2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十三(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十三

1.如图,二次函数y=-0.25x2+bx+c的图像经过点A(4,0),B(-4,-4),且与y轴交于点C.

（1）试求此二次函数的解析式；

（2）试证明:∠BAO=∠CAO（其中O是原点）；

（3）若P是线段AB上的一个动点（不与A,B重合），过P作y轴的平行线,分别交此二次函数图像及x轴于Q、H两点.试问:是否存在这样的点P,使PH=2QH？若存在,请求出点P的坐标；若不存在,请说明理由。

2.如图,抛物线y=﹣(x﹣1)2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点,与y轴的正半轴交于点C，顶点为D,已知A(﹣1，0)．

（1）求点B，C的坐标；

（2）判断△CDB的形状并说明理由；

（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度(0＜t＜3)得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围.

3.如图，抛物线y=0.5x2+bx-2与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，与y轴交于点C.

(1)则点C坐标为        ;x1∙x2=        ;

(2)己知A(-1,0)，连接AC并延长到点D，使得BD=AB，求点D的坐标;

(3)在(2)的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使得∠BPC=∠BAC?若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

4.如图，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过经过点A(2，0)，点B(3，3)，BC⊥x轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为(﹣4，0)，点F与原点重合．

(1)求抛物线的解析式；

(2)△DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动，

①求点D落在抛物线上时点D的坐标；

②设△DEF与△OBC的重叠部分的面积为S，求出S关于t的函数关系式．

5.如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°，BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动，速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒；点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒(0<x<8),△DCQ的面积为y1平方厘米,△PCQ的面积为y2平方厘米．

（1）求y1与x的函数关系，并在图2中画出y1的图象；

（2）如图2,y2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是（4,12）,求点P的速度及AC的长；

（3）在图2中,点G是x轴正半轴上一点(0<OG<6)过G作EF垂直于x轴,分别交y1、y2于点E、F．

①说出线段EF的长在图1中所表示的实际意义；

②当0＜x＜６时，求线段EF长的最大值．

6.如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣x+c与x轴相交于A、B两点（B点在A点的左侧），与y轴相交于C点，且AB=10．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图2，D点在x轴上，且在A点的右侧，E点为抛物线上第二象限内的点，连接ED交抛物线于第二象限内的另外一点F，点E到y轴的距离与点F到y轴的距离之比为3：1，已知tan∠BDE=，求点E的坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，点G由B出发，沿x轴负方向运动，连接EG，点H在线段EG上，连接DH，∠EDH=∠EGB，过点E作EK⊥DH，与抛物线相应点E，若EK=EG，求点K的坐标．

7.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形．直线L经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C﹣B相交于点M．当Q、M两点相遇时，P、Q两点停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．

（1）点C的坐标为             ，直线L的解析式为                     ．

（2）试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围．

（3）试求题（2）中当t为何值时，S的值最大，并求出S的最大值．

（4）随着P、Q两点的运动，当点M在线段CB上运动时，设PM的延长线与直线L相交于点N．试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．

8.如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A(4，0)，点B(0，4)，△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．

(1)求圆心M的坐标；

(2)若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；

(3)在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=4时，求点P的坐标．

0.答案解析

1.解：

（1）∵点与在二次函数图像上，

∴，解得，

∴二次函数解析式为.

（2）过作轴于点，由（1）得，则在中，

，又在中，，

∵，∴.

（3）由与，可得直线AB的解析式为，

设，则，

∴.∴.

当，解得 （舍去），∴.

当，解得 （舍去），∴.

综上所述，存在满足条件的点，它们是与.

2.解：

（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=﹣（x﹣1）2+c上，∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=﹣（x﹣1）2+4，令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．

（2）△CDB为直角三角形．理由如下：由抛物线解析式，得顶点D的坐标为（1，4）．

如答图1所示，过点D作DM⊥x轴于点M，则OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

过点C作CN⊥DM于点N，则CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC===；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD===；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD===．

∵BC2+CD2=BD2，∴△CDB为直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴，解得k=﹣1，b=3，∴y=﹣x+3，直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+m，∵B（3，0），D（1，4），∴，解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6.连接CQ并延长,射线CQ交BD于点G，则G（1.5,3）.在△COB向右平移的过程中：

（I）当0＜t≤1.5时，如答图2所示：设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

设QE与BD的交点为F，则：，解得，∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE=0.5PE•PQ=0.5PB•PK=0.5BE•yF==0.5×3×3=0.5(3﹣t)2=0.5t•2t=-1.5t2+3t；

