2021年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》大题练习(含答案)

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1.平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线过点A（1，0）、B（3，0）和C（4，6）；
（1）求抛物线的表达式；
（2）现将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，再沿y轴方向平移k个单位，若所得抛物线与x轴交于点D、E（点D在点E的左边），且使△ACD∽△AEC（顶点A、C、D依次对应顶点A、E、C），试求k的值，并注明方向.
2.如图，直线y=x＋2与抛物线y=ax2＋bx＋6相交于A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))和B(4，m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴，交抛物线于点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；
(3)当△PAC为直角三角形时，求点P的坐标.
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)动点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积.
4.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．
5.如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（﹣2,﹣4），与x轴交于A、B两点,且A（﹣6,0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P,使△APC的面积最大？若能,请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
6.如图，已知抛物线经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；
(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BNC的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
7.如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A(﹣1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．
(1)求该抛物线的函数关系表达式；
(2)当点P在线段OB(点P不与O、B重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；
(3)在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．
8.如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，且A（﹣6，0），D（﹣2，﹣8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，不与点A、C重合，求过点P作x轴的垂线交于AC于点E，求线段PE的最大值及P点坐标；
（3）在抛物线的对称轴上足否存在点M，使得△ACM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案
1.解：（1）∵抛物线过点A（1，0）、B（3，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣3），
∵C（4，6），
∴6=a（4﹣1）（4﹣3），
∴a=2，
∴抛物线的解析式为y=2（x﹣1）（x﹣3）=2x2﹣8x+6；
（2）如图，设点D（m，0），E（n，0），
∵A（1，0），
∴AD=m﹣1，AE=n﹣1
由（1）知，抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2；
∴将此抛物线先沿x轴方向向右平移6个单位，得到抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2；
∴再沿y轴方向平移k个单位，得到的抛物线的解析式为y=2（x﹣8）2﹣2﹣k；
令y=0，则2（x﹣8）2﹣2﹣k=0，
∴2x2﹣32x+126﹣k=0，
根据根与系数的关系得，
∴m+n=16，mn=63﹣0.5k，
∵A（1，0），C（4，6），
∴AC2=（4﹣1）2+62=45，
∵△ACD∽△AEC，
∴AC2=AD•AE，
∴45=（m﹣1）（n﹣1）=mn﹣（m+n）+1，
∴45=63﹣0.5k﹣16+1，
∴k=6，
即：k=6，向下平移6个单位.
2.解：(1)∵B(4，m)在直线y=x＋2上，
∴m=6，B(4，6).
∵A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))、B(4，6)在抛物线y=ax2＋bx＋6上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)a＋\f(1,2)b＋6＝\f(5,2)，,16a＋4b＋6＝6.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－8.))
∴所求抛物线的表达式为y=2x2－8x＋6.
(2)设动点P的坐标为(n，n＋2)，则点C的坐标为(n，2n2－8n＋6).
∴PC=(n＋2)－(2n2－8n＋6)=－2n2＋9n－4=－2(n－eq \f(9,4))2＋eq \f(49,8).∵a=－2＜0，
∴当n=eq \f(9,4)时，线段PC取得最大值eq \f(49,8)，此时，P(eq \f(9,4)，eq \f(17,4)).
综上所述，存在符合条件的点P(eq \f(9,4)，eq \f(17,4))，使线段PC的长有最大值eq \f(49,8).
(3)显然，∠APC≠90°，如图1，当∠PAC=90°时，
设直线AC的表达式为y=－x＋b，把A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))代入，
得－eq \f(1,2)＋b=eq \f(5,2).解得b=3.由－x＋3=2x2－8x＋6，得x1=3或x2=eq \f(1,2)(舍去).
当x=3时，x＋2=3＋2=5.此时，点P的坐标为P1(3，5).
如图2，当∠PCA=90°时，由A(eq \f(1,2)，eq \f(5,2))知，点C的纵坐标为y=eq \f(5,2).
由2x2－8x＋6=eq \f(5,2)，得x1=eq \f(1,2)(舍去)，x2=eq \f(7,2).当x=eq \f(7,2)时，x＋2=eq \f(7,2)＋2=eq \f(11,2).
此时，点P的坐标为P2(eq \f(7,2)，eq \f(11,2)).
综上可知，满足条件的点P有两个，为P1(3，5)，P2(eq \f(7,2)，eq \f(11,2)).
