2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习05（含答案）

2022年中考数学二轮专题复习

《压轴题-二次函数》培优练习05

1.如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0，8)，点C的坐标为(6，0).

抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，

设CP=m，△CPQ的面积为S.

①求S关于m的函数表达式；

②当S最大时，在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由.

2.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为(6，0)，(4，3)，经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为(1，0)．

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．

3.如图,顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的横坐标为2,连结AM、BM．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）判断△ABM的形状,并说明理由；

（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点.若将（1）中抛物线平移,使其顶点为（m,2m）,当m满足什么条件时,平移后的抛物线总有不动点．

4.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点.

（1）求抛物线解析式；

（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S.

求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

（3）若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，

B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接BC．

(1)求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；

(2)点D为抛物线对称轴上一点，连接CD、BD，若∠DCB=∠CBD，求点D的坐标；

(3)已知F(1，1)，若E(x，y)是抛物线上一个动点(其中1＜x＜2)，连接CE、CF、EF，

求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标．

(4)若点N为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M，使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

0.2022年中考数学二轮专题复习《压轴题-二次函数》培优练习05（含答案）答案解析

一         、综合题

1.解：

2.解：

(1)∵平行四边形OABC中，A(6，0)，C(4，3)

∴BC=OA=6，BC∥x轴

∴xB=xC+6=10，yB=yC=3，即B(10，3)

设抛物线y=ax2+bx+c经过点B、C、D(1，0)

∴   解得：

∴抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣

(2)如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P

∵C(4，3)∴OC=∵BC∥OA∴∠OEC=∠AOE

∵OE平分∠AOC∴∠AOE=∠COE∴∠OEC=∠COE∴CE=OC=5

∴xE=xC+5=9，即E(9，3)∴直线OE解析式为y=x

∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x=﹣7∴F(7，)

∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'(9，﹣3)，PE=PE'

∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF=PE'+PF=FE'最小

设直线E'F解析式为y=kx+h

∴   解得：∴直线E'F：y=﹣x+21

当﹣x+21=0时，解得：x=

∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为(，0)．

(3)存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．

设AH与OE相交于点G(t，t)，如图2

∵AH⊥OE于点G，A(6，0)∴∠AGO=90°∴AG2+OG2=OA2

∴(6﹣t)2+(t)2+t2+(t)2=62∴解得：t1=0(舍去)，t2=∴G(，)

设直线AG解析式为y=dx+e

∴   解得：∴直线AG：y=﹣3x+18

当y=3时，﹣3x+18=3，解得：x=5∴H(5，3)

∴HE=9﹣5=4，点H、E关于直线x=7对称

①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2

则HE∥MN，MN=HE=4

∵点N在抛物线对称轴：直线x=7上∴xM=7+4或7﹣4，即xM=11或3

当x=3时，yM=﹣×9+×9﹣=∴M(3，)或(11，)

②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3

则HE、MN互相平分

∵直线x=7平分HE，点F在直线x=7上

∴点M在直线x=7上，即M为抛物线顶点

∴yM=﹣×49+×7﹣=4∴M(7，4)

综上所述，点M坐标为(3，)、(11，)或(7，4)．

3.解：

（1）∵A点为直线y=x+1与x轴的交点，∴A（﹣1，0），

又B点横坐标为2，代入y=x+1可求得y=3，

∴B（2，3），

∵抛物线顶点在y轴上，

∴可设抛物线解析式为y=ax2+c，

把A、B两点坐标代入可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣1；

（2）△ABM为直角三角形．理由如：

由（1）抛物线解析式为y=x2﹣1可知M点坐标为（0，﹣1），

∴AM=，AB===3，BM==2，

∴AM2+AB2=2+18=20=BM2，∴△ABM为直角三角形；

（3）当抛物线y=x2﹣1平移后顶点坐标为（m，2m）时，

其解析式为y=（x﹣m）2+2m，即y=x2﹣2mx+m2+2m，联立y=x，

可得，消去y整理可得x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0，

∵平移后的抛物线总有不动点，

∴方程x2﹣（2m+1）x+m2+2m=0总有实数根，

∴△≥0，即（2m+1）2﹣4（m2+2m）≥0，解得m≤，

即当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．

4.解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0），

∴，解得，

∴抛物线解析式为y=x2+x﹣4；

（2）∵点M的横坐标为m，

∴点M的纵坐标为m2+m﹣4，

又∵A（﹣4，0），

∴AO=0﹣（﹣4）=4，

∴S=×4×|m2+m﹣4|=﹣（m2+2m﹣8）=﹣m2﹣2m+8，

∵S=﹣（m2+2m﹣8）=﹣（m+1）2+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，

∴当m=﹣1时，S有最大值，最大值为S=9；

故答案为：S关于m的函数关系式为S=﹣m2﹣2m+8，当m=﹣1时，S有最大值9；

（3）∵点Q是直线y=﹣x上的动点，∴设点Q的坐标为（a，﹣a），

∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，

∴点P的坐标为（a， a2+a﹣4），

∴PQ=﹣a﹣（a2+a﹣4）=﹣a2﹣2a+4，

又∵OB=0﹣（﹣4）=4，

以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，

∴|PQ|=OB，即|﹣a2﹣2a+4|=4，

①﹣a2﹣2a+4=4时，整理得，a2+4a=0，

解得a=0（舍去）或a=﹣4，

﹣a=4，

所以点Q坐标为（﹣4，4），

②﹣a2﹣2a+4=﹣4时，整理得，a2+4a﹣16=0，解得a=﹣2±2，

所以点Q的坐标为（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2），

综上所述，Q坐标为（﹣4，4）或（﹣2+2，2﹣2）或（﹣2﹣2，2+2）时，

使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形.

5.解：

(1)将点A(﹣1，0)，B(3，0)代入y=ax2+bx+2，

可得a=﹣，b=，∴y=﹣x2+x+2；

∴对称轴x=1；

(2)如图1：过点D作DG⊥y轴于G，作DH⊥x轴于H，

设点D(1，y)，

∵C(0，2)，B(3，0)，∴在Rt△CGD中，CD2=CG2+GD2=(2﹣y)2+1，

∴在Rt△BHD中，BD2=BH2+HD2=4+y2，

在△BCD中，∵∠DCB=∠CBD，∴CD=BD，∴CD2=BD2，

∴(2﹣y)2+1=4+y2，∴y=，

∴D(1，)；

(3)如图2：过点E作EQ⊥y轴于点Q，过点F作直线FR⊥y轴于R，过点E作FP⊥FR于P，

∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°，∴四边形QRPE是矩形，

∵S△CEF=S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP，

∵E(x，y)，C(0，2)，F(1，1)，

∴S△CEF=EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP，

∴S△CEF=x(y﹣1)﹣x(y﹣2)﹣×1×1﹣ (x﹣1)(y﹣1)，

∵y=﹣x2+x+2，∴S△CEF=﹣x2+x，

∴当x=时，面积有最大值是，此时E(，)；

(4)存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设N(1，n)，M(x，y)，

①四边形CMNB是平行四边形时，=，∴x=﹣2，∴M(﹣2，﹣)；

②四边形CNBM时平行四边形时，=，∴x=2，∴M(2，2)；

③四边形CNNB时平行四边形时，=，∴x=4，∴M(4，﹣)；

综上所述：M(2，2)或M(4，﹣)或M(﹣2，﹣)；