沪教版(上海)八年级上册暑假班讲义 正比例函数的图像及性质 -学生版

正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．

一、    正比例函数的图像

1、   一般地，正比例函数(是常数, )的图象是经过，这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线；

2、   图像画法：列表、描点、连线．

【例1】        已知正比例函数．

列表：取自变量的一些值，根据正比例函数的解析式，填写下表．

描点：分别以所取的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点．

连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】        在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．

 （1）；  （2） ；  

 （3）；  （4）．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】        函数的图像是经过点________、________的________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】        （1）正比例函数的图像是____________，它一定经过点_______和_______．

（2）函数的图像经过点，写出函数解析式，并说明函数图 像经过哪几个象限？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例5】        已知与x成正比例，且x=2时，y=4；

 （1）求y与x之间的函数关系式；

 （2）若点(m，2m+7)，在这个函数的图象上，求m的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】        已知正比例函数图像上的一点到x轴距离与到y轴距离之比为，则此正比例函数的解析式是________________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例7】        如果正比例函数的图像经过点，说明是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】        已知函数,当为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】        一个正比例函数的图像经过点A，B，求a的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】     已知y是x的正比例函数，且当时，．

 (1)求出这个函数的解析式；

 (2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；

 (3)如果点P（a，4）在这个函数的图像上，求a的值；

 (4)试问点A关于原点对称的点B是否也在这个图像上？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例11】     已知点，并且点在直线上，求的面积．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例12】     正比例函数的图像经过点（-2，5），过图像上一点A作y轴的垂线，垂足B的坐标是（0，-3），求点A的坐标与的面积．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例13】     已知直线过点，A是直线上一点，若过点A向x轴引垂线，垂足为B，且，求点B的坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例14】     如图，长方形OABC的边BC = 6，AB = 3，

 (1) 直线交边AB于点P，求k的取值范围；

  (2) 直线把矩形OABC的面积分成两部分，靠近x轴的一部分记作S，试写出S关于k的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

二、正比例函数的性质：

（1）     当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 也随着逐渐增大．

（2）     当时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y的值 则随着逐渐减小．

【例15】     直线经过一、三象限，则________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例16】     已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求的取值范围.

【难度】★

【答案】

【解析】

【例17】     若正比例函数，的值随的增大而减小，则_______.

【难度】★

【答案】

【解析】

【例18】     图像经过_______象限，的值随的值增大而_______.

【难度】★

【答案】

【解析】

【例19】     当=_______时，是正比例函数，图像经过第______象限.

【难度】★

【答案】

【解析】

【例20】     已知点（），（）在正比例函数的图像上，当时，，那么k的取值范围是多少？

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】     已知正比例函数，那么它的图像经过____________象限.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     正比例函数的图像经过第一、三象限，求m的值.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例23】     已知，那么函数经过______象限，的值随的值增大而______.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例24】     函数是正比例函数，且y的值随着x的减小而增大，求k的值.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例25】     如果正比例函数的自变量增加5，函数值减少2，那么当时，_______.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例26】          （1）已知是经过第二、四象限的直线，且在实数范围内有意义， 求a的取值范围．

 （2）已知函数的值随自变量x的值增大而增大，且函数的   值随自变量x的增大而减小，求m的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例27】 正比例函数的图像经过点和，且该图像经过第 二、四象限．

 (1)求m的取值范围；

 (2)当时，比较与的大小，并说明理由．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例28】     已知函数，自变量的取值范围是，求的取值范围.

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例29】     已知在正比例函数中，y随x的值减小而减小.

 （1）求m的值；

 （2）求

 （3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x取何值时，？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例30】     已知正比例函数过A(2，-4)，点P在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B（0，4），且，求：点P的坐标．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例31】     两个正比例函数与，当时，，当时， =．

  (1) 求这两个函数的解析式；

  (2) 当x = 3时，求的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：与．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   若点P在直线上，且点P的横坐标为1，那么点P的坐标是________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   若正比例函数的图像经过（-1，3），则正比例函数的解析式是________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   已知和是直线上的两点，且，则与的大小关系是（ ）．

 A．   B．   C．   D．以上都有可能

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题5】   正比例函数（k为常数，）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题6】   正比例函数的图像经过一、三象限，且经过点，则

=________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题7】   如果正比例函数的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则

=________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   已知y是x的正比例函数，且当时，y=2，求y与x之间的比例系数，写出函数解析式，并求当时，x的值．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   已知与成正比例，且当x=1时，y=15，求y与x的函数关系式．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              如图，在同一直角坐标系内，已知函数中，y随x的增大而减小，函数，满足，则与的图像大致为(     )．

          A                         B                      C                       D

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题11】              已知正比例函数的图像经过点，经过图像上一点A作x轴的垂线，垂足为点B，求：（1）点A的坐标；（2）的面积．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题12】              已知平面直角坐标系内一点点，过点P作y轴的垂线，垂足为点H，如果．

 求：(1) 点P的坐标；  (2) 直线OP的解析式．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题13】              如果正比例函数的图像经过点，请判别、中哪一点离这个正比例函数的图像距离近？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题14】              如图，已知长方形ABCD的长AB = 4cm，宽BC = 3cm，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为xcm，△ABP的面积为y ，

 (1) 当动点P在BC上运动时，求y关于x的解析式及其定义域；

 (2) 当动点P在DC上运动时，怎样表示y？并求x的取值范围；

 (3) 当x取何值时，△ABP的面积为2？

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：与．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   已知点A（m，-3）在直线上，那么m=________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   已知正比例函数的图像经过第二、四象限，求k的取值范围．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   已知函数是正比例函数，=________；函数的图象经过________象限；随的减少而________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业5】   已知y与x成正比例，且x = 2时y = -6，则y = 9时x =________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3.6cm．设蜡烛点燃x分钟后，缩短ycm，求y的函数解析式和x的取值范围．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   在函数的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为，求的面积（O为坐标原点）．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业8】   如图，在直角坐标系中，OA = 3，OB = 4，直线OP与线段AB相交于点P，

 (1) 求△ABO的面积；

 (2) 若直线OP将△ABO的面积等分，求直线OP的解析式；

  (3) 若点P是直线OP与线段AB的交点，是否存在点P，使△AOP与△BOP中，一个面积是另一个面积的4倍？若存在，求直线OP的解析式；若不存在，请说明理由．

【难度】★★★

【答案】

【解析】