沪教版八年级上册暑假班讲义 线段垂直平分线及角平分线-学生版

线段的垂直平分线和角平分线是八年级数学上学期第十九章第四节内容，主要对线段的垂直平分线和角平分线进行讲解，重点是线段的垂直平分线和角平分线定理的理解，难点是线段的垂直平分线和角平分线定理的运用．通过这节课的学习一方面为我们后期学习直角三角形提供依据，另一方面也为后面学习勾股定理奠定基础．

一、   线段的垂直平分线的性质及逆定理

 1、线段的垂直平分线上的任意一点到这条线段的两个端点的距离相等；

 注意：垂直平分线中的垂直是相互的，而平分则要看清楚到底是谁被平分．

 2、和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【例1】        如图，垂直平分，若的周长为，则 ________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例2】        如图，在中，°，垂直平分，若°，则___________度．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例3】        如图，已知在中，垂直平分于点，交BC于点垂直平分于点，交于点，若°，则__________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】        若三角形一边中垂线过另一边中点，则该三角形必为_________三角形．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例5】        已知：如图，在中，°，，垂直平分于点，交于点．求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例6】        已知：如图，在中，°，为延长线上一点，是上一点，垂直平分为垂足，交于点．求证：在的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例7】        如图，中，是的平分线，点在延长线上，且．求证：点在的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例8】        已知：在中，，°，平分交于点．

求证：点在的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例9】        已知：在中，是的垂直平分线, ．

求证：点在线段的垂直平分线．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例10】     如图，在△ABC中，∠A=30°，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD．

求证：AF = FG = BG．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例11】          如图，在△ABC中，∠B=22.5°，边AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC，并与BC边上的高AE交于点G．

求证：EG = EC．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例12】          如图，已知：△ABC中，AB = CB，点D在线段AC上，且AB = AD，∠ABC =108°，过点A作AE∥BC，交∠ABD的平分线于E，联结CE．

求证：BD垂直平分EC．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

二、   角平分线的性质定理和角平分线的性质定理的逆定理

1、   角的平分线上的点到这个角两边的距离相等．

2、   在一个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上

 注意：角的平分线可以看作是在这个角的内部（包括顶点）到这个角两边距离相等的点的集合．

【例13】     已知：如图，点P到AE、AD、BC的距离相等，则下列说法：①点P在∠BAC的平分线上；②点P在∠CBE的平分线上；③点P在∠BCD的平分线上；④点P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分线的交点，其中正确的是（     ）．

 A．①②③④         B．①②③         C．④            D．②③

【难度】★

【答案】

【解析】

【例14】     如图，AB = AD，∠ABC =∠ADC = 90°，则下列结论：①∠3=∠4，②∠1=∠2；③∠5=∠6；④AC垂直且平分BD，其中正确的有（    ）．

 A．①②③④         B．①②③             C．①③          D．①③④

【难度】★

【答案】

【解析】

【例15】     如图，中，°，于是的平分线，与交于．

求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例16】     已知，如图，在中，的平分线与相邻的外角的平分线交于点．

求证：．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例17】     如图，平分，平分，交于点，交于点．

求证：点到的距离相等．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例18】     如图，°，是的中点，平分．

求证：平分．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例19】     已知：如图，平分是上一点，过点作直线，分别交于点和，且．

求证：点P到和的距离相等．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例20】     如图，为的角平分线，，交于，过作的垂线交延长线于．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】     已知：如图，在等腰直角三角形中，°，为的中点，且，垂足为点，过点作交的延长线于点，联结．

   （1）求证：；

   （2）联结，试判断的形状，并说明理由．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例22】     如图，分别平分和，分别垂直于，如果，那么_______， _________．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例23】     如图，中，°，点为的三条角平分线的交点，，，，点分别为垂足，且，则点到三边和的距离分别为_______．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例24】     如图，在中，°，，是边上的中线，过作，为垂足，延长交于．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例25】     如图，已知正方形中，是的中点，是边上的一点，且．

求证：平分．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例26】     已知：如图，正方形的边长为，上各有一点，若的周长为．求的度数．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题1】   已知AC = AD，BC = BD，则（    ）．

 A．CD垂直平分AD       B．AB垂直平分CD      

  C．CD平分∠ACB       D．以上结论均不对

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题2】   如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么这个三角形是（    ）

 A．直角三角形  B．锐角三角形   C．钝角三角形    D．等边三角形

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题3】   △ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5 cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（   ）．

 A．6 cm    B．7 cm     C．8 cm      D．9 cm

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题4】   为的中垂线，在延长线上，°，则_________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题5】   的边长的中垂线交于一点，且，则=________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题6】   △ABC中，AB = AC，AC的中垂线交AB于E，△EBC的周长为20cm，AB = 2BC，则腰长为___________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【习题7】   如图所示，AB//CD，O为∠A、∠C的平分线的交点，OE⊥AC于E，且OE=2，

 则AB与CD之间的距离等于___________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题8】   中，平分，分别垂直于，垂足分别为，如果则______________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题9】   已知：点A和点D都是线段BC外一点，且AB = AC，DB = DC，E是AD上一点．

 求证：BE = CE．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题10】              已知：如图，在中，°，°，是的垂直平分线．求证：．

【难度】★★

【答案】 

【解析】

【习题11】              已知：如图，中，°，，．

求证：．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【习题12】              如图，在中，平分，垂直平分交延长线于．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【习题13】              已知：如图，在凹四边形中，垂直平分，垂直平分，与相交于点，且．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业1】   下列命题中正确的命题有（    ）．

 ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距              离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直              线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．

 A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业2】   等腰三角形的底角为，两腰垂直平分线交于点，则（         ）．

   A、点在三角形内            B、点在三角形底边上

    C、点在三角形外            D、点的位置与三角形的边长有关

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业3】   中，，腰的中垂线交于，周长为，则 ______________．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】   正内一点到三边距离相等，则___________度．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业5】   如图，中，°，平分，于，如果，那么=___________．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】   如图，已知中，是的垂直平分线，，的周长为，求的周长．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】   如图，在中已知点在上，且．求证：点在的垂直平分线上．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业8】   如图，在中，，°，的垂直平分线交于为垂足，且，求的长．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业9】   如图，正方形的边长为1，是的平分线，交于点，则点到的距离为___________．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业10】              如图，已知中，点是延长线上的一点，平分，BD = BE．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【作业11】              如图，在中，于，．

求证：．

【难度】★★★

【答案】

【解析】