（II）当1.5＜t＜3时，如答图3所示：设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t,∴KQ=t,PK=PB=3﹣t．直线BD解析式为y=﹣2x+6,令x=t，得y=6﹣2t，∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK=0.5PB•PJ﹣0.5PB•PK=0.5（3﹣t）（6﹣2t）﹣0.5（3﹣t）2=0.5t2﹣3t+4.5．

综上所述，S与t的函数关系式为：S=．

3.解：

(1) C（0，-2）,-4,;

(2) D（1，-4）;

(3) P（1.5，2.5），（1.5，）

4.解：

(1)根据题意得：，解得a=1，b=﹣2，

故抛物线解析式是y=x2﹣2x；

(2)①∵点E的坐标为(﹣4，0)，∴EF=4，

∵△DEF是等腰直角三角形，∴点D的纵坐标为2，

当点D在抛物线上时：x2﹣2x=2，解得：x1=1+，x2=1﹣，

∴点D落在抛物线上时点D的坐标为：(1+，2)或(1﹣，2)；

②有3种情况：

(Ⅰ)当0≤t≤3时，△DEF与△OBC重叠部分为等腰直角三角形，如图1：S=t2；

(Ⅱ)当3＜t≤4时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图2：S=﹣t2+3t﹣；

(Ⅲ)当4＜t≤5时，△DEF与△OBC重叠部分是四边形，如图3：S=﹣t2+3t﹣．

5.解：

（1）∵，CD＝3，CQ＝x，∴．图象如图所示．

（2）方法一：，CP＝8k－xk，CQ＝x，

∴．∵抛物线顶点坐标是（4，12），

∴．解得．则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．

方法二：观察图象知，当x=4时，△PCQ面积为12．

此时PC＝AC－AP＝8k－4k＝4k，CQ＝4．∴由，得 ．

解得．则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．

方法三：设y2的图象所在抛物线的解析式是．

∵图象过（0，0），（4，12），（8，0），

∴  解得   ∴． ①

∵，CP＝8k－xk，CQ＝x，∴．②

比较①②得.则点P的速度每秒厘米，AC＝12厘米．

（3）①观察图象，知线段的长EF＝y2－y1，表示△PCQ与△DCQ的面积差（或△PDQ面积）．

②由⑵得 .（方法二，）

∵EF＝y2－y1，∴EF＝，

∵二次项系数小于０，∴在范围，当时，最大．

6.解：

（1）由y=﹣x2﹣x+c，可得对称轴为x=﹣4

∵AB=10，∴点A的坐标为（1，0），∴，∴c=3

∴抛物线的解析式为y=﹣+3．

（2）如图2，作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T．

∴∠TMN=∠FNM=∠MTF=90°，∴四边形FTMN为矩形，

∴EM∥FN，FT∥BD．∴∠BDE=∠EFT，∵tan∠BDE=，∴tan∠EFT=，

设E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF）∴

∵y=﹣+3过点E、F，

则yE﹣yF==（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣+3），

解得m=0（舍去）或m=1，当m=1时，﹣3m=﹣3，

∴=8．∴E（﹣3，8）．

（3）如图3，作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，

与x轴相交于点Q．

∵∠KER+∠EDH=90°，∠EGM+∠GEM=90°，∠EDH=∠EGM，∴∠KER=∠GEM，

在△EGM和△EKR中，∴△EGM≌△EKR，∴EM=ER=8，

∵tan∠BDE=．∴ED=10，∴DR=2，∴DQ=∴Q（﹣，0），

可求R（，）∴直线RQ的解析式为：y=．

设点K的坐标为（x，）代入抛物线解析式可得x=﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．

7.解：

8.解：

(1)点B(0，4)，则点C(0，2)，

∵点A(4，0)，则点M(2，1)；

(2)∵⊙P与直线AD，则∠CAD=90°，

设：∠CAO=α，则∠CAO=∠ODA=∠PEH=α，

tan∠CAO===tanα，则sinα=，cosα=，

AC=，则CD==10，则点D(0，﹣8)，

将点A、D的坐标代入一次函数表达式：y=mx+n并解得：

直线AD的表达式为：y=2x﹣8；

(3)抛物线的表达式为：y=a(x﹣2)2+1，

将点B坐标代入上式并解得：a=，

故抛物线的表达式为：y=x2﹣3x+4，

过点P作PH⊥EF，则EH=EF=2，

cos∠PEH=，解得：PE=5，

设点P(x，x2﹣3x+4)，则点E(x，2x﹣8)，则PE=x2﹣3x+4﹣2x+8=5，

解得x=或2(舍去2)，则点P(，)．