2021年中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十二(含答案)

中考数学二轮专题复习《压轴题》培优练习十二

1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)，与y轴交于C点.

 (1)当b=0，c=4时，ABC为等腰直角三角形，求a的值；

 (2)若抛物线与x轴、y轴的交点围成的三角形是直角三角形，证明：ac=-1；

 (3)设抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，将抛物线关于x轴对称，得到新的抛物线，新抛物线顶点为E，连接A、D、B、E四点，构成一个四边形，若构成的四边形为正方形，求b2-4ac的值.

2.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,-),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)．

（1）求抛物线的解析式及A、B两点的坐标；

（2）在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P，使AP+CP的值最小？若存在,求AP+CP的最小值，若不存在，请说明理由；

（3）以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式．

3.如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线y=0.25x2交于A，B两点，其中点A的横坐标是-2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B的坐标；

（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC是直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） 过线段AB上一点P，作PM //x轴，交抛物线于点M，点M在第一象限，点N(0,1)，当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度最大？最大值是多少？

4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像经过点A,B,C,已知点A的坐标为(-3,0)，点B的坐标为(1,0),点C在y轴的正半轴上,且∠CAB=300 .

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线l:y=x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E.

(ⅰ)当m>0时,在线段AC上是否存在点P,使得P,D,E构成等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

(ⅱ)以动直线l为对称轴，线段AC关于直线l的对称线段A/C/与该二次函数图象有交点，请直接写出m的取值范围．

5.如图，已知直线y=﹣x+3的图象分别交x轴于A点，交y轴于B点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B两点，并与x轴交于另一点D，顶点为C．

（1）求C、D两点的坐标；

（2）求tan∠BAC；

（3）在y轴上是否存在一点P，使得以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

6.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),C(0,-3)．

(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

(2)如图①，点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E．是否存在一点P，使线段PE的长最大？若存在，求出PE长的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图②，过点A作y轴的平行线，交直线BC于点F，连接DA、DB．四边形OAFC沿射线CB方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当点C与点B重合时立即停止运动．设运动过程中四边形OAFC与四边形ADBF重叠部分面积为S，请求出S与t的函数关系式．

7.综合与探究

如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为　   　．

(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；

(4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

8.如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C的坐标为(8，0)，连接AB、AC．

(1)请直接写出二次函数y=的表达式；

(2)判断△ABC的形状，并说明理由；

(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；

(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．

0.答案解析

1.解：

(1)a=-0.25；

(2)利用射影定理和根与系数两个基本公式推导；

(3)b2-4ac=4.

2.解：

3.解：

（1）因为点A是直线与抛物线的交点，且其横坐标是-2，

所以，A点坐标（-2，1）

设直线的函数关系式为将（0,4），（-2，1）

代入得解得

所以直线 由，得，解之得，

当x=8时，．所以点．

（2）作AM∥y轴,BM∥x轴, AM, BM交于点M．

由勾股定理得:=325．设点，则，

． ① 若，则，

②即，所以．

②若，则，即，

  化简得，解之得或．

③若，则，即，所以．

所以点C的坐标为

（3）设，则．

由，所以，所以点P的横坐标为．所以．

所以．

所以当，又因为，所以取到最大值18．

所以当点M的横坐标为6时，的长度最大值是18．

4.解：

5.解：

（1）把y=0代入得x=3，∴A（3，0），把x=0代入得y=3，∴B（0，3），

把A（3，0），B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，

解得：b=2，c=3，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴C（1，4），

把y=0代入y=﹣x2+2x+3，解得：x1=﹣1，x2=3，

∴D（﹣1，0）；

（2）过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，则BE=4﹣3=1，CE=1，

∴BC=，∠EBC=∠ECB=45°，

又∵OB=OA=3，∴AB=3，∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠CBA=180°﹣45°﹣45°=90°，

又∵BC=，AB=3∴tan∠BAC==；

（3）存在P（0，0），（0，﹣），当点P在原点时，∠BPD=90°，=，

∴=，∠BPD=∠ABC则△BPD∽△ABC；

在Rt△ABC中，BC=，AB=3，∴AC=2，

在Rt△BOD中，OD=1，OB=3，∴BD=，当PD⊥BD时，

设点P的坐标为（0，y），

当△BDP∽△ABC时, =,即=，解得y=﹣，

∴点P的坐标为（0,﹣），

∴当P的坐标为（0，0）或（0，﹣）时，以P、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似．

6.解：

7.解：

(1)∵OA=2，OC=6∴A(﹣2，0)，C(0，﹣6)

∵抛物线y=x2+bx+c过点A、C

∴   解得：

∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣6

(2)∵当y=0时，x2﹣x﹣6=0，解得：x1=﹣2，x2=3

∴B(3，0)，抛物线对称轴为直线x=

∵点D在直线x=上，点A、B关于直线x=对称

∴xD=，AD=BD

∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC最小

设直线BC解析式为y=kx﹣6∴3k﹣6=0，解得：k=2

∴直线BC：y=2x﹣6∴yD=2×﹣6=﹣5∴D(，﹣5)故答案为：(，﹣5)

(3)过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F

设E(t，t2﹣t﹣6)(0＜t＜3)，则F(t，2t﹣6)

∴EF=2t﹣6﹣(t2﹣t﹣6)=﹣t2+3t

∴S△BCE=S△BEF+S△CEF=EF•BG+EF•OG=EF(BG+OG)=EF•OB

=×3(﹣t2+3t)=﹣(t﹣)2+

∴当t=时，△BCE面积最大 ∴yE=()2﹣﹣6=﹣

∴点E坐标为(，﹣)时，△BCE面积最大，最大值为．

(4)存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．

∵A(﹣2，0)，C(0，﹣6)∴AC=

①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN=AC=2

∴N1(﹣2，2)，N2(﹣2，﹣2)，N3(2，0)

②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4=CN4

设N4(﹣2，n)∴﹣n=解得：n=﹣∴N4(﹣2，﹣)

综上所述，点N坐标为(﹣2，2)，(﹣2，﹣2)，(2，0)，(﹣2，﹣)．

8.解：

(1)将点A(0，4)、C(8，0)代入y=中，

得：，解得：，

∴该二次函数的解析式为y=﹣+x+4．

(2)令y=﹣+x+4中y=0，则﹣+x+4=0，解得：x=﹣2，或x=8，

∴点B的坐标为(﹣2，0)，

又∵点A(0，4)，点C(8，0)，∴AB=2，AC=4，BC=10．

∵AB2+AC2=20+80=100=BC2，∴△ABC为直角三角形．

(3)设点N的坐标为(m，0)，

则AC=4，AN=，CN=|8﹣m|．

以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况：

①当AC=AN时，即4=，

解得：m=﹣8，或m=8(舍去)，此时点N的坐标为(﹣8，0)；

②当AC=CN时，即4=|8﹣m|，解得：m=8﹣4，或m=8+4，

此时点N的坐标为(8﹣4，0)或(8+4，0)；

③当AN=CN时，即=|8﹣m|，解得：m=3，

此时点N的坐标为(3，0)．

综上可知：以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，

点N的坐标为(﹣8，0)、(8﹣4，0)、(8+4，0)或(3，0)．

(4)设点N的坐标为(n，0)(﹣2＜n＜8)，则BN=n﹣(﹣2)=n+2．

∵MN∥AC，∴△BMN∽△BAC，∴=．

∵S△BAC=AB•AC=20，BN=n+2，BC=10，∴S△BMN=S△BAC•=．

S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=AO•BN﹣=﹣(n﹣3)2+5，

∴当n=3，即点N的坐标为(3，0)时，△AMN面积最大，最大值为5．