3.解：(1)设这个二次函数的表达式为y=ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝0，,16a＋4b＋c＝0，,c＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－3，,c＝－4，))
∴这个二次函数的表达式为y=x2－3x－4.
(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，
连接OP，CP，如图①，
∴PO=PC，此时点P即为满足条件的点.
∵C(0，－4)，
∴D(0，－2)，∴点P的纵坐标为－2.
当y=－2时，即x2－3x－4=－2，
解得x1=eq \f(3－\r(17),2)(不合题意，舍去)，x2=eq \f(3＋\r(17),2).
∴存在满足条件的点P，其坐标为(eq \f(3＋\r(17),2)，－2).
(3)∵点P在抛物线上，
∴可设P(t，t2－3t－4).
过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图②，
∵B(4，0)，C(0，－4)，
∴直线BC的函数表达式为y=x－4，
∴F(t，t－4)，
∴PF=(t－4)－(t2－3t－4)=－t2＋4t，
∴S△PBC=S△PFC＋S△PFB=eq \f(1,2)PF·OE＋eq \f(1,2)PF·BE=eq \f(1,2)PF·(OE＋BE)=eq \f(1,2)PF·OB
=eq \f(1,2)(－t2＋4t)×4=－2(t－2)2＋8，
∴当t=2时，S△PBC最大，且最大值为8，
此时t2－3t－4=－6，
∴当点P的坐标为(2，－6)时，△PBC的面积最大，最大面积为8.
4.
5.解：
（1）设此函数的解析式为y=a（x+h）2+k，
∵函数图象顶点为M（﹣2，﹣4），
∴y=a（x+2）2﹣4，
又∵函数图象经过点A（﹣6，0），
∴0=a（﹣6+2）2﹣4解得a=，
∴此函数的解析式为y=（x+2）2﹣4，即y=x2+x﹣3；
（2）∵点C是函数y=x2+x﹣3的图象与y轴的交点，
∴点C的坐标是（0，﹣3），
又当y=0时，有y=x2+x﹣3=0，解得x1=﹣6，x2=2，
∴点B的坐标是（2，0），
则S△ABC=|AB|•|OC|=×8×3=12；
（3）假设存在这样的点，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F．
设E（x，0），则P（x， x2+x﹣3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵直线AC过点A（﹣6，0），C（0，﹣3），
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，
∴点F的坐标为F（x，﹣x﹣3），
则|PF|=﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）=﹣x2﹣x，
∴S△APC=S△APF+S△CPF=|PF|•|AE|+|PF|•|OE|
=|PF|•|OA|=（﹣x2﹣x）×6=﹣x2﹣x=﹣（x+3）2+，
∴当x=﹣3时，S△APC有最大值，此时点P的坐标是P（﹣3，﹣）．
6.解：(1)y=-x2＋2x＋3
(2)易求直线BC的解析式为y=-x＋3，
∴M(m，-m＋3)，
又∵MN⊥x轴，
∴N(m，-m2＋2m＋3)，
∴MN=(-m2＋2m＋3)-(-m＋3)＝-m2＋3m(0＜m＜3)
(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=0.5|MN|·|OB|，
∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，
MN=-m2＋3m=-(m-1.5)2＋2.25，
所以当m＝1.5时，
△BNC的面积最大为3.75.
7.解：
(1))∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1，0)，B(3，0)，
把A、B两点坐标代入上式，，解得：，
故抛物线函数关系表达式为y=x2﹣2x﹣3；
(2)∵A(﹣1，0)，点B(3，0)，∴AB=OA+OB=1+3=4，
∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，PC⊥BE，
∴∠OPE+∠CPB=90°，∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠OPE=∠PCB，
又∵∠EOP=∠PBC=90°，
∴△POE∽△CBP，∴，设OP=x，则PB=3﹣x，
∴，∴OE=，
∵0＜x＜3，∴时，线段OE长有最大值，最大值为．
即OP=时，线段OE有最大值．最大值是．
(3)存在．
如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，
∵抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3，∴x=0，y=﹣3，∴N点坐标为(0，﹣3)，
设直线BN的解析式为y=kx+b，∴，∴，
∴直线BN的解析式为y=x﹣3，
设M(a，a2﹣2a﹣3)，则H(a，a﹣3)，
∴MH=a﹣3﹣(a2﹣2a﹣3)=﹣a2+3a，
∴S△MNB=S△BMH+S△MNH===，
∵，∴a=时，△MBN的面积有最大值，最大值是，
此时M点的坐标为()．
8.解：