2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十一(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十一

1.在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM=x．  

(1)用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；     

(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切？      

(3)在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

2.已知直线y=2x-5与x轴和y轴分别交于点A和点B，抛物线y=-x2+bx+c的顶点M在直线AB上,且抛物线与直线AB的另一个交点为N．

（1）如图,当点M与点A重合时，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，求点N的坐标和线段MN的长；

（3）抛物线y=-x2+bx+c在直线AB上平移,是否存在点M,使得△OMN与△AOB相似?若存在,直接写出点M的坐标；若不存在,请说明理由．

3.如图，抛物线C1：y=x2+bx+c经过原点，与x轴的另一个交点为（2，0），将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，C2交x轴于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点c．

（1）求抛物线C1的解析式及顶点坐标．

（2）以AC为直角边向上作直角三角形ACD（∠CAD是直角），且tan∠DCA=0.5，当点D落在抛物线C2的对称轴上时，求抛物线C3的解析式．

（3）若抛物线C2的对称轴上存在点P，并且以P为圆心AC长为半径的圆经过A，C两点，求m的值．

4.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．
（1）抛物线的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______；
（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；
（3）如图2，点E的坐标为（0，-1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；
（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，4），B（3，0）两点，与x轴负半轴交于点C，连接AC、AB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）D、E分别为AC、AB的中点，连接DE，P为DE上的动点，PQ⊥BC，垂足为Q，QN⊥AB，垂足为N，连接PN．

①当△PQN与△ABC相似时，求点P的坐标；

②是否存在点P，使得PQ=NQ，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，﹣1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a（x﹣h）2+k的形式；

（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；

（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？

（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7.如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

(1)求a，b的值；

(2)点P是线段AB上一动点(点P不与点A、B重合)，过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式(不要求写出自变量t的取值范围)；

(3)在(2)的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．

8.如图，抛物线y=-0.5x2-1.5x+6-4k.（其中k为正整数）与x轴相交于两个不同的点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴相交于点C，连结AC、BC．

