的平分线．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题6】   如图，已知：在中，平分．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】   如图，已知，是的角平分线， 将沿直线翻折，点落在的处．试判断的形状，并加以证明．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   如图，已知，为上一点，平分，平分，．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   已知：如图，中， ．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              如图，已知锐角，分别以为一直角边，皆以为直角顶点，向外侧作等腰和，联结交于点．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题11】              如图，已知: ,是中点，是中点，点在延长线上，且．

 求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题12】              如图，已知：在正方形中，是的中点，．

 求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题13】              已知：如图，在中，的角平分线相交于．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   下列语句中，正确的是（  ）．

A．相等的角是对顶角；

B．三角形的两锐角互余；

C．判定两个三角形全等，至少需要一对边相等；

D．面积相等的两个三角形全等．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论．

 （1）对顶角相等；         

 （2）同位角相等，两直线平行；

 （3）同角的余角相等．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   如图，已知：△ABC中，∠B = 2∠C，BC = 2AB．

求证：∠A = 90°．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   已知：如图，∠1=∠2，AB＞AC．

求证：BD＞DC．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业5】   已知：如图，分别平分和过点E．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   已知：．

 求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   如图，已知：在四边形中，平分．

求证：平分．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图若平分，则上的点E为△ABC的准内心．

应用：（1）如图为等边三角形ABC的高，准内心P在高AD上，且，则

 ∠BPC的度数为_____________度．

（2）如图已知直角中，斜边，准内心在边上，求的长．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】   如图，已知：点为等边内一点，为等边外一点，．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业10】              已知：如图所示在中三角形中， ，是上一点，于，交于，且有．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业11】              如图，已知是的中点，点在上，且．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业12】              已知：如图所示，在中，是的平分线．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】