（1）求k的值；

（2）如图①，设点D是线段AC上的一动点，作DE⊥x轴于点F，交抛物线于点E，求线段DE长度的最大值；

（3）如图②，抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

0.答案解析

1.解：

2.解：

3.解：

（1）抛物线C1的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x，

因为y=（x﹣1）2﹣1，故抛物线C1的顶点坐标为（1，﹣1）；

（2）抛物线线C2的对称轴交x轴于E点，如图1，

∵将抛物线C1向右平移m（m＞0）个单位得到抛物线C2，

∴抛物线C2的对称轴为直线x=1+m，A（m，0），B（2+m，0），E（1+m，0），

∴抛物线C2的解析式为y=（x﹣m）（x﹣1﹣m），即y=x2﹣2（m+1）x+m2+2m，

当x=0时，y=x2﹣2（m+1）x+m2+2m=m2+2m，则C（0，m2+2m），

∵∠CAD=90°，∴∠OAC+∠DAE=90°，∵∠DAE+∠ADE=90°，∴∠OAC=∠ADE，

∴Rt△EDA∽Rt△OAC，∴=，∵在Rt△ADC中，tan∠DCA==，

∴=，整理得m2+2m﹣2=0，解得m1=﹣1，m2=﹣﹣1（舍去），

∴抛物线C2的解析式为y=x2﹣2x+2；

（3）如图2，作直径CQ，作QH⊥x轴于H，

∵E点为OH的中点，∴OH=2OE=2（m+1），∴AH=2（m+1）﹣m=m+2，

∵PC=PA=AC，∴△PAC为等边三角形，∴∠PCA=60°，

∵CQ为直径，∴∠CAQ=90°，在Rt△ACQ中，tan∠ACQ==tan60°=，

∵∠OAC+∠QAH=90°，∠OAC+∠ACO=90°，∴∠ACO=∠QAH，

∴Rt△AQH∽Rt△CAO，∴AH：CO=AQ：AC，

即（m+2）：（m2+2m）=，解得m=，即m的值为．

4.解：

5.解：

（1）将A（0，4），B（3，0）代入抛物线的解析式得：，

解得；b=，c=4．∴抛物线的解析式为y=﹣+x+4．

（2）①如图1所示：

∵令y=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴C（﹣1，0）．∴BC=4，AB==5．

∵D、E分别为AC、AB的中点，∴DE∥BC．∴=1．∴PQ=DO=2．

∵PQ⊥BC，QN⊥AB，∴∠PQN+∠NQB=90°，∠NQB+∠QBN=90°．

∴∠PQN=∠QBN．∴当或时，△PQN与△ABC相似．

∵当时，，解得；QN=．

∵=，∴QB=QN=×=2．∴OQ=3﹣2=1．

∴点P的坐标为（1，2）．当时，，解得；QN=2.5．

∵=，∴QB=QN=×=．∴OB﹣BQ=﹣．

∴点P的坐标为（﹣，2）．

综上所述点P的坐标为（1，2）或（﹣，2）．

②如图2所示：

∵PQ=QN，PQ=2，∴QN=2．∵QN⊥AB，∴∠QNB=90°．

∵由（2）可知OA=4，AB=5，∴sin∠ABO=．

∴，即，解得；QB=．∴OQ=OB﹣QB=3﹣=．

∴P（，2）．

6.解：

（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，

∴∴，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2=﹣（x﹣2）2+；

（2）如图1，

过点A作AH∥y轴交BC于H，BE于G，由（1）有，C（0，﹣2），

∵B（0，3），∴直线BC解析式为y=x﹣2，

∵H（1，y）在直线BC上，∴y=﹣，∴H（1，﹣），

∵B（3，0），E（0，﹣1），∴直线BE解析式为y=﹣x﹣1，∴G（1，﹣），∴GH=，

∵直线BE：y=﹣x﹣1与抛物线y=﹣x2+x﹣2相较于F，B，∴F（，﹣），

∴S△FHB=GH×|xG﹣xF|+GH×|xB﹣xG|=GH×|xB﹣xF|=××（3﹣）=．

（3）如图2，由（1）有y=﹣x2+x﹣2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，），

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，

∴设M（2，m），（m＞），∴OM2=m2+4，BM2=m2+1，AB2=9，

∵∠OMB=90°，∴OM2+BM2=AB2，∴m2+4+m2+1=9，

∴m=或m=﹣（舍），∴M（0，），∴MD=﹣，

∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y轴方向向上运动，∴t=﹣；

（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，∴∠PBO=∠EBO，∵E（0，﹣1），

∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y=﹣x+1①，

∵点P在抛物线y=﹣x2+x﹣2②上，联立①②得，或（舍），∴P（1.5，0.5），

即：在x轴上方的抛物线上，存在点P，使得∠PBF被BA平分，P（1.5，0.5）．

7.解：

(1)∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A(4，0)，

∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B(1，3)，

∵抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,3)，

∴,解得:，

∴a=﹣1,b=4；

(2)如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，

∵B(1，3)，A(4，0)，∴OD=1，BD=3，OA=4，∴AD=3，∴AD=BD，

∵∠BDA=90°,∠BAD=∠ABD=45°,

∵MC⊥x轴,∴∠ANC=∠BAD=45°,∴∠PNF=∠ANC=45°，

∵PF⊥MC,∴∠FPN=∠PNF=45°,∴NF=PF=t,

∵∠DFM=∠ECM=90°,∴PF∥EC,∴∠MPF=∠MEC，

∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，

∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；

(3)如备用图，由(2)知，PF=t，MN=4t，

∴S△PMN=0.5MN×PF=0.5×4t×t=2t2，

∵∠CAN=∠ANC，∴CN=AC，∴S△ACN=0.5AC2，

∵S△ACN=S△PMN，∴0.5AC2=2t2，∴AC=2t，∴CN=2t，

∴MC=MN+CN=6t，∴OC=OA﹣AC=4﹣2t，∴M(4﹣2t，6t)，

由(1)知抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x，将M(4﹣2t，6t)代入y=﹣x2+4x得：

﹣(4﹣2t)2+4(4﹣2t)=6t，解得：t1=0(舍)，t2=0.5，

∴PF=NF=0.5，AC=CN=1，OC=3，MF=1.5，PN=，PM=，AN=，

∵AB=3，∴BN=2，作NH⊥RQ于点H，∵QR∥MN，∴∠MNH=∠RHN=90°，

∠RQN=∠QNM=45°，∴∠MNH=∠NCO，∴NH∥OC，∴∠HNR=∠NOC，

∴tan∠HNR=tan∠NOC，∴==，

设RH=n，则HN=3n，∴RN=n，QN=3n，∴PQ=QN﹣PN=3n﹣，

∵ON==，OB==，∴OB=ON，∴∠OBN=∠BNO，

∵PM∥OB，∴∠OBN=∠MPB，∴∠MPB=∠BNO，

∵∠MQR﹣∠BRN=45°，∠MQR=∠MQP+∠RQN=∠MQP+45°，∴∠BRN=∠MQP，

∴△PMQ∽△NBR，∴=，∴=，解得：n=，

∴R的横坐标为：3﹣=，R的纵坐标为：1﹣=，

∴R(，)．

8.解：

（1）由题意得＞0，解得＜∵为正整数，∴=1.

（2）由，得，.∴点A（－4，0），B（1，0）.

令x=0，得y=2，∴点C的坐标为（0，2）.

设直线AC的解析式为，则，∴ ∴.

设E（m，)，∴D(m，m+2)

∴DE=－(m+2) =m2－2m=当m=－2时，DE的最大值是2.

（3）在RtΔAOC中，,在RtΔBOC中，

∵，∴∠ACB=900.

又CO⊥AB， ∴ΔABC∽ΔACO∽ΔCBO.

 ①若点M在轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，ΔMAN∽ΔBAC；

根据抛物线的对称性，当M(－3,2) 时，ΔMAN∽ΔABC；

 ②若点M在轴下方时，设N(n,0)，则M（n, ），

∴ MN=n2+n－2 ,  AN=n+4

当时，MN=AN，即n2+n－2=(n+4)，

n2+2n－8=0 ，∴ n1= －4(舍去), n2=2， ∴M（2，－3）

当时，MN=2AN，即n2+n－2=2(n+4)，

n2－n－20=0 ，∴ n1= －4(舍去)，n2=5， ∴M（5，－18）

综上所述：存在M1（0，2）,M2(－3,2), M3（2，－3）,M4（5，－18）,

使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似.